Introductie
Gina de meetkundestudente bleef gisteravond te laat op om haar huiswerk te maken tijdens het kijken De grote Britten bakken af, dus toen ze eindelijk naar bed ging, zat haar slaperige geest nog vol met cupcakes en kompassen. Dit leidde tot een hoogst ongebruikelijke droom.
Gina vond zichzelf de rechter van de Great Brownie Bake Off op Imaginary University, een school waar studenten veel geometrie leren maar heel weinig rekenen. Teams van Imaginary U-studenten kregen de opdracht om de grootste brownie te maken die ze konden maken, en het was aan Gina om de winnaar te bepalen.
Team Alpha was als eerste over de finish en ze presenteerden trots hun rechthoekige brownie ter keuring. Gina haalde een liniaal tevoorschijn en mat de brownie: hij was 16 inch lang en 9 inch breed. Team Beta volgde snel met hun vierkante brownie, die aan elke kant 12 cm lang was. Toen begonnen de problemen.
'Onze brownie is veel langer dan die van jou', zei de aanvoerder van Team Alpha. “Die van ons is duidelijk groter, dus wij zijn de winnaars!”
"Maar de korte zijde van uw rechthoek is veel korter dan de zijde van ons vierkant", zei een vertegenwoordiger van Team Beta. “Ons plein is duidelijk groter. We hebben gewonnen!"
Gina vond het vreemd om hier ruzie over te maken. "De oppervlakte van de rechthoekige brownie is 9 keer 16, dat is 144 vierkante inch," zei ze. “De oppervlakte van de vierkante brownie is 12 keer 12, wat ook 144 vierkante inch is. De brownies zijn even groot: het is een stropdas.”
Beide teams keken verbaasd. "Ik begrijp niet wat je bedoelt met 'tijden'", zei een student, die nooit vermenigvuldiging had geleerd. ‘Ik ook niet,’ zei een ander. Een derde zei: "Ik hoorde dat studenten van het meetgebied van Complex College een keer cijfers gebruikten, maar wat betekent dat eigenlijk?" Imaginary University was inderdaad een vreemde plek, zelfs als dromen gaan.
Wat moest Gina doen? Hoe kon ze de teams ervan overtuigen dat hun brownies even groot waren als ze niet wisten hoe ze oppervlakte moesten meten en getallen moesten vermenigvuldigen? Gelukkig had Gina een geniaal idee. ‘Geef me een mes,’ zei ze.
Gina mat 12 cm langs de lange zijde van de rechthoekige brownie en sneed evenwijdig aan de korte zijde. Dit veranderde de grote rechthoek in twee kleinere: een van 9 bij 12 en de andere 9 bij 4. Met drie snelle sneden veranderde ze het stuk van 9 bij 4 in drie kleinere stukken van 3 bij 4. Een beetje herschikken resulteerde in hoorbare ooh's en aah's van de menigte: Gina had de rechthoek veranderd in een exacte replica van het vierkant.
Beide teams moesten het er nu over eens zijn dat hun brownies even groot waren. Door de ene te ontleden en te herschikken om de andere te vormen, toonde Gina aan dat de twee brownies dezelfde totale oppervlakte bezetten. Dissecties zoals deze worden al duizenden jaren in de meetkunde gebruikt om aan te tonen dat figuren even groot zijn, en er zijn veel opmerkelijke resultaten over dissecties en gelijkwaardigheid. Zelfs vandaag de dag gebruiken wiskundigen dissectie en herschikking nog steeds om volledig te begrijpen wanneer bepaalde vormen equivalent zijn, wat leidt tot enkele verrassende recente resultaten.
U hebt waarschijnlijk geometrische dissecties in de wiskundeles gezien bij het ontwikkelen van de gebiedsformules voor basisvormen. U herinnert zich bijvoorbeeld misschien dat de oppervlakte van een parallellogram gelijk is aan de lengte van de basis maal de hoogte: dit komt omdat een parallellogram kan worden ontleed en herschikt tot een rechthoek.
Deze dissectie laat zien dat de oppervlakte van het parallellogram gelijk is aan de oppervlakte van een rechthoek met dezelfde basis en hoogte, wat, zoals iedereen die niet op Imaginary University heeft gezeten weet, het product is van die twee getallen.
Over Imaginary U gesproken, de Great Brownie Bake Off was net aan het opwarmen. Team Gamma kwam naderbij met een grote driehoekige brownie. "Hier is de winnaar", kondigden ze stoutmoedig aan. "Onze beide zijden zijn veel langer dan de andere."
Gina mat de zijkanten. "Dit heeft ook hetzelfde gebied!" riep ze uit. "Dit is een rechthoekige driehoek en de poten zijn 18 en 16, dus de oppervlakte is..." Gina zweeg even en merkte de verbijsterde blikken op ieders gezicht op. "Oh laat maar. Geef me het mes maar."
Gina sneed behendig van het middelpunt van de hypotenusa naar het middelpunt van het langere been en draaide vervolgens de nieuw gevormde driehoek zodat deze een perfecte rechthoek vormde wanneer deze in het grotere stuk werd genesteld.
“Dat is precies onze brownie!” riep Team Alpha. En ja hoor, de resulterende rechthoek was 9 bij 16: precies even groot als die van hen.
Team Beta had zo zijn twijfels. "Maar hoe verhoudt deze driehoek zich tot ons vierkant?" vroeg hun teamleider.
Gina was daar klaar voor. "We weten al dat de rechthoek en het vierkant even groot zijn, dus door transitiviteit zijn de driehoek en het vierkant even groot." Transitiviteit is een van de belangrijkste eigenschappen van gelijkheid: het zegt dat als a = b en b = cdan a = c. Gina vervolgde: "Als de oppervlakte van de eerste brownie gelijk is aan de oppervlakte van de tweede, en de oppervlakte van de tweede brownie is gelijk aan de oppervlakte van de derde, dan moeten de eerste en de derde brownie ook gelijke oppervlakten hebben."
Maar Gina had te veel plezier met dissecties om daar te stoppen. "Of we kunnen gewoon nog een paar bezuinigingen doorvoeren."
Eerst draaide Gina de rechthoek die voorheen een driehoek was. Daarna sneed ze het met exact hetzelfde patroon dat ze op de rechthoek van Team Alpha had gebruikt.
Vervolgens liet ze zien hoe deze nieuwe ontleding van de driehoek van Team Gamma kon worden omgezet in het vierkant van Team Beta, precies zoals ze had gedaan met de rechthoek van Team Alpha.
In deze situatie zeggen we dat de driehoek en het vierkant "schaarcongruent" zijn: je kunt je voorstellen dat je een schaar gebruikt om een figuur in eindig veel stukken te knippen die vervolgens kunnen worden herschikt om de andere te vormen. In het geval van de driehoek en het vierkant laten de brownies precies zien hoe deze schaarcongruentie werkt.
Merk op dat het patroon in beide richtingen werkt: het kan worden gebruikt om de driehoek in het vierkant of het vierkant in de driehoek te veranderen. Met andere woorden, schaarcongruentie is symmetrisch: als vorm A schaarcongruent is aan vorm B, dan is vorm B ook schaarcongruent aan vorm A.
In feite laat het bovenstaande argument met betrekking tot de driehoek, de rechthoek en het vierkant zien dat schaarcongruentie ook transitief is. Aangezien de driehoek schaarcongruent is aan de rechthoek en de rechthoek schaarcongruent is aan het vierkant, is de driehoek schaarcongruent aan het vierkant. Het bewijs zit in de patronen: leg ze gewoon op de tussenvorm, zoals gedaan met de rechthoek erboven.
Als je de driehoek in stukken snijdt die de rechthoek vormen, en vervolgens de rechthoek in stukken snijdt die het vierkant vormen, kunnen de resulterende stukken worden gebruikt om een van de drie vormen te vormen.
Het feit dat schaarcongruentie transitief is, vormt de kern van een verbazingwekkend resultaat: als twee polygonen dezelfde oppervlakte hebben, dan zijn ze schaarcongruent. Dit betekent dat, gegeven twee willekeurige polygonen met dezelfde oppervlakte, je er altijd één in een eindig aantal stukken kunt knippen en ze opnieuw kunt rangschikken om de andere te maken.
Het bewijs van deze opmerkelijke stelling is ook opmerkelijk eenvoudig. Snijd eerst elke veelhoek in driehoeken.
Ten tweede, verander elke driehoek in een rechthoek, vergelijkbaar met hoe Gina de driehoekige brownie herschikte.
Nu komt het lastige technische gedeelte: maak van elke rechthoek een nieuwe rechthoek van één eenheid breed.
Om dit te doen, begint u stukken van de rechthoek af te hakken die één eenheid breed zijn.
Als je de rechthoek in een geheel aantal stukjes van breedte 1 kunt hakken, ben je klaar: stapel ze gewoon op elkaar. Stop anders met hakken wanneer het laatste stuk tussen 1 en 2 eenheden breed is en stapel de rest op elkaar.
Maak je geen zorgen als de rechthoek zelf minder dan 1 eenheid breed is: snijd hem gewoon doormidden en gebruik de twee stukken om een nieuwe rechthoek te maken die twee keer zo lang en half zo dik is. Herhaal zo nodig totdat je een rechthoek hebt van 1 tot 2 eenheden breed.
Stel je nu voor dat deze laatste rechthoek hoogte heeft h en breedte w, met 1 w < 2. We gaan die rechthoek in stukken snijden en herschikken tot een rechthoek met breedte 1 en hoogte h × w. Om dit te doen, legt u de h × w rechthoek met de gewenste hw × 1 rechthoek zoals deze.
Knip vervolgens van hoek tot hoek langs de stippellijn en knip het kleine driehoekje rechtsonder af langs de rechterrand van de hw × 1 rechthoek.
Dit snijdt de h × w rechthoek in drie stukken die kunnen worden herschikt tot een hw × 1 rechthoek. (Om deze laatste dissectie te rechtvaardigen, zijn enkele slimme argumenten nodig met gelijkaardige driehoeken. Zie de oefeningen hieronder voor de details.)
Plaats ten slotte deze laatste rechthoek bovenop de stapel en je hebt deze polygoon - eigenlijk elke polygoon - met succes omgezet in een rechthoek met breedte 1.
Als de oppervlakte van de oorspronkelijke polygoon nu was A, dan moet de hoogte van deze rechthoek zijn A, dus elke polygoon met oppervlakte A is schaar congruent aan een rechthoek met breedte 1 en hoogte A. Dat betekent dat als twee polygonen een oppervlakte hebben A, dan zijn ze beide schaarcongruent aan dezelfde rechthoek, dus door transitiviteit zijn ze schaarcongruent aan elkaar. Dit laat zien dat elke polygoon een oppervlakte heeft A is schaar congruent aan elke andere veelhoek met oppervlakte A.
Maar zelfs dit krachtige resultaat was niet genoeg om de keuring van Imaginary University's Brownie Bake Off succesvol af te ronden. Er was nog één inzending over en niemand was verbaasd over wat Team Pi opdook.
Op het moment dat Gina die cirkel zag aankomen, werd ze in het koude zweet wakker uit haar droom. Ze wist dat het onmogelijk was een cirkel in oneindig veel stukken te snijden en ze te herschikken tot een vierkant, een rechthoek of een veelhoek. In 1964 bewezen de wiskundigen Lester Dubins, Morris Hirsch en Jack Karush dat een cirkel geen schaar is die congruent is aan een veelhoek. Gina's droom was veranderd in een geometrische nachtmerrie.
Maar zoals ze altijd lijken te doen, maakten wiskundigen van dit obstakel nieuwe wiskunde. In 1990 bewees Miklós Laczkovich dat het mogelijk is om een cirkel in stukken te snijden en er een vierkant van te maken, zolang je maar oneindig kleine, oneindig losgekoppelde, oneindig gekartelde stukjes kunt gebruiken die onmogelijk met een schaar gemaakt kunnen worden.
Hoe verrassend en opwindend het resultaat van Laczkovich ook was, het bewees alleen maar dat een dergelijke ontleding theoretisch mogelijk is. Er werd niet uitgelegd hoe de stukken moesten worden gemaakt, alleen dat ze konden bestaan. Dat is waar Andras Máthé, Oleg Pikhurko en Jonathan Noel om de hoek kwamen kijken: begin 2022 een krant geplaatst waarin ze overeenkwamen met de prestatie van Laczkovich, maar met stukken die kunnen worden gevisualiseerd.
Helaas kun je hun resultaat niet gebruiken om brownie bake-offs te vereffenen. Schaar alleen kan de 10 niet produceren200 stukken die nodig zijn bij hun ontbinding. Maar het is weer een stap voorwaarts in het beantwoorden van een lange reeks vragen die begon toen Archimedes $latex pi$ voor het eerst uitvond of ontdekte. En het houdt ons op weg naar het uitvinden of ontdekken van nieuwe wiskunde waar vorige generaties niet van konden dromen.
Oefeningen
1. Leg uit hoe we weten dat bij het afleiden van de oppervlakteformule voor een parallellogram de driehoek die we afsnijden perfect past in de ruimte aan de andere kant van het parallellogram.
2. Leg uit waarom elke driehoek kan worden ontleed tot een rechthoek.
Bekijk voor oefeningen 3 en 4 het diagram dat wordt gebruikt om te laten zien dat an h × w rechthoek is schaar congruent aan een hw × 1 rechthoek, met gelabelde punten.
3. Leg uit waarom $latex driehoek$ XYQ is vergelijkbaar met $latextriangle$ ABX. Wat maakt dit de lengte van QY?
4. Leg uit waarom $latex driehoek$ PCX is congruent aan $latex driehoek$ AZQ.
Klik voor antwoord 1:
Er zijn veel manieren om aan te tonen dat de twee driehoeken congruent zijn. Eén manier is om op te merken dat de afstand tussen evenwijdige lijnen constant is, dus de twee rechthoekige driehoeken hebben een paar congruente benen.
En in een parallellogram zijn overstaande zijden congruent, wat de twee driehoeken congruent maakt volgens de congruentiestelling van de hypotenusa-benen driehoek. Je zou ook een argument kunnen maken met behulp van de congruentiestelling van de hoek-zij-hoek-driehoek.
Klik voor antwoord 2:
Een van de geweldige elementaire resultaten in driehoeksgeometrie is de stelling van het middensegment van de driehoek: als je de middelpunten van twee zijden van een driehoek verbindt, is het resulterende lijnsegment evenwijdig aan en de helft van de lengte van de derde zijde.
Omdat het segment evenwijdig is aan de derde zijde, zijn hoeken 1 en 3 congruente overeenkomstige hoeken. En hoeken 1 en 2 zijn binnenhoeken aan dezelfde zijde, dus ze zijn aanvullend, wat betekent dat hun afmetingen optellen tot 180 graden. Omdat $latexangle$ 1 congruent is aan $latexangle$ 3, betekent dit dat hoeken 3 en 2 ook aanvullend zijn.
Dus als je de bovenste driehoek omdraait en naar rechts draait, zullen de congruente zijden perfect op elkaar aansluiten en zullen de hoeken 2 en 3 een rechte lijn vormen.
Dit verandert de driehoek in een parallellogram, dat, zoals we al weten, in een rechthoek kan worden veranderd.
Klik voor antwoord 3:
Sinds BXYZ is een rechthoek, beide $latexangle$ ZBC en $latexhoek$ ZYX zijn rechte hoeken. En aangezien overstaande zijden van een rechthoek evenwijdig zijn, is dit $latexangle$ YQX congruent aan $latexhoek$ AXB, omdat het alternatieve binnenhoeken zijn. Dus $latekstdriehoek$ XYQ is vergelijkbaar met $latextriangle$ ABX door hoek-hoek gelijkenis. In gelijkvormige driehoeken zijn de zijden in verhouding, dus $latex frac{XY}{AB} = frac{QY}{BX}$. Dus $latex frac{h}{hw} = frac{QY}{w}$, en zo QY = 1. Merk op dat, aangezien $latexangle$ ADC is een rechte hoek en $latex hoek$ DAP en $latexhoek$ YQX congruente corresponderende hoeken zijn, dit maakt $latex driehoek$ DAP congruent aan $latextriangle$ YQX. Dit bewijst dat je $latextriangle$ kunt schuiven YQX naar de plek die momenteel wordt ingenomen door $latex driehoek$ DAP, zoals nodig is in het schaar-congruentieargument.
Klik voor antwoord 4:
Merk op dat $latex hoek$ AZQ en $latexhoek$ PCX zijn beide rechte hoeken en dus congruent. Door eigenschappen van evenwijdige lijnen te gebruiken zoals in oefening 3, kunnen we ook zien dat $latexhoek$ AQZ en $latexhoek$ PXC congruente overeenkomstige hoeken zijn. Ook in oefening 3 lieten we dat zien QY = 1. Dit maakt QZ = w − 1, en dat is precies wat CX is gelijk aan. Dus $latex driehoek$ PCX is congruent aan $latex driehoek$ AZQ door hoek-zij-hoek driehoek congruentie. Dit rechtvaardigt het andere deel van het argument dat een h × w rechthoek is schaar congruent aan een hw × 1 rechthoek.
