Isaac Newton stond niet bekend om zijn vrijgevigheid en zijn minachting voor zijn rivalen was legendarisch. Maar in een brief aan zijn concurrent Gottfried Leibniz, nu bekend als de Epistola posterieur, komt Newton nostalgisch en bijna vriendelijk over. Daarin vertelt hij een verhaal uit zijn studententijd, toen hij net begon met wiskunde. Hij vertelt hoe hij een grote ontdekking deed door gebieden onder krommen gelijk te stellen aan oneindige sommen door een proces van raden en controleren. Zijn redenering in de brief is zo charmant en toegankelijk dat het me doet denken aan de patroonraadspelletjes die kleine kinderen graag spelen.
Het begon allemaal toen de jonge Newton John Wallis' Arithmetica Infinitorum, een baanbrekend werk van 17e-eeuwse wiskunde. Wallis omvatte een nieuwe en inductieve methode om de waarde van pi te bepalen, en Newton wilde iets soortgelijks bedenken. Hij begon met het probleem van het vinden van het gebied van een "cirkelvormig segment" met instelbare breedte $latexx$. Dit is het gebied onder de eenheidscirkel, gedefinieerd door $latex y=sqrt{1-x^2}$, dat boven het gedeelte van de horizontale as van 0 tot $latexx$. Hier $latexx$ kan elk getal van 0 tot 1 zijn en 1 is de straal van de cirkel. De oppervlakte van een eenheidscirkel is pi, zoals Newton goed wist, dus wanneer $latexx=1$, het gebied onder de kromme is een kwart van de eenheidscirkel, $latexfrac{π}{4}$. Maar voor andere waarden van $latexx$, niets bekend.
Als Newton een manier zou kunnen vinden om het gebied onder de curve te bepalen voor elke mogelijke waarde van $latexx$, het zou hem een ongekend middel kunnen geven om pi te benaderen. Dat was oorspronkelijk zijn grootse plan. Maar gaandeweg vond hij iets nog beters: een methode om gecompliceerde krommen te vervangen door oneindige sommen van eenvoudigere bouwstenen gemaakt van krachten van $latexx$.
Newtons eerste stap was om naar analogie te redeneren. In plaats van direct te mikken op het gebied van het cirkelvormige segment, onderzocht hij de gebieden van analoge segmenten begrensd door de volgende curven:
$latex y_0=(1-x^2)^frac{0}{2}$,
$latex y_1=(1-x^2)^frac{1}{2}$,
$latex y_2=(1-x^2)^frac{2}{2}$,
$latex y_3=(1-x^2)^frac{3}{2}$,
$latex y_4=(1-x^2)^frac{4}{2}$,
$latex y_5=(1-x^2)^frac{5}{2}$,
$latex y_6=(1-x^2)^frac{6}{2}$.
Newton wist dat de oppervlakten onder de krommen in de lijst met machten op hele getallen (zoals $latexfrac{0}{2}=0$ en $latexfrac{2}{2}=1$) gemakkelijk te berekenen zouden zijn, omdat ze algebraïsch vereenvoudigen. Bijvoorbeeld,
$latex y_0=(1-x^2)^frac{0}{2}=(1-x^2)^0=1$.
Evenzo
Maar een dergelijke vereenvoudiging is niet beschikbaar voor de vergelijking van de cirkel — $latex y_1 = sqrt {1-x^2}=(1-x^2)^frac{1}{2}$ — of de andere krommen met halve machten. Op dat moment wist niemand het gebied onder een van hen te vinden.
Gelukkig waren de gebieden onder de curven met machten van hele getallen eenvoudig. Neem de curve $latex y_4=1-2x^2+x^4$. Een bekende regel destijds voor dergelijke functies stelde Newton (en iedereen) in staat om het gebied snel te vinden: voor elk geheel getal macht $ latex nge 0 $, het gebied onder de curve $ latex y = x ^ n $ over het interval van $latex 0$ naar $latexx$ wordt gegeven door $latex frac{x^{n+1}}{n+1}$. (Wallis had deze regel geraden met zijn inductieve methode, en Pierre de Fermat bewees het overtuigend.) Gewapend met deze regel wist Newton dat de oppervlakte onder de curve $latex y_4$ $latex x-frac{2x^3}{3 was. } + frac{x^5}{5}$.
Dezelfde regel stelde hem in staat om het gebied onder de andere krommen met hele getallen in de bovenstaande lijst te vinden. Laten we $latex A_n$ schrijven voor het gebied onder de curve $latex y_n = (1-x^2)^frac{n}{2}$, waarbij $latex n= 0, 1, 2, …$ . Het toepassen van de regel levert op
$latex A_0=x$
$latex A_1 = hspatie{.295em}?$
$latex A_2 = x -frac{1}{3}x^3$
$latex A_3 = hspatie{.295em}?$
$latex A_4 = x -frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$
$latex A_5 =hspatie{.295em}? $
$latex A_6 = x -frac{3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 – frac{1}{7}x^7$
enzovoort. Newtons sluwe idee was om de gaten op te vullen, in de hoop $latexA_1$ (de serie voor het onbekende gebied van het cirkelvormige segment) te raden op basis van wat hij in de andere serie kon zien. Eén ding was meteen duidelijk: elke $latexA_n$ begon eenvoudig met $latex x$ . Dat stelde voor om de formules als volgt aan te passen:
$latex A_0=x$
$latex A_1 = xhspatie{.247em}-hspatie{.247em}?$
$latex A_2 = x -frac{1}{3}x^3$
$latex A_3 = xhspatie{.247em}-hspatie{.247em}?$
$latex A_4 = x -frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$
$latex A_5 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$
$latex A_6 = x -frac{3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 – frac{1}{7}x^7$.
Om de volgende reeks vraagtekens te vervangen, keek Newton vervolgens naar de termen $latex x^3$. Met een beetje licentie kunnen we zien dat zelfs $latexA_0$ een van deze kubieke termen had, aangezien we het kunnen herschrijven als $latex A_0 = x-frac{0}{3}x^3$. Zoals Newton aan Leibniz uitlegde, merkte hij op "dat de tweede termen $latex frac{0}{3}x^3, frac{1}{3}x^3, frac{2}{3}x^3, frac{ 3}{3}x^3$ enz., waren in rekenkundige progressie' (hij verwees naar de 0, 1, 2, 3 in de tellers). In de veronderstelling dat deze rekenkundige progressie zich ook zou kunnen uitstrekken tot in de gaten, vermoedde Newton dat de hele reeks tellers, bekende en onbekende, getallen zou moeten zijn, gescheiden door $latex frac{1}{2} (0, frac{1}{2 }, 1, frac{3}{2}, 2, frac{5}{2}, 3 …)$ "en vandaar dat de eerste twee termen van de serie" waarin hij geïnteresseerd was - de nog onbekende $latex A_1$ , $latex A_3$ en $latex A_5$ — "zou $latex x-frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3), x-frac{1}{3} (frac {3}{2}x^3), x-frac{1}{3}(frac{5}{2}x^3)$, enz."
Dus in dit stadium suggereerden de patronen aan Newton dat $latex A_1$ zou moeten beginnen als
$latex A_1 = x-frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3) + …$.
Dit was een goed begin, maar hij had meer nodig. Terwijl hij op zoek was naar andere patronen, merkte Newton op dat de noemers in de vergelijkingen altijd oneven getallen in oplopende volgorde bevatten. Kijk bijvoorbeeld naar $latex A_6$, die 1, 3, 5 en 7 in de noemers heeft. Datzelfde patroon werkte voor $latex A_4$ en $latex A_2$. Simpel genoeg. Dat patroon bleef blijkbaar bestaan in alle noemers van alle vergelijkingen.
Wat overbleef was het vinden van een patroon in de tellers. Newton onderzocht $latex A_2$, $latex A_4$ en $latex A_6$ opnieuw en ontdekte iets. In $latex A_2 = x-frac{1}{3}x^3$ zag hij een 1 vermenigvuldigd met $latex x$ en nog een 1 in de term $latexfrac {1}{3}x^3$ (hij negeerde zijn voorlopig negatief teken). In $latex A_4 = x-frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$ zag hij tellers van 1, 2, 1. En in $latex A_6=x-frac{ 3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 -frac{1}{7}x^7$ , hij zag de tellers 1, 3, 3, 1. Deze getallen zouden voor iedereen bekend moeten zijn die de driehoek van Pascal ooit heeft bestudeerd, een driehoekige rangschikking van getallen die, op zijn eenvoudigst, wordt gemaakt door de getallen erboven bij elkaar op te tellen, te beginnen met 1 bovenaan.
In plaats van Pascal aan te roepen, verwees Newton naar deze tellers als 'de machten van het getal 11'. Bijvoorbeeld 112 = 121, wat de tweede rij in de driehoek is, en 113 = 1331, wat de derde is. Tegenwoordig worden deze getallen ook wel binomiale coëfficiënten genoemd. Ze ontstaan wanneer je de krachten van een binomiaal zoals ($latex a +b$) uitbreidt, zoals in $latex (a+b)^3 = 1a^3 + 3a^2b+3ab^2 +1b^3$. Met dit patroon in de hand had Newton nu een gemakkelijke manier om $latex A_2, A_4, A_6$ en alle andere even genummerde A'S.
Om vervolgens zijn resultaten te extrapoleren naar halve machten en oneven genummerde subscripts (en uiteindelijk tot de serie te komen die hij wilde, $latex A_1$), moest Newton Pascals driehoek uitbreiden naar een fantastisch nieuw regime: halverwege tussen de rijen. Om de extrapolatie uit te voeren, leidde hij een algemene formule af voor de binominale coëfficiënten in een willekeurige rij van Pascals driehoek — rij $latex m$ — en vulde hij vervolgens gedurfd $latex m= frac{1}{2}$ in. En wonder boven wonder werkte het. Dat gaf hem de tellers in de reeks die hij zocht voor een eenheidscirkel, $latexA_1$.
Hier is, in Newtons eigen woorden, zijn samenvatting aan Leibniz van de patronen die hij tot nu toe inductief opmerkte in het betoog:
Ik begon te bedenken dat de noemers 1, 3, 5, 7, enz. in rekenkundige progressie waren, zodat alleen de numerieke coëfficiënten van de tellers nog onderzocht moesten worden. Maar in de afwisselend gegeven gebieden waren dit de cijfers van de machten van het getal 11 … dat wil zeggen, eerste '1'; dan '1, 1'; ten derde, '1, 2, 1'; ten vierde '1, 3, 3, 1'; ten vijfde '1, 4, 6, 4, 1' enz. en dus begon ik te informeren hoe de resterende cijfers in de reeks konden worden afgeleid van de eerste twee gegeven cijfers, en ik ontdekte dat bij het plaatsen van $ latex m $ voor de tweede figuur, de rest zou worden geproduceerd door voortdurende vermenigvuldiging van de termen van deze reeks,
$latex frac{m-0}{1} keer frac{m-1}{2} keer frac {m-2}{3} keer frac{m-3}{4} keer frac {m-4}{5 }$, enz.
... Dienovereenkomstig heb ik deze regel toegepast om reeksen tussen reeksen te plaatsen, en aangezien voor de cirkel de tweede term $latex frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3)$ was, plaatste ik $latex m=frac{1}{2}$, en de voorwaarden die ontstonden waren
$latex frac {1}{2} keer frac{frac{1}{2}-1}{2}$ of $latex -frac{1}{8}$,
$latex -frac{1}{8} maal frac{frac{1}{2}-2}{3}$ of $latex + frac{1}{16}$,
$latex frac{1}{16} maal frac{frac{1}{2}-3}{4}$ of $latex – frac {5}{128}$,dus tot in het oneindige. Waar kwam ik tot het inzicht dat het gebied van het cirkelvormige segment dat ik wilde was
$latex x-frac{frac{1}{2}x^3}{3}-frac{frac{1}{8}x^5}{5}-frac{frac{1}{16}x^7}{7}-frac{frac{5}{128}x^9}{9}$ etc.
Ten slotte zou Newton, door $latex x=1$ in te pluggen, een oneindige som kunnen verkrijgen voor $latexfrac{π}{4}$. Het was een belangrijke bevinding, maar het blijkt dat er betere manieren zijn om pi te benaderen door middel van een oneindige som, zoals Newton zelf al snel ontdekte na zijn eerste uitstapje naar dit soort oneindige sommen, nu machtreeksen genoemd. Uiteindelijk berekende hij de eerste 15 cijfers van pi.
Terugkomend op het probleem van het cirkelsegment, realiseerde Newton zich dat de vergelijking voor de cirkel zelf (niet alleen het gebied eronder) ook kan worden weergegeven door een machtreeks. Het enige dat hij hoefde te doen, was de noemers weglaten en de machten van $latex x$ met 1 verminderen in de hierboven weergegeven machtreeks. Zo werd hij ertoe gebracht te raden dat
Om te testen of dit resultaat klopte, vermenigvuldigde Newton het met zichzelf: "Het werd $ latex 1-x ^ 2 $, de resterende termen verdwijnen door de voortzetting van de reeks tot in het oneindige."
Als we wat afstand nemen van de details, zien we hier verschillende lessen over het oplossen van problemen. Als een probleem te moeilijk is, verander het dan. Als het te specifiek lijkt, generaliseer het dan. Newton deed beide en behaalde resultaten die belangrijker en krachtiger waren dan waar hij oorspronkelijk naar op zoek was.
Newton fixeerde zich niet koppig op een kwart cirkel. Hij keek naar een veel algemenere vorm, elk cirkelvormig segment met een breedte van $ latex x $. In plaats van vast te houden aan $latex x=1$, liet hij $latex x$ vrij van 0 naar 1 lopen. Dat onthulde het binominale karakter van de coëfficiënten in zijn reeks - de onverwachte verschijning van getallen in de driehoek van Pascal en hun generalisaties - die laat Newton patronen zien die Wallis en anderen hadden gemist. Toen hij die patronen zag, kreeg Newton de inzichten die hij nodig had om de theorie van machtreeksen veel breder en in het algemeen te ontwikkelen.
In zijn latere werk gaf Newton's power-serie hem een Zwitsers zakmes voor calculus. Hiermee kon hij integralen maken, wortels van algebraïsche vergelijkingen vinden en de waarden van sinussen, cosinuslijnen en logaritmen berekenen. Zoals hij het uitdrukte: "Door hun hulp bereikt analyse, zou ik bijna zeggen, alle problemen."
De moraal: een probleem veranderen is geen bedrog. Het is creatief. En het kan de sleutel zijn tot iets groters.
