Quantum Goemans-Williamson-algoritme met de Hadamard-test en geschatte amplitudebeperkingen

Quantum Goemans-Williamson-algoritme met de Hadamard-test en geschatte amplitudebeperkingen

Tijdstempel: 12 juli 2023 8:29 uur

Taylor L. Patti1,2, Jean Kossaifi2, Anima Anandkumar3,2, en Susanne F. Yelin1

1Afdeling Natuurkunde, Harvard University, Cambridge, Massachusetts 02138, VS.
2NVIDIA, Santa Clara, Californië 95051, VS
3Department of Computing + Mathematical Sciences (CMS), California Institute of Technology (Caltech), Pasadena, CA 91125 VS

Vind je dit artikel interessant of wil je het bespreken? Scite of laat een reactie achter op SciRate.

Abstract

Semidefiniete programma's zijn optimalisatiemethoden met een breed scala aan toepassingen, zoals het benaderen van moeilijke combinatorische problemen. Een van die semidefiniete programma's is het Goemans-Williamson-algoritme, een populaire integer-relaxatietechniek. We introduceren een variatiekwantumalgoritme voor het Goemans-Williamson-algoritme dat slechts $n{+}1$ qubits, een constant aantal circuitvoorbereidingen en $text{poly}(n)$ verwachtingswaarden gebruikt om semidefiniete programma's bij benadering op te lossen met maximaal $N=2^n$ variabelen en $M sim O(N)$ beperkingen. Efficiënte optimalisatie wordt bereikt door de objectieve matrix te coderen als een correct geparametriseerde unitaire geconditioneerd op een hulpqubit, een techniek die bekend staat als de Hadamard-test. Met de Hadamard-test kunnen we de doelfunctie optimaliseren door slechts één verwachtingswaarde van de ancilla-qubit te schatten, in plaats van exponentieel veel verwachtingswaarden afzonderlijk te schatten. Evenzo illustreren we dat de semidefiniete programmeerbeperkingen effectief kunnen worden afgedwongen door een tweede Hadamard-test te implementeren, evenals door een polynoom aantal Pauli-reeksamplitudebeperkingen op te leggen. We demonstreren de effectiviteit van ons protocol door een efficiënte kwantumimplementatie van het Goemans-Williamson-algoritme te bedenken voor verschillende NP-harde problemen, waaronder MaxCut. Onze methode overtreft de prestaties van analoge klassieke methoden op een diverse subset van goed bestudeerde MaxCut-problemen uit de GSet-bibliotheek.

Quantum Goemans-Williamson-algoritme met de Hadamard-test en geschatte amplitudebeperkingen PlatoBlockchain Data Intelligence. Verticaal zoeken. Ai.

Uitgelichte afbeelding: diagram van HTAAC-QSDP voor het Goemans-Williamson-algoritme met $n=3$ niet-hulpqubits. a) Een klassiek probleem van $N$ variabelen (hier een $N$-vertex MaxCut probleem waar $N=8$). De gewichtsmatrix $W$ wordt gebruikt om de unitaire $U_W$ te genereren. b) De Hadamard-test wordt gebruikt om de objectieve functie en beperkingen voor het balanceren van populaties efficiënt te evalueren. De $n$-qubit-status $|psirangle = U_V|mathbf{0}rangle$ wordt voorbereid met een variatiekwantumcircuit $U_V$. De $n+1$e (hulp-)qubit wordt geïnitialiseerd als $(|0rangle -i |1rangle)/sqrt{2}$. Vervolgens wordt de Hadamard-test uitgevoerd: $U_W$ wordt geïmplementeerd als een gecontroleerde unitaire voorwaarde op de hulpqubit, die vervolgens wordt gemeten om $langle sigma_{n+1} rangle_{W,t} = text{Im} te berekenen [langle psi|U_W|psi rangle]$ of $langle sigma_{n+1} rangle_{P,t} = text{Im}[langle psi|U_P|psi rangle]$. c) De $M=2^n$ SDP-amplitudebeperkingen worden bij benadering afgedwongen met slechts $m sim text{poly}(n)$ Pauli stringbeperkingen. Deze worden berekend door $n$-qubit Pauli-$z$ metingen te verzamelen en marginale statistieken te gebruiken om de $m$ verwachtingswaarden te schatten.

Populaire samenvatting

Semidefiniete programma's stellen ons in staat een breed scala aan harde problemen te benaderen, inclusief NP-harde problemen. Een van die semidefiniete programma's is het Goemans-Williamson-algoritme, dat harde problemen kan oplossen, zoals MaxCut. We introduceren een variatiekwantumalgoritme voor het Goemans-Williamson-algoritme dat slechts $n{+}1$ qubits, een constant aantal circuitvoorbereidingen en een polynoom aantal verwachtingswaarden gebruikt om ongeveer semidefiniete programma's op te lossen met een exponentieel aantal variabelen en beperkingen. We coderen het probleem in een kwantumcircuit (of unitary) en lezen het uit op een enkele hulpqubit, een techniek die bekend staat als de Hadamard-test. Evenzo illustreren we dat de probleembeperkingen kunnen worden afgedwongen door 1) een tweede Hadamard-test en 2) een polynoom aantal Pauli-reeksbeperkingen. We demonstreren de effectiviteit van ons protocol door een efficiënte kwantumimplementatie van het Goemans-Williamson-algoritme te bedenken voor verschillende NP-harde problemen, waaronder MaxCut. Onze methode overtreft de prestaties van analoge klassieke methoden op een diverse subset van goed bestudeerde MaxCut-problemen.

► BibTeX-gegevens

► Referenties

[1] Stephen P. Boyd en Lieven Vandenberghe. "Convexe optimalisatie". Cambridge pers. (2004).
https: / / doi.org/ 10.1017 / CBO9780511804441

[2] Michel X Goemans. "Semidefiniet programmeren in combinatorische optimalisatie". Wiskundig programmeren 79, 143-161 (1997).
https: / / doi.org/ 10.1007 / BF02614315

[3] Lieven Vandenberghe en Stephen Boyd. "Toepassingen van semi-definitieve programmering". Toegepaste numerieke wiskunde 29, 283-299 (1999).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​S0168-9274(98)00098-1

[4] Wenjun Li, Yang Ding, Yongjie Yang, R. Simon Sherratt, Jong Hyuk Park en Jin Wang. "Geparametriseerde algoritmen van fundamentele np-harde problemen: een onderzoek". Mensgerichte computer- en informatiewetenschappen 10, 29 (2020).
https: / / doi.org/ 10.1186 / s13673-020-00226-w

[5] Christoph Helmberg. "Semidefinite programmering voor combinatorische optimalisatie". Konrad-Zuse-Zentrum für Informationstechnik Berlin. (2000).
https: / / doi.org/ 10.1007 / BF02614315

[6] Michel X. Goemans en David P. Williamson. "Verbeterde benaderingsalgoritmen voor maximale verlaging en verzadigbaarheidsproblemen met behulp van semi-definitieve programmering". J. ACM 42, 1115-1145 (1995).
https: / / doi.org/ 10.1145 / 227683.227684

[7] Florian A. Potra en Stephen J. Wright. "Binnenpuntmethoden". Journal of Computational and Applied Mathematics 124, 281-302 (2000).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​S0377-0427(00)00433-7

[8] Haotian Jiang, Tarun Kathuria, Yin Tat Lee, Swati Padmanabhan en Zhao Song. "Een snellere interne puntmethode voor semi-definitieve programmering". In 2020 IEEE 61e jaarlijkse symposium over de grondslagen van de informatica (FOCS). Pagina's 910-918. IEEE (2020).
https:/​/​doi.org/10.1109/​FOCS46700.2020.00089

[9] Baihe Huang, Shunhua Jiang, Zhao Song, Runzhou Tao en Ruizhe Zhang. "Sdp sneller oplossen: een robuust ipm-framework en efficiënte implementatie". In 2022 IEEE 63e jaarlijkse symposium over Foundations of Computer Science (FOCS). Pagina's 233-244. IEEE (2022).
https:/​/​doi.org/10.1109/​FOCS54457.2022.00029

[10] David P. Williamson en David B. Shmoys. "Het ontwerp van benaderingsalgoritmen". Cambridge University Press. (2011).
https: / / doi.org/ 10.1017 / CBO9780511921735

[11] Nikolaj Moll, Panagiotis Barkoutsos, Lev S Bishop, Jerry M Chow, Andrew Cross, Daniel J Egger, Stefan Filipp, Andreas Fuhrer, Jay M Gambetta, Marc Ganzhorn, et al. "Kwantumoptimalisatie met behulp van variatie-algoritmen op kwantumapparaten op korte termijn". Kwantumwetenschap en -technologie 3, 030503 (2018).
https: / / doi.org/ 10.1088 / 2058-9565 / aab822

[12] Edward Farhi, Jeffrey Goldstone, Sam Gutmann en Michael Sipser. "Kwantumberekening door adiabatische evolutie" (2000). arXiv:quant-ph/​0001106.
arXiv: quant-ph / 0001106

[13] Tameem Albash en Daniel A. Lidar. "Adiabatische kwantumberekening". Ds. Mod. Fysiek. 90, 015002 (2018).
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.90.015002

[14] Sepehr Ebadi, Alexander Keesling, Madelyn Cain, Tout T Wang, Harry Levine, Dolev Bluvstein, Giulia Semeghini, Ahmed Omran, JG Liu, Rhine Samajdar, et al. "Kwantumoptimalisatie van maximale onafhankelijke set met behulp van rydberg-atoomarrays". Wetenschap 376, 1209-1215 (2022).
https://​/​doi.org/​10.1126/​science.abo6587

[15] Tadashi Kadowaki en Hidetoshi Nishimori. "Kwantumgloeien in het transversale model". Fysiek. Rev. E 58, 5355-5363 (1998).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevE.58.5355

[16] Elisabeth Gibney. "D-wave upgrade: hoe wetenschappers 's werelds meest controversiële kwantumcomputer gebruiken". Natuur 541 (2017).
https://​/​doi.org/​10.1038/​541447b

[17] Edward Farhi, Jeffrey Goldstone en Sam Gutmann. "Een kwantum benaderend optimalisatie-algoritme". arXiv (2014). arXiv:1411.4028.
https:/​/​doi.org/​10.48550/​arXiv.1411.4028
arXiv: 1411.4028

[18] Juan M Arrazola, Ville Bergholm, Kamil Brádler, Thomas R Bromley, Matt J Collins, Ish Dhand, Alberto Fumagalli, Thomas Gerrits, Andrey Goussev, Lukas G Helt, et al. "Kwantumcircuits met veel fotonen op een programmeerbare nanofotonische chip". Natuur 591, 54-60 (2021).
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s41586-021-03202-1

[19] Fernando GSL Brandão, Amir Kalev, Tongyang Li, Cedric Yen-Yu Lin, Krysta M. Svore en Xiaodi Wu. "Quantum SDP Solvers: grote versnellingen, optimalisatie en toepassingen voor Quantum Learning". 46e internationale colloquium over automaten, talen en programmeren (ICALP 2019) 132, 27:1–27:14 (2019).
https: / / doi.org/ 10.4230 / LIPIcs.ICALP.2019.27

[20] Joran Van Apeldoorn en András Gilyén. "Verbeteringen in quantum sdp-oplossing met applicaties". In Proceedings van het 46e internationale colloquium over automaten, talen en programmeren (2019).
https://​/​doi.org/​10.4230/​LIPICS.ICALP.2019.99

[21] Joran van Apeldoorn, Andràs Gilyèn, Sander Gribling en Ronald de Wolf. "Quantum sdp-solvers: betere boven- en ondergrenzen". Kwantum 4, 230 (2020).
https:/​/​doi.org/​10.22331/​q-2020-02-14-230

[22] Fernando GSL Brandão en Krysta M. Svore. "Kwantumversnellingen voor het oplossen van semi-definitieve programma's". In 2017 IEEE 58th Annual Symposium on Foundations of Computer Science (FOCS). Pagina's 415-426. (2017).
https: / / doi.org/ 10.1109 / FOCS.2017.45

[23] Fernando GS L. Brandão, Richard Kueng en Daniel Stilck França. "Snellere kwantum- en klassieke SDP-benaderingen voor kwadratische binaire optimalisatie". Kwantum 6, 625 (2022).
https:/​/​doi.org/​10.22331/​q-2022-01-20-625

[24] Dhrumil Patel, Patrick J. Coles en Mark M. Wilde. "Variationele kwantumalgoritmen voor semi-definitieve programmering" (2021). arXiv:2112.08859.
arXiv: 2112.08859

[25] Anirban N. Chowdhury, Guang Hao Low en Nathan Wiebe. "Een variatie-kwantumalgoritme voor het voorbereiden van kwantumgibbs-toestanden" (2020). arXiv:2002.00055.
arXiv: 2002.00055

[26] Taylor L Patti, Omar Shehab, Khadijeh Najafi en Susanne F Yelin. "Markov chain monte carlo verbeterde variatiekwantumalgoritmen". Kwantumwetenschap en -technologie 8, 015019 (2022).
https://​/​doi.org/​10.1088/​2058-9565/​aca821

[27] Youle Wang, Guangxi Li en Xin Wang. "Variationele quantum gibbs-toestandsvoorbereiding met een afgeknotte taylorreeks". Fysieke beoordeling toegepast 16, 054035 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevApplied.16.054035

[28] Sanjeev Arora, Elad Hazan en Satyen Kale. "De updatemethode voor multiplicatieve gewichten: een meta-algoritme en toepassingen". Computingtheorie 8, 121–164 (2012).
https: / / doi.org/ 10.4086 / toc.2012.v008a006

[29] Iordanis Kerenidis en Anupam Prakash. "Een kwantuminterne puntmethode voor lps en sdps". ACM-transacties op Quantum Computing 1 (2020).
https: / / doi.org/ 10.1145 / 3406306

[30] Brandon Augustino, Giacomo Nannicini, Tamás Terlaky en Luis F. Zuluaga. "Quantum-interne puntmethoden voor semi-definitieve optimalisatie" (2022). arXiv:2112.06025.
arXiv: 2112.06025

[31] M. Cerezo, Andrew Arrasmith, Ryan Babbush, Simon C. Benjamin, Suguru Endo, Keisuke Fujii, Jarrod R. McClean, Kosuke Mitarai, Xiao Yuan, Lukasz Cincio en Patrick J. Coles. "Variationele kwantumalgoritmen". Natuurrecensies Physics 3, 625-644 (2021).
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s42254-021-00348-9

[32] Kishor Bharti, Tobias Haug, Vlatko Vedral en Leong-Chuan Kwek. "Lawaaierig kwantumalgoritme op gemiddelde schaal voor semi-definitieve programmering". Fysiek. Rev. A 105, 052445 (2022).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.105.052445

[33] Lennart Bittel en Martin Kliesch. "Het trainen van variatie-kwantumalgoritmen is np-moeilijk". Fysiek. Eerwaarde Lett. 127, 120502 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.127.120502

[34] Jarrod R. McClean, Sergio Boixo, Vadim N. Smelyanskiy, Ryan Babbush en Hartmut Neven. "Onvruchtbare plateaus in trainingslandschappen voor kwantumneurale netwerken". Natuurcommunicatie 9, 4812 (2018).
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s41467-018-07090-4

[35] Carlos Ortiz Marrero, Mária Kieferová en Nathan Wiebe. "Door verstrengeling veroorzaakte onvruchtbare plateaus". PRX Quantum 2, 040316 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PRXQuantum.2.040316

[36] Taylor L. Patti, Khadijeh Najafi, Xun Gao en Susanne F. Yelin. "Verstrengeling bedacht onvruchtbare plateau-mitigatie". Fysiek. Ds. Res. 3, 033090 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevResearch.3.033090

[37] Arthur Pesah, M. Cerezo, Samson Wang, Tyler Volkoff, Andrew T. Sornborger en Patrick J. Coles. "Afwezigheid van kale plateaus in kwantumconvolutionele neurale netwerken". Fysiek. Rev X 11, 041011 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevX.11.041011

[38] Dorit Aharonov, Vaughan Jones en Zeph Landau. "Een polynoom kwantumalgoritme voor het benaderen van de jones polynoom". Algorithmica 55, 395-421 (2009).
https:/​/​doi.org/​10.1007/​s00453-008-9168-0

[39] Clayton W. commandant. "Maximaal snijprobleem, max-cutmaximaal snijprobleem, max-cut". Pagina's 1991–1999. Springer VS. Boston, Massachusetts (2009).
https:/​/​doi.org/​10.1007/​978-0-387-74759-0_358

[40] Steven J. Benson, Yinyu Yeb en Xiong Zhang. "Gemengde lineaire en semi-definitieve programmering voor combinatorische en kwadratische optimalisatie". Optimalisatiemethoden en software 11, 515-544 (1999).
https: / / doi.org/ 10.1080 / 10556789908805761

[41] Changhui Choi en Yinyu Ye. "Oplossen van spaarzame semidefiniete programma's met behulp van het dual-scaling-algoritme met een iteratieve oplosser". Manuscript, Afdeling Managementwetenschappen, Universiteit van Iowa, Iowa City, IA 52242 (2000). url: web.stanford.edu/​ yyye/​yyye/​cgsdp1.pdf.
https://​/​web.stanford.edu/​~yyye/​yyye/​cgsdp1.pdf

[42] Angelika Wiegele. "Biq mac-bibliotheek - een verzameling max-cut en kwadratische 0-1 programmeerinstanties van gemiddelde grootte". Alpen-Adria-Universität Klagenfurt (2007). url: biqmac.aau.at/​biqmaclib.pdf.
https://​/​biqmac.aau.at/​biqmaclib.pdf

[43] Stefan H. Schmieta. "De dimacs-bibliotheek van gemengde semidefiniet-kwadratisch-lineaire programma's". 7e DIMACS-implementatie-uitdaging (2007). url: http://​/​archive.dimacs.rutgers.edu.
http://​/​archive.dimacs.rutgers.edu

[44] Yoshiki Matsuda. "Benchmarking van het max-cut probleem op de gesimuleerde bifurcatiemachine". Gemiddeld (2019). url: medium.com/​toshiba-sbm/​benchmarking-the-max-cut-problem-on-the-simulated-bifurcation-machine-e26e1127c0b0.
https://​/​medium.com/​toshiba-sbm/​benchmarking-the-max-cut-problem-on-the-simulated-bifurcation-machine-e26e1127c0b0

[45] RM Karp. "Reduceerbaarheid onder combinatorische problemen". Springer VS. Boston, Massachusetts (1972).

[46] Dimitri P.Bertsekas. "Constrained optimalisatie en lagrange multiplier-methoden". Academische pers. (1982).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​C2013-0-10366-2

[47] G Mauro D'Ariano, Matteo GA Parijs en Massimiliano F Sacchi. "Kwantumtomografie". Vooruitgang in beeldvorming en elektronenfysica 128, 206-309 (2003).
https://​/​doi.org/​10.48550/​arXiv.quant-ph/​0302028
arXiv: quant-ph / 0302028

[48] Alessandro Bisio, Giulio Chiribella, Giacomo Mauro D'Ariano, Stefano Facchini en Paolo Perinotti. "Optimale kwantumtomografie". IEEE Journal of Selected Topics in Quantum Electronics 15, 1646-1660 (2009).
https: / / doi.org/ 10.1109 / JSTQE.2009.2029243

[49] Max S. Kaznady en Daniel FV James. "Numerieke strategieën voor kwantumtomografie: alternatieven voor volledige optimalisatie". Fysiek. Rev. A 79, 022109 (2009).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.79.022109

[50] Javier Pena. "Convergentie van eerste-orde methoden via de convexe conjugaat". Operationele onderzoeksbrieven 45, 561-564 (2017).
https://​/​doi.org/​10.1016/​j.orl.2017.08.013

[51] Alan Frieze en Mark Jerrum. "Verbeterde benaderingsalgoritmen voor maxk-cut en max bisectie". Algorithmica 18, 67-81 (1997).
https: / / doi.org/ 10.1007 / BF02523688

[52] Clark DavidThompson. "Een complexiteitstheorie voor vlsi". Proefschrift. Carnegie Mellon Universiteit. (1980). URL: dl.acm.org/​doi/​10.5555/​909758.
https: / / dl.acm.org/ doi / 10.5555 / 909758

[53] Chu Min Li en Felip Manya. "Maxsat, harde en zachte beperkingen". In Handboek van tevredenheid. Pagina's 903-927. IOS-pers (2021).
https:/​/​doi.org/​10.3233/​978-1-58603-929-5-613

[54] Nicolaas J Higham. "Het berekenen van de dichtstbijzijnde correlatiematrix - een financieel probleem". IMA tijdschrift voor numerieke analyse 22, 329-343 (2002).
https://​/​doi.org/​10.1093/​imanum/​22.3.329

[55] Tadayoshi Fushiki. "Schatting van positieve semi-definitieve correlatiematrices met behulp van convexe kwadratische semi-definitieve programmering". Neurale berekening 21, 2028-2048 (2009).
https://​/​doi.org/​10.1162/​neco.2009.04-08-765

[56] Todd MJ. "Een studie van zoekrichtingen in oer-dual-interieurpuntmethoden voor semi-definitieve programmering". Optimalisatiemethoden en software 11, 1-46 (1999).
https: / / doi.org/ 10.1080 / 10556789908805745

[57] Roger Fletcher. "Straffuncties". Wiskundig programmeren De stand van zaken: Bonn 1982 Pagina's 87–114 (1983).
https:/​/​doi.org/​10.1007/​978-3-642-68874-4_5

[58] Robert M Freund. "Straf- en barrièremethoden voor beperkte optimalisatie". Lezingen, Massachusetts Institute of Technology (2004). url: ocw.mit.edu/courses/15-084j-nonlinear-programming-spring-2004.
https://​/​ocw.mit.edu/​courses/​15-084j-nonlinear-programming-spring-2004

[59] Eric Ricardo Anschuetz. "Kritieke punten in kwantumgeneratieve modellen". In internationale conferentie over leerrepresentaties. (2022). url: openreview.net/​forum?id=2f1z55GVQN.
https://​/​openreview.net/​forum?id=2f1z55GVQN

[60] Amir Beck. "Eerste orde methoden in optimalisatie". SIAM. (2017).
https: / / doi.org/ 10.1137 / 1.9781611974997

[61] Sanjeev Arora en Satyen Kale. "Een combinatorische, oer-dualistische benadering van semidefiniete programma's". J. ACM 63 (2016).
https: / / doi.org/ 10.1145 / 2837020

[62] Taylor L. Patti, Jean Kossaifi, Susanne F. Yelin en Anima Anandkumar. "Tensorly-quantum: Quantum machine learning met tensormethoden" (2021). arXiv:2112.10239.
arXiv: 2112.10239

[63] Jean Kossaifi, Yannis Panagakis, Anima Anandkumar en Maja Pantic. "Tensorly: Tensor leren in python". Journal of Machine Learning Research 20, 1–6 (2019). url: http://​/​jmlr.org/​papers/​v20/​18-277.html.
http: / / jmlr.org/ papers / v20 ​​/ 18-277.html

[64] cuQuantum-team. “Nvidia/​cuquantum: cuquantum v22.11” (2022).

[65] Diederik P. Kingma en Jimmy Ba. "Adam: een methode voor stochastische optimalisatie" (2017). arXiv:1412.6980.
arXiv: 1412.6980

[66] Brahim Chaourar. "Een lineair tijdsalgoritme voor een variant van het max cut-probleem in parallelle grafieken in serie". Vooruitgang in operationeel onderzoek (2017).
https: / / doi.org/ 10.1155 / 2017/1267108

[67] Joeri Makarychev. "Een kort bewijs van het vlakheidscriterium van de grafiek van Kuratowski". Journal of grafentheorie 25, 129-131 (1997).
<a href="https://doi.org/10.1002/(SICI)1097-0118(199706)25:23.0.CO;2-O”>https:/​/​doi.org/​10.1002/​(SICI)1097-0118(199706)25:2<129::AID-JGT4>3.0.CO;2-O

[68] Béla Bollobás. "De evolutie van willekeurige grafieken - de gigantische component". Pagina 130-159. Cambridge Studies in geavanceerde wiskunde. Cambridge University Press. (2001). 2 editie.
https: / / doi.org/ 10.1017 / CBO9780511814068.008

[69] Sanjeev Arora, David Karger en Marek Karpinski. "Polynomiale tijdbenaderingschema's voor dichte gevallen van np-harde problemen". Journal of computer- en systeemwetenschappen 58, 193–210 (1999).
https: / / doi.org/ 10.1006 / jcss.1998.1605

[70] Rick Durrett. "Erdös-rényi willekeurige grafieken". Pagina 27–69. Cambridge Series in statistische en probabilistische wiskunde. Cambridge University Press. (2006).
https: / / doi.org/ 10.1017 / CBO9780511546594.003

[71] Gary Chartrand en Ping Zhang. "Chromatische grafentheorie". Taylor en Francis. (2008).
https: / / doi.org/ 10.1201 / 9781584888017

[72] Jan van de Wetering. "Zx-calculus voor de werkende kwantumcomputerwetenschapper" (2020). arXiv:2012.13966.
arXiv: 2012.13966

[73] Alexander Cowtan, Silas Dilkes, Ross Duncan, Will Simmons en Seyon Sivarajah. "Fasegadgetsynthese voor ondiepe circuits". Elektronische procedures in theoretische informatica 318, 213–228 (2020).
https: / / doi.org/ 10.4204 / eptcs.318.13

[74] Andrew M. Childs, Yuan Su, Minh C. Tran, Nathan Wiebe en Shuchen Zhu. "Theorie van draverfout met commutatorschaling". Fysiek. Rev X 11, 011020 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevX.11.011020

[75] Joseph W Britton, Brian C Sawyer, Adam C Keith, CC Joseph Wang, James K Freericks, Hermann Uys, Michael J Biercuk en John J Bollinger. "Geconstrueerde tweedimensionale interacties in een kwantumsimulator met ingesloten ionen met honderden spins". Natuur 484, 489-492 (2012).
https: / / doi.org/ 10.1038 / nature10981

[76] Hannes Bernien, Sylvain Schwartz, Alexander Keesling, Harry Levine, Ahmed Omran, Hannes Pichler, Soonwon Choi, Alexander S Zibrov, Manuel Endres, Markus Greiner, et al. "De dynamiek van veel lichamen onderzoeken op een kwantumsimulator met 51 atomen". Natuur 551, 579-584 (2017).
https: / / doi.org/ 10.1038 / nature24622

[77] Gheorghe-Sorin Paraoanu. "Recente vooruitgang in kwantumsimulatie met behulp van supergeleidende circuits". Journal of Low Temperature Physics 175, 633-654 (2014).
https:/​/​doi.org/​10.1007/​s10909-014-1175-8

[78] Katsuki Fujisawa, Hitoshi Sato, Satoshi Matsuoka, Toshio Endo, Makoto Yamashita en Maho Nakata. "Krachtige algemene oplosser voor extreem grootschalige semi-definitieve programmeerproblemen". In SC '12: Proceedings of the International Conference on High Performance Computing, Networking, Storage and Analysis. Pagina's 1-11. (2012).
https:/​/​doi.org/10.1109/​SC.2012.67

[79] Adrian S. Lewis en Michael L. Overton. "Eigenwaarde optimalisatie". Acta Numerica 5, 149–190 (1996).
https: / / doi.org/ 10.1017 / S0962492900002646

[80] Xiaosi Xu, Jinzhao Sun, Suguru Endo, Ying Li, Simon C. Benjamin en Xiao Yuan. "Variationele algoritmen voor lineaire algebra". Wetenschapsbulletin 66, 2181–2188 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1016 / j.scib.2021.06.023

Geciteerd door

Kon niet ophalen Door Crossref geciteerde gegevens tijdens laatste poging 2023-07-12 14:07:40: Kon geciteerde gegevens voor 10.22331 / q-2023-07-12-1057 niet ophalen van Crossref. Dit is normaal als de DOI recent is geregistreerd. Aan SAO / NASA ADS er zijn geen gegevens gevonden over het citeren van werken (laatste poging 2023-07-12 14:07:40).

Dit artikel is gepubliceerd in Quantum onder de Creative Commons Naamsvermelding 4.0 Internationaal (CC BY 4.0) licentie. Het auteursrecht blijft berusten bij de oorspronkelijke houders van auteursrechten, zoals de auteurs of hun instellingen.

Tijdstempel:

Meer van Quantum Journaal