Hoe eenvoudige wiskunde de naald beweegt | Quanta-tijdschrift

Stel je voor dat je over straat rijdt in een auto zonder bestuurder en je een probleem ziet aankomen. Een bezorger van Amazon kreeg zijn busje halverwege een dubbel geparkeerde UPS-vrachtwagen voordat hij zich realiseerde dat hij er niet doorheen kon komen. Nu zitten ze vast. En zo ben jij.

De straat is te smal om een ​​U-ey te kunnen maken, dus uw AI-verbeterde auto maakt een driepuntsbocht. Eerst neemt de auto een bochtig pad richting een stoeprand. Daar aangekomen stuurt hij de andere kant op en rijdt achteruit naar de tegenoverliggende stoeprand. Vervolgens draait het het stuur terug in de richting van het eerste bochtige pad, waarbij het vooruit en weg van het obstakel rijdt.

Dit eenvoudige geometrische algoritme voor het maken van tussenliggende bochten kan u helpen zich in krappe situaties te verplaatsen. (Als je ooit parallel geparkeerd hebt, weet je wat dit heen en weer wiebelen voor je kan doen.)

Er is hier een leuk wiskundig probleem over hoeveel ruimte je nodig hebt om je auto te laten keren, en wiskundigen werken al meer dan 100 jaar aan een geïdealiseerde versie ervan. Het begon in 1917 toen de Japanse wiskundige Sōichi Kakeya een probleem stelde dat een beetje op onze file lijkt. Stel dat je een oneindig dunne naald met lengte 1 hebt. Wat is de oppervlakte van het kleinste gebied waarin je de naald 180 graden kunt draaien en terug kunt brengen naar zijn oorspronkelijke positie? Dit staat bekend als het naaldprobleem van Kakeya, en wiskundigen bestuderen nog steeds varianten ervan. Laten we eens kijken naar de eenvoudige geometrie die het naaldprobleem van Kakeya zo interessant en verrassend maakt.

Zoals bij veel wiskundige problemen gaat ook dit probleem gepaard met een aantal vereenvoudigende aannames die het minder realistisch maar beter beheersbaar maken. De lengte en breedte van een auto zijn bijvoorbeeld van belang tijdens het rijden, maar we gaan ervan uit dat onze naald lengte 1 en breedte nul heeft. (Dit betekent dat de naald zelf een oppervlak van nul heeft, wat een belangrijke rol speelt bij het oplossen van het probleem.) We gaan er ook van uit dat de naald, in tegenstelling tot een auto, rond de voorkant en de achterkant kan draaien. , of een punt daar tussenin.

Het doel is om het kleinste gebied te vinden waar de naald 180 graden kan draaien. Het vinden van het kleinste ding dat aan een bepaalde reeks voorwaarden voldoet, kan een uitdaging zijn, maar een goede manier om te beginnen is door te zoeken naar iets dat aan die voorwaarden voldoet en te kijken wat je gaandeweg kunt leren. Een eenvoudig antwoord is bijvoorbeeld om de naald 180 graden rond het eindpunt te draaien en hem vervolgens weer omhoog te schuiven. Hierdoor keert de naald terug naar zijn oorspronkelijke positie, maar hij wijst nu in de tegenovergestelde richting, zoals Kakeya's naaldprobleem vereist.

Het gebied dat nodig is voor de bocht is een halve cirkel met straal 1, die een oppervlakte heeft van $latex A = frac{1}{2} pi r^2 = frac{1}{2} pi (1)^2 = frac{ 1}{2} pi = frac{pi}{2}$. We hebben dus één regio gevonden die werkt.

We kunnen het beter doen door gebruik te maken van het vermogen van onze magische wiskundige naald om rond elk punt te draaien. In plaats van het om zijn eindpunt te draaien, draaien we het om zijn middelpunt.

Je zou dit het kompas van Kakeya kunnen noemen: onze naald wijst naar het noorden, maar na rotatie bevindt hij zich op dezelfde plek, maar wijst hij naar het zuiden. Dit gebied is een cirkel met straal $latex frac{1}{2}$, dus de oppervlakte is $latex A=pi r^2 = pi (frac{1}{2})^2 = pi frac{1}{ 4} =frac{pi}{4}$. Dit is de helft van de oppervlakte van onze eerste regio, dus we boeken vooruitgang.

Waar nu heen? We zouden ons kunnen laten inspireren door ons dilemma van een zelfrijdende auto en overwegen om zoiets als een driepuntsdraai voor de naald te gebruiken. Dit werkt eigenlijk best goed.

Het gebied dat met deze techniek door de naald wordt weggeveegd, wordt een deltaspier genoemd en voldoet ook aan de eisen van Kakeya. Voor het berekenen van de oppervlakte is meer nodig dan de elementaire geometrie die we hier bespreken (kennis van parametrische krommen helpt), maar het blijkt dat de oppervlakte van deze specifieke deltaspier (degene die wordt uitgestreken door een lijnsegment met lengte 1) precies $latex is. frac{pi}{8}$. Nu hebben we een nog kleinere regio waarin we Kakeya's naald kunnen omdraaien, en het zou je vergeven kunnen worden als je denkt dat dit het beste is wat we kunnen doen. Kakeya zelf dacht van wel.

Maar dit naaldprobleem kreeg een grote wending toen de Russische wiskundige Abram Besicovitch ontdekte dat je het oneindig veel beter kunt doen. Hij bedacht een procedure om onnodige stukjes van de regio weg te snijden totdat deze zo klein was als hij wilde.

Het proces is technisch en ingewikkeld, maar één strategie gebaseerd op het idee van Besicovitch berust op twee eenvoudige ideeën. Beschouw eerst de rechthoekige driehoek hieronder, met een hoogte van 1 en een basis van 2.

Op dit moment vergeten we het volledig omdraaien van de naald en concentreren we ons op één simpel feit: als we een naald met lengte 1 op het bovenste hoekpunt plaatsen, is de driehoek groot genoeg om de naald de volledige 90 graden te laten draaien. graden van de ene naar de andere kant.

Omdat de oppervlakte van de driehoek $latex A=frac{1}{2}bh$ is, heeft deze driehoek de oppervlakte $latex A=frac{1}{2} maal 2 maal 1 = 1$.

Dit is het eerste belangrijke idee: we kunnen de oppervlakte van de regio verkleinen, terwijl de rotatie van 90 graden behouden blijft. De strategie is simpel: we snijden de driehoek doormidden en duwen vervolgens de twee helften tegen elkaar aan.

De oppervlakte van deze nieuwe figuur moet kleiner zijn dan die van het origineel, omdat delen van de driehoek elkaar nu overlappen. In feite is het eenvoudig om de oppervlakte van de figuur te berekenen: het is slechts driekwart van het kwadraat van zijde 1, dus de oppervlakte is $latex A = frac{3}{4}$, wat kleiner is dan de oppervlakte van de driehoek waarmee we zijn begonnen.

En we kunnen de naald nog steeds in dezelfde richtingen richten als voorheen. Er is alleen één probleem: de oorspronkelijke hoek is in twee delen gesplitst, dus die richtingen zijn nu verdeeld in twee afzonderlijke gebieden.

Als de naald zich aan de linkerkant van het nieuwe gebied bevindt, kunnen we hem 45 graden draaien tussen zuid en zuidoost, en als hij aan de rechterkant staat, kunnen we hem 45 graden draaien tussen zuid en zuidwest, maar aangezien de twee delen gescheiden zijn , het lijkt er niet op dat we het de volledige 90 graden kunnen draaien zoals voorheen.

Dit is waar het tweede belangrijke idee om de hoek komt kijken. Er is een stiekeme manier om de naald van de ene naar de andere kant te krijgen, zonder veel ruimte nodig te hebben. Bij schaken weet je misschien dat het paard in een L-vorm beweegt. Welnu, onze naald gaat in een N-vorm bewegen.

Hier is hoe het gedaan is. Eerst schuift de naald aan één kant van de N omhoog. Vervolgens draait hij zodat hij langs de diagonaal wijst en naar beneden glijdt. Vervolgens draait hij opnieuw en beëindigt hij zijn reis door langs de andere kant van de N omhoog te glijden.

In eerste instantie lijkt deze N-vormige beweging misschien niet zo veel, maar hij doet wel iets heel nuttigs. Hierdoor kan de naald van de ene parallelle lijn naar de andere ‘springen’, wat ons zal helpen onze naald van de ene regio naar de andere te krijgen. Wat nog belangrijker is, is dat dit gebeurt zonder dat er veel ruimte nodig is. U kunt er zelfs voor zorgen dat er zo weinig ruimte nodig is als u wilt. Dit is waarom.

Bedenk dat onze naald een breedte van nul heeft. Dus elke lijn waar de naald langs beweegt, naar voren of naar achteren, heeft een oppervlakte van nul. Dit betekent dat het gebied dat nodig is om de naald omhoog, omlaag of diagonaal langs de N-vorm te bewegen, bestaat uit stukken met een oppervlakte van nul.

Dan blijven alleen de rotaties op de hoeken van de N-vorm over.

Deze bewegingen vereisen ruimte. Op elke hoek zie je een kleine sector van een cirkel. Maar hier is het stiekeme gedeelte: je kunt deze gebieden kleiner maken door de N te verlengen.

De formule voor de oppervlakte van een sector van een cirkel is $latex A = frac{theta}{360} pi r^2$, waarbij $latex theta$ de maat is voor de hoek van de sector in graden. Hoe groot de N ook is, de straal van de sector zal altijd 1 zijn: dat is de lengte van de naald. Maar naarmate de N groter wordt, wordt de hoek kleiner, waardoor de oppervlakte van de sector kleiner wordt. U kunt het extra gebied dus zo klein maken als u wilt door de N zo ver uit te strekken als u nodig heeft.

Bedenk dat we de oppervlakte van ons driehoekige gebied hebben kunnen verkleinen door het in tweeën te splitsen en de stukken te laten overlappen. Het probleem was dat hierdoor de hoek van 90 graden in twee afzonderlijke stukken werd gesplitst, waardoor we de naald niet de volledige 90 graden konden draaien. Nu kunnen we dat probleem oplossen door een geschikte N-vorm te gebruiken om ervoor te zorgen dat de naald een pad van de ene naar de andere kant heeft.

In dit bijgewerkte gebied kan de naald nog steeds de volledige 90 graden draaien zoals voorheen, maar dit gebeurt nu in twee fasen. Eerst draait de naald 45 graden en komt op één lijn met de verticale rand aan de linkerkant. Vervolgens beweegt het langs de N-vorm om naar de andere kant te komen. Als hij er eenmaal is, kun je de andere 45 graden vrij draaien.

Hierdoor wordt de naald 90 graden verplaatst, en om hem te laten draaien, voegt u gewoon geroteerde kopieën van het gebied toe.

Met de toevoeging van de juiste N-vormen kan de naald van het ene driehoekige schiereiland naar het volgende springen, waarbij hij zichzelf beetje bij beetje ronddraait totdat hij helemaal rond is, net zoals een auto een driepuntsbocht maakt.

Er zit meer duivelse wiskunde in de details, maar deze twee ideeën – dat we de oppervlakte van het oorspronkelijke gebied voortdurend kunnen verkleinen door het in stukken te snijden en te verschuiven, terwijl we ervoor zorgen dat we van stukje naar stukje kunnen komen met behulp van de willekeurig kleine N-vormen – helpen ons verplaats de naald in een steeds kleiner wordend gebied dat uiteindelijk zo klein kan zijn als u wilt.

Een meer standaardaanpak voor het bouwen van dit soort regio's begint met gelijkzijdige driehoeken en maakt gebruik van 'Perron-bomen', wat slimme manieren zijn om driehoeken in stukken te snijden en de stukken uit te rekken en weer in elkaar te schuiven. Het resultaat is ronduit verbluffend.

Onlangs hebben wiskundigen dat gedaan vooruitgang geboekt op nieuwe varianten van dit oude probleem, in hogere dimensies en met verschillende noties van omvang. We zullen waarschijnlijk nooit een door AI aangedreven auto een Kakeya-naaldpuntbocht zien maken, maar we kunnen nog steeds de schoonheid en eenvoud van zijn bijna niets waarderen.

Oefeningen

1. Wat is de oppervlakte van de kleinste gelijkzijdige driehoek die werkt als een Kakeya-naaldenset?

2. Je kunt het iets beter doen dan de gelijkzijdige driehoek in oefening 1 door een 'Reuleaux-driehoek' te gebruiken, een gebied gevormd door drie overlappende cirkelvormige sectoren. Wat is de oppervlakte van de kleinste Reuleaux-driehoek die werkt?