Hoe groot is oneindigheid?

Aan het einde van de Marvel-kaskraker Avengers: Endgame, een vooraf opgenomen hologram van Tony Stark neemt afscheid van zijn jonge dochter door te zeggen: "Ik hou van je 3,000." Het ontroerende moment weerspiegelt een eerdere scène waarin de twee bezig zijn met het speelse bedtijdritueel om hun liefde voor elkaar te kwantificeren. Volgens Robert Downey Jr., de acteur die Stark speelt, werd de lijn geïnspireerd door soortgelijke uitwisselingen met zijn eigen kinderen.

Het spel kan een leuke manier zijn om grote aantallen te verkennen:

"Ik hou van je 10."

"Maar ik hou 100 van je."

"Nou, ik hou van je 101!"

Dit is precies hoe "googolplex" een populair woord werd in mijn huis. Maar we weten allemaal waar dit argument uiteindelijk toe leidt:

"Ik hou oneindig veel van je!"

"O ja? Ik hou van je oneindig plus 1!”

Of het nu op de speelplaats is of voor het slapengaan, kinderen komen het concept van oneindigheid al lang voor de wiskundeles tegen en ze ontwikkelen begrijpelijkerwijs een fascinatie voor dit mysterieuze, gecompliceerde en belangrijke concept. Sommige van die kinderen groeien op tot wiskundigen die gefascineerd zijn door oneindigheid, en sommige van die wiskundigen ontdekken nieuwe en verrassende dingen over oneindigheid.

Je weet misschien dat sommige reeksen getallen oneindig groot zijn, maar wist je dat sommige oneindigheden groter zijn dan andere? En dat we niet zeker weten of er andere oneindigheden zijn ingeklemd tussen de twee die we het beste kennen? Wiskundigen denken al minstens een eeuw na over deze tweede vraag, en recent werk heeft de manier veranderd waarop mensen over het probleem denken.

Om vragen over de grootte van oneindige verzamelingen aan te pakken, beginnen we met verzamelingen die gemakkelijker te tellen zijn. Een verzameling is een verzameling objecten of elementen, en een eindige verzameling is slechts een verzameling die eindig veel objecten bevat.

Het bepalen van de grootte van een eindige verzameling is eenvoudig: tel gewoon het aantal elementen dat het bevat. Omdat de set eindig is, weet je dat je uiteindelijk stopt met tellen, en als je klaar bent, weet je hoe groot je set is.

Deze strategie werkt niet met oneindige sets. Hier is de verzameling natuurlijke getallen, die wordt aangeduid met ℕ. (Sommigen beweren misschien dat nul geen natuurlijk getal is, maar dat debat heeft geen invloed op ons onderzoek naar oneindigheid.)

$latexmathbb{N} = {0,1,2,3,4,5,…}$

Wat is de maat van deze set? Aangezien er geen grootste natuurlijk getal is, zal het niet werken om het aantal elementen te tellen. Een oplossing is om de grootte van deze oneindige verzameling simpelweg "oneindig" te noemen, wat niet verkeerd is, maar als je andere oneindige sets gaat verkennen, besef je dat het ook niet helemaal klopt.

Beschouw de verzameling reële getallen, dit zijn alle getallen die kunnen worden uitgedrukt in een decimale uitbreiding, zoals 7, 3.2, −8.015, of een oneindige uitbreiding zoals $latexsqrt{2} = 1.414213…$. Aangezien elk natuurlijk getal ook een reëel getal is, is de verzameling reële getallen minstens zo groot als de verzameling natuurlijke getallen, en moet dus ook oneindig zijn.

Maar er is iets onbevredigends aan het verklaren van de grootte van de verzameling reële getallen als dezelfde "oneindig" die wordt gebruikt om de grootte van de natuurlijke getallen te beschrijven. Om te zien waarom, kies je twee willekeurige getallen, zoals 3 en 7. Tussen die twee getallen zullen er altijd eindig veel natuurlijke getallen zijn: hier zijn het de getallen 4, 5 en 6. Maar er zullen altijd oneindig veel reële getallen tussen staan, getallen zoals 3.001, 3.01, π, 4.01023, 5.666... ​​enzovoort.

Opmerkelijk genoeg, ongeacht hoe dicht twee verschillende reële getallen bij elkaar liggen, er zullen altijd oneindig veel reële getallen tussenin zijn. Op zichzelf betekent dit niet dat de verzamelingen van reële getallen en natuurlijke getallen verschillende afmetingen hebben, maar het suggereert wel dat er iets fundamenteel anders is aan deze twee oneindige verzamelingen dat nader onderzoek rechtvaardigt.

De wiskundige Georg Cantor onderzocht dit eind 19e eeuw. Hij liet zien dat deze twee oneindige verzamelingen echt verschillende afmetingen hebben. Om te begrijpen en waarderen hoe hij dat deed, moeten we eerst begrijpen hoe we oneindige verzamelingen kunnen vergelijken. Het geheim is overal een hoofdbestanddeel van wiskundelessen: functies.

Er zijn veel verschillende manieren om over functies na te denken - functienotatie zoals $latex f(x) = x^2 +1$, grafieken van parabolen in het Cartesiaanse vlak, regels zoals "neem de invoer en voeg er 3 aan toe" - maar hier zullen we een functie zien als een manier om de elementen van de ene set te matchen met de elementen van een andere.

Laten we een van die verzamelingen aannemen als ℕ, de verzameling natuurlijke getallen. Voor de andere set, die we zullen noemen S, nemen we alle even natuurlijke getallen. Dit zijn onze twee sets:

$latexmathbb{N} = {0,1,2,3,4,…}$ $latex S= {0,2,4,6,8,…}$

Er is een eenvoudige functie die de elementen van ℕ verandert in de elementen van S: $latex f(x) = 2x$. Deze functie verdubbelt eenvoudig zijn invoer, dus als we de elementen van ℕ beschouwen als de invoer van $latex f(x)$ (we noemen de verzameling invoer van een functie het "domein"), dan zullen de uitvoer altijd elementen zijn van S. Bijvoorbeeld $latex f(0)=0$, $latex f(1) = 2$, $latex f(2) = 4$, $latex f(3) = 6$ enzovoort.

U kunt dit visualiseren door de elementen van de twee sets naast elkaar te plaatsen en met behulp van pijlen aan te geven hoe de functie $latex f$ invoer van ℕ omzet in uitvoer in S.

Merk op hoe $latex f(x)$ precies één element van . toewijst S aan elk element van ℕ. Dat is wat functies doen, maar $latex f(x)$ doet het op een speciale manier. Eerst wijst $latex f$ alles toe in S naar iets in . Met functieterminologie zeggen we dat elk element van S is de “afbeelding” van een element van ℕ onder de functie $latex f$. Het even getal 3,472 is bijvoorbeeld in S, en we kunnen een vinden x in ℕ zodat $latex f(x) = 3,472$ (namelijk 1,736). In deze situatie zeggen we dat de functie $latex f(x)$ ℕ toewijst aan S. Een mooiere manier om het te zeggen is dat de functie $latex f(x)$ "surjectief" is. Hoe je het ook beschrijft, wat belangrijk is, is dit: aangezien de functie $latex f(x)$ inputs van ℕ omzet in outputs in S, niets in S wordt gemist in het proces.

Het tweede bijzondere aan hoe $latex f(x)$ uitgangen aan ingangen toewijst, is dat geen twee elementen in ℕ in hetzelfde element worden getransformeerd in S. Als twee getallen verschillend zijn, dan zijn hun dubbels verschillend; 5 en 11 zijn verschillende natuurlijke getallen in ℕ, en hun uitgangen in S zijn ook verschillend: 10 en 22. In dit geval zeggen we dat $latex f(x)$ "1-naar-1" is (ook geschreven als "1-1"), en we beschrijven $latex f(x)$ als "injectief." De sleutel hier is dat er niets in S wordt twee keer gebruikt: elk element in S is gekoppeld aan slechts één element in ℕ.

Deze twee eigenschappen van $latex f(x)$ combineren op een krachtige manier. De functie $latex f(x)$ creëert een perfecte match tussen de elementen van ℕ en de elementen van S. Het feit dat $latex f(x)$ "op" is, betekent dat alles in S heeft een partner in ℕ, en het feit dat $latex f(x)$ 1-op-1 is, betekent dat niets in S heeft twee partners in ℕ. Kortom, de functie $latex f(x)$ koppelt elk element van ℕ met precies één element van S.

Een functie die zowel injectief als surjectief is, wordt een bijectie genoemd, en een bijectie creëert een 1-op-1 overeenkomst tussen de twee verzamelingen. Dit betekent dat elk element in de ene verzameling precies één partner heeft in de andere verzameling, en dit is een manier om aan te tonen dat twee oneindige verzamelingen even groot zijn.

Aangezien onze functie $latex f(x)$ een bijectie is, laat dit zien dat de twee oneindige verzamelingen ℕ en S zijn even groot. Dit lijkt misschien verrassend: elk even natuurlijk getal is immers zelf een natuurlijk getal, dus ℕ bevat alles in S en meer. Zou dat niet ℕ groter moeten maken dan S? Als we te maken hadden met eindige verzamelingen, zou het antwoord ja zijn. Maar een oneindige set kan een andere volledig bevatten en ze kunnen nog steeds dezelfde grootte hebben, zoals 'oneindig plus 1' eigenlijk niet een grotere hoeveelheid liefde is dan gewoon oud 'oneindig'. Dit is slechts een van de vele verrassende eigenschappen van oneindige verzamelingen.

Een nog grotere verrassing is misschien dat er oneindig veel sets van verschillende groottes zijn. Eerder hebben we de verschillende aard van de oneindige verzamelingen van reële en natuurlijke getallen onderzocht, en Cantor bewees dat deze twee oneindige verzamelingen verschillende afmetingen hebben. Hij deed dat met zijn briljante en beroemde diagonale argument.

Aangezien er oneindig veel reële getallen zijn tussen twee verschillende reële getallen, laten we ons even concentreren op de oneindig veel reële getallen tussen nul en 1. Elk van deze getallen kan worden gezien als een (mogelijk oneindige) decimale uitbreiding, zoals deze.

Hier zijn $latex a_1, a_2, a_3$ enzovoort gewoon de cijfers van het nummer, maar we zullen vereisen dat niet alle cijfers nul zijn, dus we nemen het nummer nul zelf niet op in onze set.

Het diagonaalargument begint in wezen met de vraag: wat zou er gebeuren als er een bijectie zou bestaan ​​tussen de natuurlijke getallen en deze reële getallen? Als zo'n functie zou bestaan, zouden de twee sets dezelfde grootte hebben en zou je de functie kunnen gebruiken om elk reëel getal tussen nul en 1 te matchen met een natuurlijk getal. Je zou je een geordende lijst van de overeenkomsten kunnen voorstellen, zoals deze.

Het geniale van het diagonale argument is dat je deze lijst kunt gebruiken om een ​​reëel getal te construeren dat niet op de lijst kan staan. Begin met het maken van een reëel getal cijfer voor cijfer op de volgende manier: maak het eerste cijfer achter de komma iets anders dan $latex a_1$, maak het tweede cijfer iets anders dan $latex b_2$, maak het derde cijfer iets anders dan $latex c_3 $, enzovoort.

Dit reële getal wordt bepaald door zijn relatie met de diagonaal van de lijst. Staat het op de lijst? Het kan niet het eerste nummer op de lijst zijn, omdat het een ander eerste cijfer heeft. Het kan ook niet het tweede nummer op de lijst zijn, omdat het een ander tweede cijfer heeft. In feite kan het niet de nhet nummer op deze lijst, want het heeft een andere ne cijfer. En dit geldt voor iedereen n, dus dit nieuwe getal, dat tussen nul en 1 ligt, kan niet op de lijst staan.

Maar alle echte getallen tussen nul en 1 zouden op de lijst moeten staan! Deze tegenstrijdigheid komt voort uit de veronderstelling dat er een bijectie bestaat tussen de natuurlijke getallen en de reële getallen tussen nul en 1, en dus kan zo'n bijectie niet bestaan. Dit betekent dat deze oneindige sets verschillende maten hebben. Wat meer werk met functies (zie de oefeningen) kan aantonen dat de verzameling van alle reële getallen even groot is als de verzameling van alle reële getallen tussen nul en 1, en dus moeten de reële getallen, die de natuurlijke getallen bevatten, een grotere oneindige verzameling.

De technische term voor de grootte van een oneindige verzameling is de 'kardinaliteit' ervan. Het diagonale argument laat zien dat de kardinaliteit van de reële getallen groter is dan de kardinaliteit van de natuurlijke getallen. De kardinaliteit van de natuurlijke getallen wordt geschreven $latex aleph_0$, uitgesproken als "aleph naught". In een standaardopvatting van de wiskunde is dit de kleinste oneindige kardinaal.

De volgende oneindige kardinaal is $latex aleph_1$ ("aleph one"), en een eenvoudig gestelde vraag houdt wiskundigen al meer dan een eeuw in de ban: is $latex aleph_1$ de kardinaliteit van de echte getallen? Met andere woorden, zijn er nog andere oneindigheden tussen de natuurlijke getallen en de reële getallen? Cantor dacht dat het antwoord nee was - een bewering die bekend kwam te staan ​​als de... continuümhypothese - maar hij kon het niet bewijzen. In het begin van de twintigste eeuw werd deze vraag zo belangrijk gevonden dat toen David Hilbert zijn beroemde lijst van 1900 belangrijke open problemen in de wiskunde opstelde, de continuümhypothese nummer één was.

Honderd jaar later is er veel vooruitgang geboekt, maar die vooruitgang heeft geleid tot nieuwe mysteries. In 1940 de beroemde logicus Kurt Gödel bewees dat het volgens de algemeen aanvaarde regels van de verzamelingenleer onmogelijk is om te bewijzen dat er een oneindigheid bestaat tussen die van de natuurlijke getallen en die van de reële getallen. Dat lijkt misschien een grote stap om te bewijzen dat de continuümhypothese waar is, maar twee decennia later ontdekte de wiskundige Paul Cohen bewezen dat het onmogelijk is om te bewijzen dat zo'n oneindigheid niet bestaat! Het blijkt dat de continuümhypothese niet op de een of andere manier kan worden bewezen.

Samen vormden deze resultaten de "onafhankelijkheid" van de continuümhypothese. Dit betekent dat de algemeen aanvaarde regels van verzamelingen gewoon niet genoeg zeggen om ons te vertellen of er een oneindigheid bestaat tussen de natuurlijke getallen en de reële getallen. Maar in plaats van wiskundigen te ontmoedigen in hun streven om oneindigheid te begrijpen, heeft het hen in nieuwe richtingen geleid. Wiskundigen zijn nu op zoek naar nieuwe fundamentele regels voor oneindige verzamelingen die zowel kunnen verklaren wat er al bekend is over oneindigheid als de hiaten kunnen opvullen.

Zeggen "Mijn liefde voor jou is onafhankelijk van de axioma's" is misschien niet zo leuk als zeggen "Ik hou van je oneindig plus 1", maar misschien zal het de volgende generatie oneindig-liefhebbende wiskundigen helpen om een ​​goede nachtrust te krijgen.

Oefeningen

1. Laat $latex T = {1,3,5,7,…}$, de verzameling positieve oneven natuurlijke getallen. Is T groter dan, kleiner dan of even groot als ℕ, de verzameling natuurlijke getallen?

2. Zoek een 1-op-1 overeenkomst tussen de verzameling natuurlijke getallen, ℕ, en de verzameling gehele getallen $latexmathbb{Z}={…,-3,-2,-1,0,1,2,3, …}$.

3. Zoek een functie $latex f(x)$ die een bijectie is tussen de verzameling reële getallen tussen nul en 1 en de verzameling reële getallen groter dan nul.

4. Zoek een functie die een bijectie is tussen de verzameling reële getallen tussen nul en 1 en de verzameling van alle reële getallen.

Klik voor antwoord 1:

Klik voor antwoord 2:

Klik voor antwoord 3:

Klik voor antwoord 4: