Toen Daniel Larsen op de middelbare school zat, begon hij kruiswoordpuzzels te ontwerpen. Hij moest de hobby naast zijn andere interesses leggen: schaken, programmeren, piano, viool. Hij kwalificeerde zich tweemaal voor de Scripps National Spelling Bee in de buurt van Washington, DC, na het winnen van zijn regionale competitie. "Hij wordt ergens op gefocust, en het is gewoon bang, bang, bang, totdat het hem lukt," zei Larsens moeder, Ayelet Lindenstrauss. Zijn eerste kruiswoordpuzzels werden afgewezen door grote kranten, maar hij bleef doorgaan en brak uiteindelijk in houdt het record voor de jongste persoon die een kruiswoordraadsel publiceert in The New York Times, op de leeftijd van 13. "Hij is erg volhardend," zei Lindenstrauss.
Toch voelde Larsens meest recente obsessie anders aan, 'langer en intenser dan de meeste van zijn andere projecten', zei ze. Meer dan anderhalf jaar kon Larsen niet stoppen met nadenken over een bepaald wiskundeprobleem.
Het had zijn wortels in een bredere vraag, een die de wiskundige Carl Friedrich Gauss als een van de belangrijkste in de wiskunde beschouwde: hoe onderscheid je een priemgetal (een getal dat alleen door 1 en zichzelf deelbaar is) van een samengesteld getal. Al honderden jaren zoeken wiskundigen naar een efficiรซnte manier om dit te doen. Het probleem is ook relevant geworden in de context van moderne cryptografie, aangezien sommige van de meest gebruikte cryptosystemen van tegenwoordig rekenen met enorme priemgetallen.
Meer dan een eeuw geleden, in hun zoektocht naar een snelle, krachtige oertest, stuitten wiskundigen op een groep herrieschoppers - getallen die tests voor de gek houden door te denken dat ze priem zijn, ook al zijn ze dat niet. Deze pseudopriemgetallen, bekend als Carmichael-getallen, waren bijzonder moeilijk te begrijpen. Het was bijvoorbeeld pas halverwege de jaren negentig dat wiskundigen bewezen dat er oneindig veel van zijn. Iets meer kunnen zeggen over hoe ze langs de getallenlijn zijn verdeeld, vormde een nog grotere uitdaging.
Toen kwam Larsen met een nieuw bewijs over precies dat, een geรฏnspireerd door recent baanbrekend werk op een ander gebied van de getaltheorie. Hij was toen net 17.
De vonk
Larsen groeide op in Bloomington, Indiana, en voelde zich altijd aangetrokken tot wiskunde. Zijn ouders, beiden wiskundigen, lieten hem en zijn oudere zus op jonge leeftijd kennismaken met het onderwerp. (Ze streeft nu naar een doctoraat in wiskunde.) Toen Larsen drie jaar oud was, herinnert Lindenstrauss zich, begon hij haar filosofische vragen te stellen over de aard van oneindigheid. "Ik dacht, deze jongen heeft een wiskundige geest," zei Lindenstrauss, een professor aan de Universiteit van Indiana.
Toen, een paar jaar geleden - rond de tijd dat hij werd ondergedompeld in zijn spelling- en kruiswoordraadselprojecten - kwam hij een... documentaire over ons Yitang Zhang, een onbekende wiskundige die in 2013 uit de vergetelheid kwam na een mijlpaal resultaat bewijzen die een bovengrens zetten voor de gaten tussen opeenvolgende priemgetallen. Er klikte iets in Larsen. Hij bleef maar nadenken over de getaltheorie en over het daarmee samenhangende probleem dat Zhang en andere wiskundigen nog steeds hoopten op te lossen: het priemtweelingvermoeden, dat stelt dat er oneindig veel priemparen zijn die slechts 2 verschillen.
Na het werk van Zhang, waaruit bleek dat er oneindig veel priemparen zijn die minder dan 70 miljoen verschillen, anderen sprongen erin om deze grens nog verder te verlagen. Binnen enkele maanden hebben de wiskundigen James Maynard en Terence tao onafhankelijk bleek een nog sterkere verklaring over de hiaten tussen priemgetallen. Dat gat is sindsdien geslonken tot 246.
Larsen wilde een deel van de wiskunde begrijpen die ten grondslag ligt aan het werk van Maynard en Tao, 'maar het was vrijwel onmogelijk voor mij', zei hij. Hun papieren waren veel te ingewikkeld. Larsen probeerde gerelateerd werk te lezen, maar vond het ook ondoorgrondelijk. Hij ging door, sprong van het ene resultaat naar het andere, totdat hij uiteindelijk, in februari 2021, een papier tegenkwam dat hij zowel mooi als begrijpelijk vond. Het onderwerp: Carmichael-getallen, die vreemde samengestelde getallen die zichzelf soms als priemgetallen zouden kunnen voordoen.
Alles behalve Prime
Halverwege de 17e eeuw schreef de Franse wiskundige Pierre de Fermat een brief aan zijn vriend en vertrouweling Frรฉnicle de Bessy, waarin hij verklaarde wat later bekend zou worden als zijn 'kleine stelling'. Als N is een priemgetal, dan bN - b is altijd een veelvoud van N, maakt niet uit wat b is. 7 is bijvoorbeeld een priemgetal en als resultaat 27 โ 2 (wat gelijk is aan 126) is een veelvoud van 7. Evenzo, 37 โ 3 is een veelvoud van 7, enzovoort.
Wiskundigen zagen het potentieel voor een perfecte test of een bepaald getal priemgetal of samengesteld is. Ze wisten dat als N is primair, bN - b is altijd een veelvoud van N. Wat als het omgekeerde ook waar was? Dat wil zeggen, als bN - b is een veelvoud van N voor alle waarden van b, moet N primeur zijn?
Helaas bleek dat in zeer zeldzame gevallen, N kan aan deze voorwaarde voldoen en toch samengesteld zijn. Het kleinste getal is 561: Voor elk geheel getal b, b561 - b is altijd een veelvoud van 561, ook al is 561 geen priemgetal. Getallen als deze zijn vernoemd naar de wiskundige Robert Carmichael, aan wie vaak wordt toegeschreven dat hij het eerste voorbeeld in 1910 heeft gepubliceerd (hoewel de Tsjechische wiskundige Vรกclav ล imerka onafhankelijk voorbeelden ontdekte in 1885).
Wiskundigen wilden deze getallen, die zo sterk lijken op de meest fundamentele objecten in de getaltheorie, de priemgetallen, beter begrijpen. Het bleek dat in 1899 - een decennium voor het resultaat van Carmichael - een andere wiskundige, Alwin Korselt, met een gelijkwaardige definitie was gekomen. Hij had gewoon niet geweten of er cijfers waren die bij de rekening pasten.
Volgens het criterium van Korselt is een getal N is een Carmichael-getal dan en slechts als het aan drie eigenschappen voldoet. Ten eerste moet het meer dan รฉรฉn priemfactor hebben. Ten tweede kan geen enkele priemfactor zich herhalen. En ten derde, voor elke prime p dat verdeelt N, p โ 1 deelt ook N โ 1. Beschouw opnieuw het getal 561. Het is gelijk aan 3 ร 11 ร 17, dus het voldoet duidelijk aan de eerste twee eigenschappen in de lijst van Korselt. Om de laatste eigenschap te tonen, trekt u 1 af van elke priemfactor om 2, 10 en 16 te krijgen. Trek bovendien 1 af van 561. Alle drie de kleinere getallen zijn delers van 560. Het getal 561 is daarom een โโCarmichael-getal.
Hoewel wiskundigen vermoedden dat er oneindig veel Carmichael-getallen zijn, zijn er relatief weinig in vergelijking met de priemgetallen, waardoor ze moeilijk vast te stellen zijn. Toen, in 1994, Red Alford, Andreas Granville en Carl Pomerance een doorbraak gepubliceerd papier waarin ze uiteindelijk bewezen dat er inderdaad oneindig veel van deze pseudopriemgetallen zijn.
Helaas konden ze met de technieken die ze ontwikkelden niets zeggen over hoe die Carmichael-nummers eruit zagen. Verscheen ze in clusters langs de getallenlijn, met grote gaten ertussen? Of kon je altijd in korte tijd een Carmichael-nummer vinden? "Je zou denken dat als je kunt bewijzen dat het er oneindig veel zijn," zei Granville, "je toch zou kunnen bewijzen dat er geen grote gaten tussen zijn, dat ze relatief goed uit elkaar zouden moeten liggen."
In het bijzonder hoopten hij en zijn co-auteurs een verklaring te bewijzen die dit idee weerspiegelde - dat gegeven een voldoende groot aantal X, er zal altijd een Carmichael-getal zijn tussen X en 2X. "Het is een andere manier om uit te drukken hoe alomtegenwoordig ze zijn", zegt Jon Grantham, een wiskundige bij het Institute for Defense Analyses die verwant werk heeft gedaan.
Maar decennialang kon niemand het bewijzen. De technieken ontwikkeld door Alford, Granville en Pomerance "stelden ons in staat te laten zien dat er veel Carmichael-nummers zouden zijn," zei Pomerance, "maar gaven ons niet echt veel controle over waar ze zouden zijn. โ
Toen, in november 2021, opende Granville een e-mail van Larsen, toen 17 jaar oud en in zijn laatste jaar van de middelbare school. EEN papier was bevestigd - en tot Granvilles verbazing zag het er correct uit. "Het was niet de gemakkelijkste lezing ooit," zei hij. 'Maar toen ik het las, was het duidelijk dat hij niet aan het rommelen was. Hij had briljante ideeรซn.โ
Pomerance, die een latere versie van het werk las, was het daarmee eens. "Zijn bewijs is echt heel geavanceerd", zei hij. โHet zou een paper zijn waar elke wiskundige heel trots op zou zijn dat hij het zou hebben geschreven. En hier is een middelbare scholier die het schrijft.'
De sleutel tot Larsens bewijs was het werk dat hem in de eerste plaats naar Carmichael-getallen had getrokken: de resultaten van Maynard en Tao over priemgetallen.
Onwaarschijnlijk โ Niet onmogelijk
Toen Larsen voor het eerst wilde laten zien dat je een Carmichael-getal altijd in een kort interval kunt vinden, "het leek erop dat het zo duidelijk waar was, hoe moeilijk kan het zijn om te bewijzen?" hij zei. Hij besefte al snel dat het inderdaad heel moeilijk kon zijn. "Dit is een probleem dat de technologie van onze tijd op de proef stelt", zei hij.
In hun artikel uit 1994 hadden Alford, Granville en Pomerance laten zien hoe ze oneindig veel Carmichael-getallen konden maken. Maar ze hadden geen controle over de grootte van de priemgetallen die ze gebruikten om ze te construeren. Dat is wat Larsen zou moeten doen om Carmichael-getallen te bouwen die relatief dichtbij waren. De moeilijkheid van het probleem baarde zijn vader, Michael Larsen, zorgen. "Ik dacht niet dat het onmogelijk was, maar ik dacht dat het onwaarschijnlijk was dat hij zou slagen," zei hij. "Ik zag hoeveel tijd hij eraan besteedde ... en ik voelde dat het verwoestend voor hem zou zijn om hier zoveel van zichzelf aan te geven en het niet te krijgen."
Toch wist hij wel beter dan te proberen zijn zoon af te raden. "Als Daniel zich inzet voor iets dat hem echt interesseert, houdt hij zich daar door dik en dun aan", zei hij.
Dus keerde Larsen terug naar de papieren van Maynard - in het bijzonder om aan te tonen dat als je bepaalde reeksen van voldoende getallen neemt, een deelverzameling van die getallen priemgetallen moet zijn. Larsen paste de technieken van Maynard aan om ze te combineren met de methoden die werden gebruikt door Alford, Granville en Pomerance. Dit stelde hem in staat ervoor te zorgen dat de priemgetallen waarmee hij eindigde in grootte zouden variรซren - genoeg om Carmichael-getallen te produceren die binnen de door hem gewenste intervallen zouden vallen.
'Hij heeft meer controle over de dingen dan wij ooit hebben gehad,' zei Granville. En hij bereikte dit door een bijzonder slim gebruik van Maynards werk. "Het is niet gemakkelijk ... om deze vooruitgang te gebruiken op korte openingen tussen priemgetallen," zei Kaisa Matomaki, een wiskundige aan de Universiteit van Turku in Finland. "Het is best leuk dat hij het kan combineren met deze vraag over de Carmichael-nummers."
In feite liet Larsens argument hem niet alleen toe om aan te tonen dat een Carmichael-getal altijd moet verschijnen tussen X en 2X. Zijn bewijs werkt ook voor veel kleinere intervallen. Wiskundigen hopen nu dat het ook zal helpen om andere aspecten van het gedrag van deze vreemde getallen te onthullen. "Het is een ander idee," zei Thomas Wright, een wiskundige aan het Wofford College in South Carolina die werkt aan pseudoprimes. "Het verandert veel dingen over hoe we dingen over Carmichael-nummers kunnen bewijzen."
Grantham was het daarmee eens. "Nu kun je dingen doen waar je nooit aan had gedacht", zei hij.
Larsen is ondertussen net begonnen aan zijn eerste jaar aan het Massachusetts Institute of Technology. Hij weet niet zeker aan welk probleem hij daarna gaat werken, maar hij wil graag leren wat er te doen is. "Ik volg gewoon cursussen... en probeer ruimdenkend te zijn," zei hij.
"Hij deed dit allemaal zonder een bacheloropleiding," zei Grantham. "Ik kan me alleen maar voorstellen wat hij gaat bedenken op de graduate school."
