Introductie
In 2009 kondigden een paar astronomen van het Observatorium van Parijs een verrassende ontdekking aan. Na het bouwen van een gedetailleerd rekenmodel van ons zonnestelsel, gingen ze aan de slag duizenden numerieke simulaties, waarbij de bewegingen van de planeten miljarden jaren in de toekomst worden geprojecteerd. In de meeste van die simulaties - waarbij het startpunt van Mercurius varieerde over een bereik van iets minder dan 1 meter - verliep alles zoals verwacht. De planeten bleven rond de zon draaien en volgden ellipsvormige banen die er ongeveer zo uitzagen als in de geschiedenis van de mensheid.
Maar ongeveer 1% van de tijd ging het zijwaarts - vrij letterlijk. De vorm van de baan van Mercurius veranderde aanzienlijk. Zijn elliptische baan werd geleidelijk vlakker, totdat de planeet in de zon stortte of in botsing kwam met Venus. Soms, terwijl het zijn nieuwe pad door de ruimte afsneed, destabiliseerde zijn gedrag ook andere planeten: Mars zou bijvoorbeeld uit het zonnestelsel kunnen worden geworpen of het zou tegen de aarde kunnen botsen. Venus en de aarde zouden in een langzame, kosmische dans verschillende keren van baan kunnen wisselen voordat ze uiteindelijk in botsing komen.
Misschien was het zonnestelsel niet zo stabiel als men ooit dacht.
Eeuwenlang, sinds Isaac Newton zijn wetten van beweging en zwaartekracht formuleerde, worstelen wiskundigen en astronomen met deze kwestie. In het eenvoudigste model van het zonnestelsel, dat alleen rekening houdt met de zwaartekracht van de zon, volgen de planeten hun elliptische banen als een uurwerk voor de eeuwigheid. "Het is een soort van geruststellend beeld," zei Richard Moeckel, een wiskundige aan de Universiteit van Minnesota. "Het gaat voor altijd door, en we zullen allang weg zijn, maar Jupiter zal nog steeds rondgaan."
Maar als je eenmaal rekening houdt met de aantrekkingskracht tussen de planeten zelf, wordt alles ingewikkelder. Je kunt de posities en snelheden van de planeten over een lange tijdsperiode niet langer expliciet berekenen, maar moet in plaats daarvan kwalitatieve vragen stellen over hoe ze zich zouden kunnen gedragen. Zouden de effecten van de wederzijdse aantrekkingskracht van de planeten zich kunnen ophopen en het uurwerk kunnen breken?
Gedetailleerde numerieke simulaties, zoals die zijn gepubliceerd door het Observatorium van Parijs Jacques Lascar en Mickaël Gastineau in 2009 suggereren dat er een kleine maar reële kans is dat dingen in de war raken. Maar die simulaties, hoewel belangrijk, zijn niet hetzelfde als een wiskundig bewijs. Ze kunnen niet helemaal nauwkeurig zijn, en zoals de simulaties zelf laten zien, kan een kleine onnauwkeurigheid - in de loop van miljarden gesimuleerde jaren - tot heel andere resultaten leiden. Bovendien geven ze geen onderliggende verklaring waarom bepaalde gebeurtenissen zich zouden kunnen ontvouwen. "Je wilt begrijpen welke wiskundige mechanismen instabiliteiten veroorzaken, en bewijzen dat ze echt bestaan," zei Marcel Guardia, een wiskundige aan de Universiteit van Barcelona.
Introductie
Nu in drie papieren dat samen meer dan 150 pagina'shebben Guàrdia en twee medewerkers voor het eerst bewezen dat instabiliteit onvermijdelijk ontstaat in een model van planeten die rond de zon draaien.
"Het resultaat is echt heel spectaculair", zei hij Gabriëlla Pinzari, een wiskundig natuurkundige aan de Universiteit van Padua in Italië. "De auteurs hebben een stelling bewezen die een van de mooiste stellingen is die men kan bewijzen." Het zou ook kunnen helpen verklaren waarom ons zonnestelsel er zo uitziet.
Vier pagina's en een nieuw verhaal
Eeuwen geleden was al duidelijk dat interacties tussen de planeten langetermijneffecten kunnen hebben. Denk aan Mercurius. Het duurt ongeveer drie maanden om op een elliptische baan rond de zon te reizen. Maar dat pad roteert ook langzaam - een graad per 600 jaar, een volledige rotatie elke 200,000. Dit soort rotatie, bekend als precessie, is grotendeels het gevolg van het feit dat Venus, de aarde en Jupiter aan Mercurius trekken.
Maar onderzoek in de 18e eeuw door wiskundige reuzen als Pierre-Simon Laplace en Joseph-Louis Lagrange gaf aan dat, afgezien van precessie, de grootte en vorm van de ellips stabiel zijn. Pas aan het einde van de 19e eeuw begon deze intuïtie te verschuiven, toen Henri Poincaré ontdekte dat het zelfs in een model met slechts drie lichamen (bijvoorbeeld een ster in een baan om twee planeten) onmogelijk is om exacte oplossingen voor de vergelijkingen van Newton te berekenen. "Hemelse mechanica is een delicaat iets," zei Rafaël de la Llave, een wiskundige aan het Georgia Institute of Technology. Verander de beginvoorwaarden met een haar - bijvoorbeeld door de veronderstelde positie van een planeet met slechts een meter te verschuiven, zoals Laskar en Gastineau deden in hun simulaties - en over lange tijdschalen kan het systeem er heel anders uitzien.
In het drielichamenprobleem vond Poincaré een wirwar van mogelijke gedragingen die zo ingewikkeld waren dat hij eerst dacht dat hij een fout had gemaakt. Toen hij eenmaal de waarheid van zijn resultaten had geaccepteerd, was het niet langer mogelijk om de stabiliteit van het zonnestelsel als vanzelfsprekend te beschouwen. Maar omdat het werken met de vergelijkingen van Newton zo moeilijk is, was het niet duidelijk of het gedrag van het zonnestelsel alleen op kleine schaal gecompliceerd en chaotisch zou kunnen zijn — planeten zouden bijvoorbeeld in verschillende posities binnen een voorspelbare band terecht kunnen komen — of dat , zoals Guàrdia en zijn medewerkers uiteindelijk in hun eigen model zouden bewijzen, zouden de grootte en vorm van banen zo sterk kunnen veranderen dat planeten mogelijk tegen elkaar botsen of naar het oneindige reizen.
Toen, in 1964, schreef de wiskundige Vladimir Arnold een vier pagina's papier dat zorgde voor de juiste taal om het probleem te kaderen. Hij vond een specifieke reden waarom sleutelvariabelen in een dynamisch systeem ingrijpend kunnen veranderen. Eerst kookte hij een kunstmatig exemplaar, een vreemde mix van een slinger en een rotor die in de verste verte niet leek op iets wat je in de natuur tegenkomt. In dit speelgoedmodel bewees hij dat bepaalde hoeveelheden die gewoonlijk constant blijven, met voldoende tijd enorm kunnen veranderen.
Arnold vermoedde toen dat de meeste dynamische systemen dit soort instabiliteit zouden moeten vertonen. In het geval van het zonnestelsel zou dit kunnen betekenen dat de baanvormen of excentriciteiten van bepaalde planeten in de loop van miljarden jaren kunnen verschuiven.
Maar hoewel wiskundigen en natuurkundigen uiteindelijk veel vooruitgang boekten door te bewijzen dat instabiliteit in het algemeen ontstaat, hadden ze moeite om dit aan te tonen voor hemelmodellen. Dat komt omdat het zwaartekrachteffect van de zon zo overweldigend sterk is dat veel kenmerken van het planetaire uurwerkmodel blijven bestaan, zelfs als je kijkt naar de extra krachten die door de planeten worden uitgeoefend. (In deze context geeft de Newtoniaanse mechanica zo'n goede benadering van de werkelijkheid dat deze modellen geen rekening hoeven te houden met de effecten van de algemene relativiteitstheorie.) Dergelijke inherente stabiliteit maakt instabiliteit moeilijk te detecteren.
Zouden parameters die zo stabiel bleven in berekeningen van Laplace, Lagrange en anderen echt significant kunnen veranderen? "Je moet omgaan met een instabiliteit die extreem zwak is", zei hij Laurent Niederman van de Paris-Saclay Universiteit. De gebruikelijke methoden zullen het niet vangen.
Numerieke simulaties boden hoop dat de jacht op zo'n bewijs niet tevergeefs was. En er waren voorlopige bewijzen. In 2016 bijvoorbeeld de la Llave en twee collega's bewezen instabiliteit in een vereenvoudigd hemelmechanica-model bestaande uit een zon, een planeet en een komeet, waarbij werd aangenomen dat de komeet geen massa had en dus geen zwaartekrachteffect op de planeet. Deze opstelling staat bekend als een "beperkte" n-lichaam probleem.
De nieuwe kranten pakken een ware aan n-lichaamsprobleem - waaruit blijkt dat instabiliteit ontstaat in een planetair systeem waar drie kleine lichamen rond een veel grotere zon draaien. Hoewel de grootte en vorm van de banen lang rond vaste waarden kunnen schommelen, zullen ze uiteindelijk drastisch veranderen.
Dit was verwacht - algemeen werd aangenomen dat stabiliteit en instabiliteit naast elkaar bestaan in dit soort modellen - maar de wiskundigen waren de eersten die het bewezen.
De ultieme instabiliteit
Samen met Jacques Féjoz van de Universiteit van Paris Dauphine, probeerde Guàrdia in 2016 voor het eerst de instabiliteit te bewijzen in het drielichamenprobleem (één zon, twee planeten). er ontstond een chaotische dynamiek in de smaak van Poincaré konden ze niet bewijzen dat dit chaotische gedrag overeenkwam met grote en langdurige veranderingen.
Andrew Clarke, een postdoc die onder Guàrdia studeerde, kwam in september 2020 bij hen en ze besloten het probleem nog een keer te proberen, dit keer door een extra planeet aan de mix toe te voegen. In hun model draaien drie planeten op steeds grotere afstand van elkaar om een zon. Cruciaal is dat de binnenste planeet in een baan begint met een aanzienlijke helling ten opzichte van de tweede en derde planeet, zodat zijn baan praktisch een rechte hoek vormt met die van hen.
Door deze neiging konden de wiskundigen beginvoorwaarden vinden die instabiliteit tot gevolg hadden.
Ze toonden het bestaan van trajecten aan die leidden tot vrijwel elke mogelijke excentriciteit voor de tweede planeet: na verloop van tijd was het mogelijk dat de ellips afplatte totdat het bijna op een rechte lijn leek. Ondertussen zouden de banen van de tweede en derde planeet, die in hetzelfde vlak waren begonnen, ook loodrecht op elkaar kunnen eindigen. De tweede planeet kon zelfs 180 graden draaien, zodat terwijl alle planeten eerst met de klok mee rond de zon bewogen, de tweede uiteindelijk tegen de klok in bewoog. "Stel je voor dat je een miljoen jaar vooruit kijkt, en Mars gaat de tegenovergestelde kant op", zei hij Richard Montgomery van de Universiteit van Californië, Santa Cruz. "Dat zou raar zijn."
"Je kunt hele wilde banen niet vermijden, zelfs niet in deze eenvoudige setting," zei Niederman.
Toch bleven de afmetingen van de banen stabiel. Dat komt omdat in dit model de planeten heel snel rond de zon bewegen in vergelijking met hoe lang het duurt voordat hun banen verlopen - waardoor de wiskundigen de "snelle" variabelen die verband houden met de bewegingen van de planeten kunnen verdoezelen. "Het is vervelend om na te denken over wat er elk jaar gebeurt als je echt geïnteresseerd bent in wat er gedurende duizend jaar gebeurt", zei Moeckel. Trillingen in de grootte van elke ellips (gemeten in termen van de lange straal of halve lange as) worden gemiddeld.
Dit was niet verrassend. "Algemene kennis zegt dat de helling en de excentriciteit onstabieler zouden moeten zijn dan de halve lange as," zei Guàrdia. Maar toen beseften hij en zijn collega's dat als ze de derde planeet nog verder van de zon zouden plaatsen, ze misschien meer instabiliteit in hun model zouden kunnen brengen.
Dit nieuwe systeem en de vergelijkingen die eraan ten grondslag liggen, waren ingewikkelder en de wiskundigen waren er niet zeker van dat ze resultaten zouden kunnen behalen. Maar "het was te veel om te negeren", zei Clarke. "Als er een kans was dat halve lange assen zouden kunnen afdrijven, dan bedoel ik dat je dat moet nastreven."
Laskar, die veel van het numerieke werk over instabiliteit in het zonnestelsel heeft geleid, zei dat als je dit soort zonnestelsel over het onze zou leggen, je de eerste planeet zou kunnen zien genesteld tegen de zon, de tweede planeet waar de aarde zou zijn be, en de derde planeet helemaal bij de Oortwolk, aan de buitengrenzen van ons zonnestelsel. (Als gevolg hiervan, voegde hij eraan toe, vertegenwoordigt dit een "zeer extreme situatie" - een die hij niet per se verwacht in onze eigen melkweg aan te treffen.)
Hoe groter de afstand van een planeet tot de zon, hoe langer het duurt om een baan te voltooien. In dit geval is de derde planeet zo ver weg dat de precessie van de twee binnenste planeten sneller verloopt. Het is niet langer mogelijk om de beweging van de laatste planeet uit te middelen - een scenario waar Lagrange en Laplace geen rekening mee hielden in hun verslagen over de stabiliteit van het zonnestelsel. "Dit zal de structuur van de vergelijking volledig veranderen," zei Alain Chenciner, een wiskundige ook aan het Observatorium van Parijs. Er waren nu meer variabelen om je zorgen over te maken.
Clarke, Fejoz en Guàrdia bewezen dat de banen willekeurig groot kunnen worden. "Ze krijgen eindelijk de grootte van de baan om te vergroten, in tegenstelling tot alleen de vorm of iets dergelijks, " zei Moeckel. "Dat is de ultieme instabiliteit."
Hoewel deze veranderingen zich heel langzaam opstapelden, vonden ze nog steeds sneller plaats dan men had verwacht - wat suggereert dat veranderingen in een realistisch planetair systeem zich zouden kunnen ophopen over honderden miljoenen jaren in plaats van over miljarden.
Introductie
De resultaten geven een mogelijke verklaring waarom de planeten in ons zonnestelsel banen hebben die bijna allemaal in hetzelfde vlak liggen. Het laat zien dat zoiets eenvoudigs als een grote hellingshoek een bron van veel instabiliteit kan zijn, op meerdere punten. "Als je begint met een situatie waarin de wederzijdse neigingen behoorlijk groot zijn, dan vernietig je het systeem vrij 'snel'", zei Chenciner. "Het zou honderden, duizenden eeuwen geleden vernietigd zijn."
Hoogdimensionale snelwegen
Deze bewijzen vereisten een slimme combinatie van technieken uit meetkunde, analyse en dynamica - en een terugkeer naar basisdefinities.
De wiskundigen stelden elke configuratie van hun planetaire systeem (de posities en snelheden van de planeten) voor als een punt in een hoogdimensionale ruimte. Hun doel was om het bestaan van "snelwegen" door de ruimte aan te tonen die corresponderen met bijvoorbeeld grote veranderingen in de excentriciteit van de tweede planeet, of in de halve lange as van de derde planeet.
Om dat te doen, moesten ze eerst elk punt uitdrukken in termen van coördinaten die zo esoterisch en complex waren dat bijna niemand er zelfs maar van had gehoord, laat staan geprobeerd ze te gebruiken. (De coördinaten werden begin jaren tachtig ontdekt door de Belgische astronoom André Deprit, vervolgens vergeten en later onafhankelijk ontdekt door Pinzari in 1980 terwijl ze aan haar proefschrift werkte. Sindsdien zijn ze nauwelijks meer gebruikt.)
Door de coördinaten van Deprit te gebruiken om hun hoogdimensionale ruimte van planetaire configuraties te beschrijven, kregen de wiskundigen een beter begrip van de structuur ervan. "Dat is een deel van de schoonheid van het bewijs: erin slagen om te gaan met deze 18-dimensionale geometrie," zei Fejoz.
Fejoz, Clarke en Guàrdia vonden snelwegen die verschillende speciale regio's in die ruimte doorkruisten. Vervolgens gebruikten ze hun hernieuwde geometrische inzicht om te bewijzen dat de snelwegen overeenkwamen met een onstabiele dynamiek in de grootte en vorm van de banen van de planeten.
“Toen ik klaar was met mijn Ph.D. 30 jaar geleden,' zei Niederman, 'waren we extreem, extreem ver verwijderd van dit soort resultaten.'
"Het is zo'n gecompliceerd systeem dat je het gevoel hebt dat er iets moet gebeuren dat niet duidelijk verboden is", zei Chenciner. "Maar het is meestal erg moeilijk om het te bewijzen."
Wiskundigen hopen nu de technieken van Clarke, Fejoz en Guàrdia te gebruiken om instabiliteit te bewijzen in modellen die meer op ons eigen zonnestelsel lijken. Dit soort resultaten worden bijzonder betekenisvol naarmate astronomen steeds meer exoplaneten ontdekken die in een baan om andere sterren draaien en een breed scala aan configuraties laten zien. "Het is net een open lab," zei Maria Gidea, een wiskundige aan de Yeshiva University. "Om op papier te begrijpen welke soorten evoluties van planetaire systemen kunnen plaatsvinden, en om dat te vergelijken met wat je kunt waarnemen - het is heel opwindend. Het geeft veel informatie over de fysica van ons universum, en over hoeveel hiervan onze wiskunde kan vastleggen door middel van relatief eenvoudige modellen.”
In de hoop een dergelijke vergelijking te kunnen maken, heeft Fejoz met een aantal astronomen gesproken over het identificeren van extrasolaire systemen die lijken op, zelfs losjes, het model dat hij en zijn collega's hebben ontwikkeld. Andere onderzoekers, waaronder Gidea, zeggen dat het werk nuttig zou kunnen zijn voor het ontwerpen van efficiënte banen voor kunstmatige satellieten, of om uit te zoeken hoe deeltjes met hoge snelheden door een deeltjesversneller kunnen worden verplaatst. Zoals Pinzari zei: "Onderzoek naar hemelmechanica is nog springlevend."
Het uiteindelijke doel zou zijn om instabiliteit in ons eigen zonnestelsel te bewijzen. "Ik word midden in de nacht wakker en denk eraan," zei Clarke. 'Ik zou zeggen dat dat de echte droom zou zijn, maar het zou een nachtmerrie zijn, nietwaar? Omdat we genaaid zouden worden.”
correctie: 16 mei 2023
Dit artikel is herzien om aan te geven dat Marcel Guàrdia professor is aan de Universiteit van Barcelona. Hij verhuisde in de zomer van 2022 van de Polytechnische Universiteit van Catalonië.
- Door SEO aangedreven content en PR-distributie. Word vandaag nog versterkt.
- PlatoAiStream. Web3 gegevensintelligentie. Kennis versterkt. Toegang hier.
- De toekomst slaan met Adryenn Ashley. Toegang hier.
- Koop en verkoop aandelen in PRE-IPO-bedrijven met PREIPO®. Toegang hier.
- Bron: https://www.quantamagazine.org/new-math-shows-when-solar-systems-become-unstable-20230516/
- : heeft
- :is
- :niet
- :waar
- ][P
- $UP
- 000
- 1
- 200
- 2016
- 2020
- 2022
- 30
- a
- in staat
- Over
- over het
- versneller
- aanvaard
- Account
- accounts
- Accumuleren
- Geaccumuleerd
- werkelijk
- toevoegen
- toegevoegd
- toe te voegen
- Extra
- Na
- tegen
- geleden
- Alles
- Het toestaan
- alleen
- al
- ook
- onder
- hoeveelheden
- an
- analyse
- en
- aangekondigd
- Nog een
- elke
- iedereen
- iets
- ongeveer
- ZIJN
- rond
- dit artikel
- kunstmatig
- AS
- uitgegaan van
- At
- gepoogd
- aantrekkingskracht
- auteurs
- gemiddelde
- vermijd
- weg
- ASSEN
- As
- BAND
- Barcelona
- basis-
- BE
- prachtige
- Beauty
- omdat
- worden
- worden
- geweest
- vaardigheden
- geloofde
- tussen
- Groot
- miljarden
- Blend
- lichamen
- pin
- Breken
- breed
- Gebouw
- maar
- by
- berekenen
- Californië
- CAN
- kan niet
- vangen
- geval
- het worstelen
- eeuwen
- Eeuw
- zeker
- kans
- verandering
- veranderd
- Wijzigingen
- duidelijk
- uurwerk
- Cloud
- collega's
- combinatie van
- Komeet
- vergelijken
- vergeleken
- vergelijking
- compleet
- compleet
- complex
- ingewikkeld
- berekeningen
- Berekenen
- voorwaarden
- Configuratie
- Overwegen
- beschouwt
- bestaande uit
- constante
- verband
- voortgezet
- gekookt
- kon
- Koppel
- Type cursus
- Neerstorten
- cruciaal
- Snijden
- dansen
- transactie
- beslist
- diepere
- Mate
- beschrijven
- ontwerpen
- vernietigen
- vernietigd
- gedetailleerd
- ontwikkelde
- DEED
- anders
- moeilijk
- ontdekt
- ontdekking
- afstand
- do
- doet
- Nee
- gedaan
- Dont
- dramatisch
- droom
- rit
- dynamica
- elk
- Vroeg
- aarde
- effect
- duurt
- doeltreffend
- beide
- einde
- genoeg
- vergelijkingen
- gevestigd
- Zelfs
- EVENTS
- uiteindelijk
- OOIT
- Alle
- alles
- evoluties
- voorbeeld
- uitwisseling
- opwindend
- tentoonstellen
- bestaan
- verwachten
- verwacht
- Verklaren
- uitleg
- uitdrukkelijk
- extra
- extreem
- uiterst
- ver
- sneller
- Voordelen
- Tot slot
- VIND DE PLEK DIE PERFECT VOOR JOU IS
- Voornaam*
- eerste keer
- vast
- Tik
- volgen
- Voor
- Krachten
- altijd
- formulieren
- Naar voren
- gevonden
- oppompen van
- vol
- Bovendien
- toekomst
- Galaxy
- Algemeen
- krijgen
- Geven
- gegeven
- geeft
- Go
- doel
- gaan
- goed
- geregeerd
- geleidelijk
- verleend
- zwaartekracht
- zwaartekracht
- groot
- meer
- Groeien
- HAD
- Haar
- handvat
- gebeuren
- Happening
- Hard
- Hebben
- he
- gehoord
- hulp
- haar
- Hoge
- snelwegen
- zijn
- geschiedenis
- hoop
- hoopt
- Hoe
- How To
- HTTPS
- menselijk
- Honderden
- honderdmiljoenen
- jacht
- i
- het identificeren van
- if
- belangrijk
- onmogelijk
- in
- Inclusief
- Laat uw omzet
- in toenemende mate
- onafhankelijk
- aangegeven
- onvermijdelijk
- Infinity
- informatie
- inherent
- eerste
- instabiliteit
- instantie
- verkrijgen in plaats daarvan
- Instituut
- interacties
- geïnteresseerd
- in
- kwestie
- IT
- Italië
- HAAR
- toegetreden
- Jupiter
- voor slechts
- sleutel
- Soort
- kennis
- bekend
- laboratorium
- taal
- Groot
- grotendeels
- groter
- Achternaam*
- Laat
- later
- Wetten
- leiden
- LED
- minder
- laten
- als
- grenzen
- Lijn
- lang
- lange tijd
- langdurig
- langer
- Kijk
- keek
- LOOKS
- lot
- gemaakt
- magazine
- MERKEN
- maken
- beheer
- veel
- maart
- Massa
- wiskunde
- wiskundig
- wiskunde
- Mei..
- gemiddelde
- zinvolle
- Ondertussen
- mechanica
- mechanismen
- kwik
- meer
- methoden
- Midden
- macht
- miljoen
- miljoenen
- fout
- model
- modellen
- maanden
- meer
- meest
- beweging
- bewegingen
- beweging
- bewegend
- veel
- meervoudig
- Dan moet je
- wederzijds
- my
- NATUUR
- bijna
- nodig
- Noodzaak
- New
- Newton
- nacht
- geen
- nu
- observatorium
- waarnemen
- opgetreden
- of
- korting
- aangeboden
- on
- eens
- EEN
- Slechts
- open
- gekant tegen
- tegenover
- or
- Baan
- baan
- Overige
- Overig
- onze
- uit
- resultaten
- over
- het te bezitten.
- paar
- Papier
- papieren
- parameters
- Parijs
- deel
- vooral
- pad
- Mensen
- periodes
- Fysica
- beeld
- vliegtuig
- Planeten
- Plato
- Plato gegevensintelligentie
- PlatoData
- punt
- positie
- posities
- mogelijk
- potentieel
- mogelijk
- bijna
- nauwkeurig
- Voorspelbaar
- mooi
- probleem
- Hoogleraar
- Voortgang
- bewijs
- bewijzen
- Bewijzen
- bewezen
- zorgen voor
- PSL
- gepubliceerde
- trekken
- kwalitatieve
- Contact
- snel
- reeks
- tarief
- liever
- vast
- realistisch
- Realiteit
- realiseerde
- werkelijk
- reden
- reflecteren
- regio
- verwant
- relatief
- relativiteit
- vertegenwoordigd
- vertegenwoordigt
- nodig
- onderzoek
- onderzoekers
- resultaat
- Resultaten
- terugkeer
- rechts
- Zei
- dezelfde
- Kerstman
- satellieten
- ervaren
- zegt
- Scale
- scenario
- Tweede
- zien
- September
- het instellen van
- setup
- verscheidene
- Vorm
- vormen
- ze
- verschuiving
- VERSCHUIVEN
- moet
- tonen
- presentatie
- vertoonde
- Shows
- zijdelings
- aanzienlijke
- aanzienlijk
- Eenvoudig
- vereenvoudigd
- sinds
- situatie
- Maat
- maten
- traag
- Langzaam
- Klein
- So
- dusver
- zonne-
- Zonnestelsel
- Oplossingen
- iets
- bron
- Tussenruimte
- spreken
- special
- specifiek
- spectaculaire
- snelheden
- besteden
- Stabiliteit
- stabiel
- Ster
- Sterren
- begin
- gestart
- Start
- starts
- blijven
- verbleef
- Still
- recht
- sterke
- structuur
- Bestuderen
- dergelijk
- stel
- zomer
- Zon
- verrassend
- system
- Systems
- aanpakken
- Nemen
- neemt
- technieken
- Technologie
- termen
- neem contact
- dat
- De
- De toekomst
- hun
- Ze
- zich
- harte
- Er.
- daarom
- Deze
- scriptie
- ze
- ding
- spullen
- denken
- het denken
- Derde
- dit
- die
- toch?
- gedachte
- duizenden kosten
- drie
- Door
- overal
- niet de tijd of
- keer
- naar
- ook
- Tracing
- traject
- reizen
- probeerden
- waar
- waarheid
- twee
- types
- ultieme
- ontdekken
- voor
- die ten grondslag liggen
- begrijpen
- begrip
- Universum
- universiteit-
- University of California
- tot
- .
- gebruikt
- gebruik
- doorgaans
- vergeefs
- Values
- Venus
- zeer
- Wake
- Wakker worden
- willen
- was
- Manier..
- webp
- GOED
- gegaan
- waren
- Wat
- wanneer
- welke
- en
- WIE
- Waarom
- wijd
- Wild
- wil
- Met
- binnen
- Mijn werk
- werkzaam
- zorgen
- zou
- jaar
- jaar
- You
- zephyrnet