Kansrekening en getaltheorie botsen - in een oogwenk

Hun ambities waren altijd hoog. Toen Will Sawin en Melanie Matchett Wood in de zomer van 2020 voor het eerst gingen samenwerken, wilden ze de belangrijkste componenten van enkele van de meest prikkelende vermoedens in de getaltheorie heroverwegen. De onderwerpen van hun aandacht, klasgroepen, houden nauw verband met fundamentele vragen over hoe rekenen werkt wanneer getallen verder gaan dan de gehele getallen. Zagen, aan de Columbia University, en Hout, op Harvard, wilde voorspellingen doen over structuren die nog algemener en wiskundig intimiderender zijn dan de klasgroep.

Nog voordat ze klaar waren met het formuleren van hun voorspellingen, bewezen ze in oktober een nieuw resultaat waarmee wiskundigen een van de handigste instrumenten van de kansrekening kunnen toepassen, niet alleen op klassengroepen, maar ook op verzamelingen getallen, netwerken en vele andere wiskundige objecten.

"Dit wordt gewoon het fundamentele document waar iedereen naar toe gaat als ze over deze problemen gaan nadenken", zei hij David Zureick-Brown, een wiskundige aan de Emory University. "Het voelt niet meer alsof je dingen vanuit het niets hoeft uit te vinden."

Een klasse act

Een klassengroep is een voorbeeld van een gestructureerde wiskundige set die een groep wordt genoemd. Groepen bevatten veel bekende verzamelingen, zoals de gehele getallen. Wat de gehele getallen tot een groep maakt, in plaats van slechts een reeks getallen, is dat je de elementen bij elkaar kunt optellen en een ander geheel getal kunt krijgen. Over het algemeen is een set een groep als er een bewerking aan wordt toegevoegd die, zoals optellen, twee elementen combineert tot een derde element op een manier die aan enkele basisvereisten voldoet. Er zou bijvoorbeeld een versie van nul moeten zijn, een element dat geen van de andere verandert.

De gehele getallen, die wiskundigen gewoonlijk $latex mathbb{Z}$ noemen, zijn oneindig. Maar veel groepen hebben een eindig aantal elementen. Om bijvoorbeeld een groep te maken die uit vier elementen bestaat, beschouwen we de verzameling {0, 1, 2, 3}. In plaats van regelmatig optellen, deel je de som van twee willekeurige getallen door 4 en neem je de rest. (Volgens deze regels is 2 + 2 = 0 en 2 + 3 = 1.) Deze groep heet $latex mathbb{Z}/4mathbb{Z}$.

Als je een groep wilt maken met $latex n$ elementen, kun je in het algemeen de getallen nul tot en met nemen n – 1 en houd rekening met de rest bij het delen door n. De resulterende groep heet $latex mathbb{Z}/nmathbb{Z}$, hoewel dit niet altijd de enige groep is met n elementen.

De klassengroep verschijnt wanneer getaltheoretici de structuur van getallen buiten de gehele getallen onderzoeken. Om dit te doen, voegen ze nieuwe getallen toe aan de gehele getallen, zoals i (de vierkantswortel van −1), $latex sqrt{5}$, of zelfs $latex sqrt{–5}$.

“Dingen die we gewend zijn over cijfers zijn in deze context niet meer waar. Of in ieder geval, ze zijn niet noodzakelijkerwijs waar,' zei Jordan ellenberg, een wiskundige aan de Universiteit van Wisconsin, Madison.

Concreet werkt factoring anders in uitbreidingen van de gehele getallen. Als je alleen de gehele getallen gebruikt, kunnen getallen op slechts één manier worden ontbonden in priemgetallen (getallen die alleen door zichzelf en 1 kunnen worden gedeeld). 6 is bijvoorbeeld 2 × 3 en kan niet worden ontbonden in andere priemgetallen. Deze eigenschap wordt unieke factorisatie genoemd.

Maar als je $latex sqrt{–5}$ toevoegt aan je getallenstelsel, heb je geen unieke ontbinding meer. Je kunt 6 op twee verschillende manieren ontbinden in priemgetallen. Het is nog steeds 2 × 3, maar het is ook $latex (1 + sqrt{–5})$ × $latex (1 – sqrt{–5})$.

Op basis van dergelijke uitbreidingen van de gehele getallen worden klassengroepen gemaakt. "Klasse groepen zijn ongelooflijk belangrijk," zei Wood. "En dus is het normaal om je af te vragen: hoe zijn ze meestal?"

De grootte van de klassegroep die is gekoppeld aan een uitbreiding van de gehele getallen is een barometer voor hoeveel unieke factorisatie afbreekt. Hoewel wiskundigen hebben bewezen dat klassengroepen altijd eindig zijn, is het ingewikkeld om hun structuur en grootte te achterhalen. Daarom in 1984 Henri Cohen en Hendrik Lenstra waagde wat gissingen. Hun vermoedens, nu de Cohen-Lenstra-heuristiek genoemd, hadden betrekking op alle klassengroepen die opduiken als je nieuwe vierkantswortels toevoegt aan de gehele getallen. Als al die klasgroepen bijeen waren, stelden Cohen en Lenstra antwoorden voor op vragen als: Welk deel van hen bevat de groep $latex mathbb{Z}/3mathbb{Z}$? Of $latex mathbb{Z}/7mathbb{Z}$? Of een ander bekend type eindige groep?

Cohen en Lenstra spoorden getaltheoretici aan om niet alleen geïsoleerde voorbeelden van klassengroepen te overwegen, maar ook statistieken die ten grondslag liggen aan klassengroepen als geheel. Hun voorspellingen pasten in een visie van wiskunde als een universum met patronen die op elk niveau ontdekt moeten worden.

Bijna 40 jaar later wordt algemeen aangenomen dat de Cohen-Lenstra-heuristieken waar zijn, hoewel niemand ze heeft kunnen bewijzen. Hun impact op de wiskunde is voelbaar geweest, zegt Nigel Boston, emeritus hoogleraar aan de Universiteit van Wisconsin, Madison. "Wat is ontdekt, is dit verbazingwekkende web," zei hij. "Er is een enorme infrastructuur van de manier waarop we denken dat de wereld in elkaar zit."

Het enige spel in de stad

Niet in staat om de heuristiek direct aan te pakken, kwamen wiskundigen met meer handelbare problemen waarvan ze hoopten dat ze de situatie zouden verhelderen. Uit dat werk kwam een ​​bruikbare reeks grootheden naar voren die wiskundigen momenten begonnen te noemen, naar een term die in de waarschijnlijkheidstheorie wordt gebruikt.

Bij waarschijnlijkheid kunnen momenten u helpen de verdelingen achter willekeurige getallen uit te werken. Denk bijvoorbeeld aan de verdeling van de dagelijkse hoge temperatuur op 1 januari in New York City - de kans dat het op 1 januari van volgend jaar 10 graden Fahrenheit, of 40 graden, of 70 of 120 zal zijn. met zijn gegevens uit het verleden: een geschiedenis van de dagelijkse high op 1 januari elk jaar sinds het begin van de geregistreerde geschiedenis.

Als je het gemiddelde van deze temperaturen berekent, leer je een beetje, maar niet alles. Een gemiddelde hoge temperatuur van 40 graden zegt niets over de kans dat de temperatuur boven de 50 graden of onder de 20 zal liggen.

Maar dit verandert als u meer informatie krijgt. In het bijzonder kunt u het gemiddelde van het kwadraat van de temperatuur leren, een grootheid die bekend staat als het tweede moment van de verdeling. (Het gemiddelde is het eerste moment.) Of je zou het gemiddelde van de kubussen kunnen leren, dat bekend staat als het derde moment, of het gemiddelde van de vierde macht - het vierde moment.

Tegen de jaren 1920 hadden wiskundigen bedacht dat als de momenten in deze reeks voldoende langzaam groeien, als je alle momenten kent, je kunt afleiden dat slechts één mogelijke verdeling die momenten heeft. (Hoewel je hiermee niet noodzakelijkerwijs die verdeling direct kunt berekenen.)

'Dat is echt niet intuïtief,' zei Wood. “Als je denkt aan een continue verdeling, dan heeft die een bepaalde vorm. Het voelt alsof het meer heeft dan alleen in een reeks cijfers kan worden vastgelegd.

Wiskundigen die geïnteresseerd waren in de Cohen-Lenstra-heuristiek kwamen tot de conclusie dat, net zoals momenten in de kansrekening kunnen worden gebruikt om tot een kansverdeling te komen, momenten die op een bepaalde manier voor klassengroepen zijn gedefinieerd, een lens kunnen zijn waardoor we hun grootte en structuur kunnen zien. . Jacob Tsimerman, een wiskundige aan de Universiteit van Toronto, zei dat hij zich niet kan voorstellen hoe de verdeling van klassengroepsgroottes rechtstreeks kan worden berekend. Momenten gebruiken, zei hij, is 'meer dan gemakkelijker. Het is de enige wedstrijd in de stad.”

Dit magische moment

Terwijl elk moment in waarschijnlijkheid wordt geassocieerd met een geheel getal - de derde macht, de vierde macht, enzovoort - komen de nieuwe grootheden die door getaltheoretici zijn geïntroduceerd, elk overeen met een groep. Deze nieuwe momenten zijn afhankelijk van het feit dat je een groep vaak kunt terugbrengen tot een kleinere groep door verschillende elementen samen te vouwen.

Om het moment geassocieerd met een groep te berekenen G, neem alle mogelijke klassengroepen - één voor elke nieuwe vierkantswortel die je toevoegt aan de gehele getallen. Tel voor elke klasgroep het aantal verschillende manieren waarop je deze kunt samenvouwen G. Neem vervolgens het gemiddelde van die getallen. Dit proces lijkt misschien ingewikkeld, maar het is veel gemakkelijker om mee te werken dan de daadwerkelijke verdeling achter de voorspellingen van Cohen en Lenstra. Hoewel de Cohen-Lenstra-heuristieken zelf ingewikkeld zijn om te vermelden, zijn de momenten van de verdeling die ze voorspellen allemaal 1.

"Dat zet je aan het denken, wauw, misschien zijn de momenten de natuurlijke manier om het te benaderen," zei Ellenberg. "Het lijkt geloofwaardiger om te kunnen bewijzen dat iets gelijk is aan 1 dan om te bewijzen dat het gelijk is aan een gek oneindig product."

Wanneer wiskundigen verdelingen over groepen bestuderen, (klasgroepen of anderszins) komen ze uit op een vergelijking voor elke groep G, waarbij de waarschijnlijkheden nu, laten we zeggen, het aandeel klassengroepen vertegenwoordigen dat eruitziet als $latex mathbb{Z}/3mathbb{Z}$. Met oneindig veel vergelijkingen en oneindig veel mogelijke klassengroepen is het lastig om de kansen op te lossen. Het is niet vanzelfsprekend dat het zelfs maar zin heeft om dit te doen.

"Als je oneindige bedragen hebt, kan er iets misgaan", zei Wood.

Maar wiskundigen, die nog steeds geen andere wegen konden vinden om de verdelingen te bestuderen, keerden steeds terug naar het momentprobleem. In werk gepubliceerd in de Annalen van de wiskunde in 2016, Ellenberg, samen met Akshay Venkatesh en Craig Westerland, gebruikte momenten om de statistieken van klasgroepen te bestuderen in een iets andere setting dan Cohen en Lenstra hadden overwogen. Dit idee was hergebruikt verscheidene keer. Maar elke keer dat onderzoekers de momenten gebruikten, leunden ze op de eigenaardigheden van hun specifieke probleem om te bewijzen dat de oneindige reeks vergelijkingen een oplossing had. Dat betekende dat hun technieken niet overdraagbaar waren. De volgende wiskundige die momenten moest gebruiken, zou het momentprobleem helemaal opnieuw moeten oplossen.

Bij het begin van hun samenwerking waren Sawin en Wood ook van plan om deze route te gaan. Ze gebruikten momenten om voorspellingen te doen over hoe meer gecompliceerde versies van klasgroepen werden verspreid. Maar toen ze ongeveer een jaar bezig waren met hun project, richtten ze hun aandacht op het moment zelf.

Op een zijspoor raken

Collega's omschrijven Sawin en Wood als buitengewoon gepassioneerd over hun werk. 'Ze zijn allebei erg slim. Maar er zijn veel slimme mensen,' zei Zureick-Brown. "Ze hebben gewoon deze positieve houding ten opzichte van wiskunde."

Aanvankelijk wilden Sawin en Wood momenten gebruiken om de voorspellingen van Cohen-Lenstra uit te breiden naar nieuwe instellingen. Maar ze werden al snel ontevreden over hun tweede probleemargument. "We hadden de behoefte om herhaaldelijk soortgelijke argumenten te schrijven", herinnert Sawin zich. Bovendien, voegde hij eraan toe, leek de wiskundige taal die ze gebruikten "niet de kern te raken van wat het argument aan het doen was ... De ideeën waren er, maar we hadden gewoon niet de juiste manier gevonden om ze uit te drukken."

Sawin en Wood doken dieper in hun bewijs en probeerden erachter te komen wat er echt onder zat. Ze eindigden met een bewijs dat het momentprobleem oploste, niet alleen voor hun specifieke toepassing, maar voor elke verdeling van groepen - en voor allerlei andere wiskundige structuren.

Ze splitsen het probleem op in kleine, behapbare stappen. In plaats van te proberen de hele kansverdeling in één keer op te lossen, concentreerden ze zich op slechts een klein deel van de momenten.

Om bijvoorbeeld het momentprobleem voor een kansverdeling over groepen op te lossen, zou elk moment aan een groep worden gekoppeld G. Eerst keken Sawin en Wood naar een systeem van vergelijkingen dat alleen de momenten omvatte voor een beperkte lijst van groepen. Ze voegden dan langzaam groepen toe aan de lijst en keken elke keer naar meer en meer momenten. Door het probleem stapsgewijs complexer te maken, maakten ze van elke stap een oplosbaar probleem. Beetje bij beetje bouwden ze op tot een volledige oplossing van het huidige probleem.

"Die vaste lijst is een beetje zoals de bril die je opzet, en hoe meer groepen je in overweging wilt nemen, hoe beter je bril is", legt Wood uit.

Toen ze eindelijk de laatste vreemde details hadden afgestoft, bevonden ze zich met een argument waarvan de ranken de wiskunde doorkruisten. Hun resultaat werkte voor klasgroepen, voor groepen geassocieerd met geometrische vormen, voor netwerken van punten en lijnen, evenals voor andere sets met meer wiskundige complexiteit. In al deze situaties hebben Sawin en Wood een formule gevonden die een reeks momenten opneemt en de verdeling van die momenten uitspuugt (zolang de momenten onder andere niet te snel groeien).

'Het is helemaal in de stijl van Melanie,' zei Ellenberg. "Om te zeggen: 'Laten we een zeer algemene stelling bewijzen die veel verschillende gevallen min of meer uniform en elegant behandelt.'"

Sawin en Wood keren nu terug naar hun oorspronkelijke doel. Begin januari deelden ze een nieuw papier dat corrigeert foutieve voorspellingen van Cohen-Lenstra eind jaren tachtig gemaakt door Cohen en zijn collega Jacques Martinet. Daarnaast hebben ze nog meer resultaten in hun wachtrij staan, met plannen om de heuristiek uit te breiden naar nog meer nieuwe situaties. "Ik weet niet of dit project ooit zal eindigen," zei Sawin.

Het tweede probleem dat Sawin en Wood hebben opgelost, was "een soort doorn in het achterhoofd voor veel verschillende vragen", zei Tsimerman. "Ik denk dat veel wiskundigen opgelucht adem zullen halen."