De wiskundige die de snaartheorie heeft vormgegeven | Quanta-tijdschrift

Eugenio Calabi stond bij zijn collega's bekend als een inventieve wiskundige – ‘transformatief origineel’, zoals zijn voormalige leerling Xiuxiong Chen het uitdrukte. In 1953 begon Calabi na te denken over een klasse vormen die niemand zich ooit eerder had voorgesteld. Andere wiskundigen dachten dat hun bestaan ​​onmogelijk was. Maar een paar decennia later werden deze zelfde vormen uiterst belangrijk in zowel de wiskunde als de natuurkunde. De resultaten hadden uiteindelijk een veel groter bereik dan wie dan ook, inclusief Calabi, had verwacht.

Calabi was 100 jaar oud toen hij op 25 september stierf, door zijn collega's betreurd als een van de meest invloedrijke meetkundigen van de 20e eeuw. “Veel wiskundigen vinden het leuk om problemen op te lossen die het werk aan een bepaald onderwerp afmaken”, zegt Chen. “Calabi was iemand die graag een onderwerp begon.”

Jerry Kazdan, die bijna zestig jaar les gaf bij Calabi aan de Universiteit van Pennsylvania, zei dat zijn collega “een bijzondere manier had om naar de dingen te kijken. De minder voor de hand liggende keuze was de manier waarop hij wiskunde beoefende.” Een van Calabi's belangrijkste bezigheden was volgens Kazdan om 'interessante vragen te stellen waar niemand anders aan dacht'. De antwoorden op die vragen hadden vaak gevolgen van blijvende betekenis.

Hoewel Calabi een cruciale bijdrage heeft geleverd aan veel gebieden van de meetkunde, is hij vooral bekend vanwege zijn vermoeden uit 1953 over een speciale klasse van spruitstukken. Een verdeelstuk is een oppervlak of ruimte die in elke dimensie kan bestaan, met een essentieel kenmerk: een kleine ‘buurt’ rond elk punt op het oppervlak ziet er vlak uit. De aarde ziet er bijvoorbeeld van veraf gezien rond (bolvormig) uit, maar een klein stukje grond ziet er vlak uit.

Op de graduate school aan de Princeton University raakte Calabi geïnteresseerd in Kähler-spruitstukken, genoemd naar de 20e-eeuwse Duitse meetkundige Erich Kähler. Spruitstukken van dit type zijn glad, wat betekent dat ze geen scherpe of gekartelde kenmerken hebben, en ze zijn alleen verkrijgbaar in gelijke afmetingen: 2, 4, 6 en groter.

Een bol heeft een constante kromming. Waar je ook gaat aan de oppervlakte, ongeacht de richting waarin je vertrekt, je pad buigt evenveel. Maar over het algemeen kan de kromming van spruitstukken van het ene punt tot het andere variëren. Er zijn een paar verschillende manieren waarop wiskundigen de kromming meten. Een relatief eenvoudige maatstaf, de Ricci-kromming genaamd, was van groot belang voor Calabi. Hij stelde voor dat Kähler-spruitstukken op elk punt een Ricci-kromming van nul zouden kunnen hebben, zelfs terwijl ze voldoen aan twee topologische voorwaarden die hun vorm globaal beperken. Andere meetkundigen vonden dat dergelijke vormen te mooi klonken om waar te zijn.

Shing-Tung Yau behoorde aanvankelijk tot de twijfelaars. Hij kwam voor het eerst in aanraking met het Calabi-vermoeden in 1970, toen hij een afgestudeerde student was aan de Universiteit van Californië, Berkeley, en hij was onmiddellijk aan de grond genageld. Om te bewijzen dat het vermoeden waar was, zoals Calabi het probleem had uiteengezet, moest je aantonen dat er een oplossing voor een zeer netelige vergelijking kon worden gevonden – zelfs als de vergelijking niet helemaal opgelost was. Dat was nog steeds een grote uitdaging, omdat niemand ooit eerder een vergelijking van dit specifieke type had opgelost.

Nadat hij een paar jaar over het probleem had nagedacht, kondigde Yau op een geometrieconferentie in 1973 aan dat hij tegenvoorbeelden had gevonden die aantoonden dat het vermoeden onjuist was. Calabi, die op de conferentie aanwezig was, heeft destijds geen bezwaar gemaakt. Een paar maanden later, nadat hij erover had nagedacht, vroeg hij Yau om zijn argument te verduidelijken. Toen Yau zijn berekeningen bekeek, besefte hij dat hij een fout had gemaakt. De tegenvoorbeelden hielden geen stand, wat erop duidde dat het vermoeden toch wel juist zou kunnen zijn.

Yau besteedde de volgende drie jaar aan het bewijzen van het bestaan ​​van de klasse van spruitstukken die Calabi oorspronkelijk had voorgesteld. Op eerste kerstdag 1976 had Yau een ontmoeting met Calabi en een andere wiskundige, die de geldigheid van zijn bewijs bevestigden en het wiskundige bestaan ​​vaststelden van objecten die nu Calabi-Yau-spruitstukken worden genoemd. In 1982 won Yau een Fields Medal, de hoogste onderscheiding voor wiskunde, mede dankzij dit resultaat.

Rond die tijd begonnen natuurkundigen die theorieën probeerden te bedenken die de krachten van de natuur verenigden, te spelen met het idee dat fundamentele deeltjes zoals elektronen in werkelijkheid bestaan ​​uit uiterst kleine trillende snaren. Verschillende trillingspatronen manifesteren zich als verschillende deeltjes. Om technische redenen werken deze trillingen alleen correct uit in 10 dimensies.

Het is onnodig om te zeggen dat de wereld niet tiendimensionaal lijkt te zijn; er lijken slechts drie dimensies van ruimte en één van tijd te zijn. Halverwege de jaren tachtig had een groep natuurkundigen zich echter gerealiseerd dat de zes ‘extra’ dimensies van het heelal verborgen zouden kunnen zijn in een klein Calabi-Yau-spruitstuk (minder dan tien^-17 centimeter doorsnee). De snaartheorie, zoals dit fysieke raamwerk werd genoemd, stelde ook dat de deeltjes en krachten van de natuur werden gedicteerd door de Calabi-Yau-vorm. Deze theorie was afhankelijk van een eigenschap die supersymmetrie wordt genoemd en die voortkwam uit symmetrie die al in een Kähler-spruitstuk was ingebouwd - nog een reden waarom Calabi-Yau-spruitstukken de juiste keuze leken te zijn voor de snaartheorie.

In 1984 wist Yau al dat het mogelijk was om minstens 10,000 verschillende zesdimensionale Calabi-Yau-vormen te construeren. Het is niet duidelijk of onze wereld in het geheim gevuld is met Calabi-Yau-variëteiten – verborgen in dimensies die veel te klein zijn om gezien te worden – maar elk jaar publiceren natuurkundigen en wiskundigen duizenden artikelen waarin ze hun eigenschappen onderzoeken.

Yau zei dat de term zo vaak voorkomt dat hij soms denkt dat zijn voornaam Calabi is. Calabi van zijn kant zei in 2007: “Ik ben gevleid door alle aandacht die dit idee heeft gekregen”, vanwege de connectie met de snaartheorie. “Maar daar heb ik niets mee te maken gehad. Toen ik het vermoeden voor het eerst opperde, had het niets met natuurkunde te maken. Het was puur geometrie.”

Calabi was niet altijd vastbesloten wiskundige te worden. Zijn talent bleek al vroeg: zijn vader, een advocaat, ondervroeg hem als kind over priemgetallen. Maar hij besloot scheikundige technologie te gaan studeren toen hij in 16 als 1939-jarige aankwam bij het Massachusetts Institute of Technology, nadat zijn familie aan het begin van de Tweede Wereldoorlog Italië was ontvlucht. Tijdens de oorlog diende hij als vertaler van het Amerikaanse leger in Frankrijk en Duitsland. Nadat hij thuiskwam, werkte hij korte tijd als scheikundig ingenieur voordat hij besloot over te stappen op wiskunde. Hij promoveerde aan Princeton en bekleedde een reeks hoogleraarsfuncties voordat hij in 1964 bij Penn belandde, waar hij zou blijven.

Hij verloor zijn enthousiasme voor wiskunde nooit en bleef tot ver in de negentig onderzoek doen. Chen, zijn voormalige leerling, herinnerde zich hoe Calabi hem onderschepte in de postkamer van de wiskundeafdeling of in de gangen: hun gesprekken konden uren duren, waarbij Calabi formules op enveloppen, servetten, papieren handdoeken of andere stukjes papier krabbelde.

Yau heeft een aantal servetten bewaard van zijn gesprekken met Calabi. “Ik heb altijd geleerd van de formules die erop geschreven stonden, die Calabi’s griezelige gevoel voor geometrische intuïtie overbrachten,” zei Yau. “Hij was erg genereus in het delen van zijn ideeën en vond het niet erg om er eer voor te krijgen. Hij dacht gewoon dat wiskunde leuk was.”

Calabi noemde wiskunde zijn favoriete hobby. “Het uitoefenen van je hobby als beroep is het buitengewone geluk dat ik in mijn leven heb gehad.”

Quanta voert een reeks onderzoeken uit om ons publiek beter van dienst te zijn. Neem onze lezersonderzoek wiskunde en je doet mee om gratis te winnen Quanta koopwaar.