Et århundre senere jevner ny matematikk ut generell relativitet | Quanta Magazine

Albert Einsteins generelle relativitetsteori har vært veldig vellykket med å beskrive hvordan tyngdekraften fungerer og hvordan den former universets storskalastruktur. Det er oppsummert i et ordtak av fysikeren John Wheeler: «Rom-tid forteller noe om hvordan man beveger seg; materie forteller rom-tid hvordan den skal kurve.» Likevel er matematikken til generell relativitet også dypt kontraintuitiv.

Fordi de grunnleggende ligningene er så kompliserte, er selv de enkleste utsagn vanskelig å bevise. For eksempel var det ikke før rundt 1980 at matematikere beviste, som en del av et hovedteorem i generell relativitet, at et isolert fysisk system, eller rom, uten noen masse i seg, må være flatt.

Dette etterlot uløst spørsmålet om hvordan et rom ser ut hvis det nesten er et vakuum, med bare en liten mengde masse. Er det nødvendigvis nesten flatt?

Selv om det kan virke åpenbart at mindre masse vil føre til mindre krumning, er ting ikke så klippe og tørre når det gjelder generell relativitet. I følge teorien kan tette konsentrasjoner av materie "deformere" en del av rommet, noe som gjør det svært buet. I noen tilfeller kan denne krumningen være ekstrem, noe som muligens kan føre til dannelse av sorte hull. Dette kan skje selv i et rom med små mengder materie, hvis det er konsentrert sterkt nok.

I en fersk papir, Conghan Dong, en hovedfagsstudent ved Stony Brook University, og Antoine Song, en assisterende professor ved California Institute of Technology, beviste at en sekvens av buede rom med mindre og mindre mengder masse til slutt vil konvergere til et flatt rom med null krumning.

Dette resultatet er et bemerkelsesverdig fremskritt i den matematiske utforskningen av generell relativitet - en streben som fortsetter å betale utbytte mer enn et århundre etter at Einstein utviklet sin teori. Dan Lee, en matematiker ved Queens College som studerer matematikken i generell relativitet, men ikke var involvert i denne forskningen, sa at Dong og Songs bevis gjenspeiler en dyp forståelse av hvordan krumning og masse samhandler.

Hva de beviste

Beviset fra Dong og Song gjelder tredimensjonale rom, men vurder først et todimensjonalt eksempel for illustrasjonens skyld. Se for deg et flatt rom uten masse som et vanlig, glatt ark. Et rom med liten masse, i dette tilfellet, kan se likt ut på avstand - det vil si for det meste flatt. Imidlertid kan en nærmere undersøkelse avsløre noen skarpe pigger eller bobler som dukker opp her og der - konsekvenser av klynging av materie. Disse tilfeldige utspringene vil få papiret til å ligne en velholdt plen med en og annen sopp eller stilk som stikker ut fra overflaten.

Dong og Song beviste en formodninger som ble formulert i 2001 av matematikerne Gerhard Huisken og Tom Ilmanen. Formodningen sier at når massen til et rom nærmer seg null, så må også dets krumning. Huisken og Ilmanen erkjente imidlertid at dette scenariet er komplisert av tilstedeværelsen av bobler og pigger (som er matematisk forskjellige fra hverandre). De antok at boblene og piggene kunne kuttes av på en slik måte at grenseområdet som ble etterlatt på overflaten av rommet ved hver eksisjon var lite. De antydet, men kunne ikke bevise, at plassen som var igjen etter at disse plagsomme vedhengene var fjernet, ville være nær flat. De var heller ikke sikre på hvordan slike kutt skulle gjøres.

"Disse spørsmålene var vanskelige, og jeg forventet ikke å se en løsning på Huisken-Ilmanen-formodningen," sa Lee.

I hjertet av formodningen er en måling av krumning. Plassen kan krumme seg på forskjellige måter, forskjellige mengder og forskjellige retninger - som en sal (i to dimensjoner) som svinger oppover og tilbake, men nedover til venstre og høyre. Dong og Song ignorerer disse detaljene. De bruker et konsept kalt skalarkurvatur, som representerer krumningen som et enkelt tall som oppsummerer hele krumningen i alle retninger.

Dong og Songs nye verk, sa Daniel Stern fra Cornell University, er "en av de sterkeste resultatene vi har så langt som viser oss hvordan skalarkurvatur kontrollerer geometrien" til rommet som helhet. Papiret deres illustrerer at "hvis vi har ikke-negativ skalar krumning og liten masse, forstår vi strukturen til rommet veldig godt."

The Proof

Huisken-Ilmanen-formodningen gjelder geometrien til rom med jevnt avtagende masse. Den foreskriver en spesifikk metode for å si hvor nært et rom med liten masse er flatt rom. Det målet kalles avstand Gromov-Hausdorff, oppkalt etter matematikerne Mikhael Gromov og Felix Hausdorff. Å beregne avstanden Gromov-Hausdorff er en to-trinns prosess.

Det første trinnet er å finne Hausdorff-avstanden. Anta at du har to sirkler, A og B. Start med et hvilket som helst punkt på A og finn ut hvor langt det er til det nærmeste punktet på B.

Gjenta dette for hvert punkt på A. Den største avstanden du finner er Hausdorff-avstanden mellom sirklene.

Når du har Hausdorff-avstanden, kan du beregne Gromov-Hausdorff-avstanden. For å gjøre det, plasser objektene dine i et større rom for å minimere Hausdorff-avstanden mellom dem. I tilfelle av to identiske sirkler, siden du kan sette dem bokstavelig talt oppå hverandre, er Gromov-Hausdorff-avstanden mellom dem null. Geometrisk identiske objekter som disse kalles "isometriske".

Å måle avstand er selvfølgelig vanskeligere når objektene eller rommene som sammenlignes er like, men ikke det samme. Gromov-Hausdorff-avstanden gir et presist mål på likhetene (eller forskjellene) mellom formene til to objekter som i utgangspunktet ligger i forskjellige rom. "Gromov-Hausdorff-avstand er en av de beste måtene vi har å si at to mellomrom er nesten isometriske, og det gir et tall til det 'nesten'," sa Stern.

Før Dong og Song kunne gjøre sammenligninger mellom et rom med liten masse og et rom som er helt flatt, måtte de klippe av de irriterende fremspringene - de smale piggene der materie er tettpakket og enda tettere bobler som kan inneholde små sorte hull. "Vi kuttet dem slik at grenseområdet [der skiven ble laget] er lite," sa Song, "og vi viste at området blir mindre etter hvert som massen går ned."

Selv om den taktikken kan høres ut som en juks, sa Stern at det er tillatt for å bevise formodningen å gjøre en slags forhåndsbehandling ved å kutte ut bobler og pigger hvis areal krymper til null når massen minker.

Som en proxy for et rom med liten masse, foreslo han, kunne vi forestille oss et sammenkrøllet ark som, etter å ha blitt jevnet ut igjen, fortsatt har skarpe bretter og folder. Du kan bruke et hull for å fjerne de mest fremtredende uregelmessighetene, og etterlate et litt ujevnt stykke papir med noen hull i. Ettersom størrelsen på disse hullene krymper, vil også ujevnhetene i papirets terreng krympe. Ved grensen, kan du si, ville hullene krympe til null, haugene og ryggene ville forsvinne, og du ville sitte igjen med et jevnt glatt stykke papir - en ekte stand-in for flat plass.

Det var det Dong og Song prøvde å bevise. Det neste trinnet var å se hvordan disse blottede områdene – uten sine grove trekk – stablet opp mot standarden for fullstendig flathet. Strategien de fulgte gjorde bruk av en spesiell type kart, som er en måte å sammenligne to rom ved å assosiere punkter i ett rom med punkter i et annet. Kartet de brukte ble utviklet i en papir skrevet av Stern og tre kolleger - Hubert Bray, Demetre Kazaras og Marcus Khuri. Denne prosedyren kan stave nøyaktig hvor nær to mellomrom er.

For å forenkle oppgaven tok Dong og Song i bruk et annet matematisk triks fra Stern og hans medforfattere, som viste at et tredimensjonalt rom kan deles inn i uendelig mange todimensjonale skiver kalt nivåsett, omtrent som et hardkokt egg kan segmenteres i smale ark med de stramme ledningene til en eggeskjærer.

Nivåsettene arver krumningen til det tredimensjonale rommet de utgjør. Ved å fokusere oppmerksomheten på nivåsett i stedet for på det større tredimensjonale rommet, klarte Dong og Song å redusere dimensjonaliteten til problemet fra tre til to. Det er veldig fordelaktig, sa Song, fordi "vi vet mye om todimensjonale objekter ... og vi har mange verktøy for å studere dem."

Hvis de kunne vise at hvert nivåsett er "slags flatt," sa Song, ville dette tillate dem å oppnå sitt overordnede mål om å vise at et tredimensjonalt rom med liten masse er nær flatt. Heldigvis slo denne strategien ut.

Neste trinn

Når vi ser fremover, sa Song at en av feltets neste utfordringer er å gjøre beviset mer eksplisitt ved å legge ut en presis prosedyre for å kvitte seg med bobler og pigger og bedre beskrive regionene som har blitt kuttet bort. Men for nå, innrømmet han, "vi har ikke en klar strategi for å oppnå det."

 En annen lovende vei, sa Song, ville være å utforske en egen formodning som ble formulert i 2011 av Lee og Christina Sormani, en matematiker ved City University of New York. Lee-Sormani-formodningen stiller et lignende spørsmål som Huisken og Ilmanen, men den er avhengig av en annen måte å måle forskjellen mellom former på. I stedet for å vurdere den maksimale avstanden mellom to former, slik Gromov-Hausdorff-avstanden gjør, spør Lee-Sormani-tilnærmingen om volumet av rommet mellom dem. Jo mindre volumet er, jo nærmere er de.

Song håper i mellomtiden å se på grunnleggende spørsmål om skalarkurvatur som ikke er motivert av fysikk. "I den generelle relativitetsteorien," sa han, "har vi å gjøre med veldig spesielle rom som er nesten flate i det uendelige, men i geometri bryr vi oss om alle slags rom."

"Det er håp om at disse teknikkene kan være av verdi i andre omgivelser" som ikke er relatert til generell relativitet, sa Stern. "Det er en stor familie av relaterte problemer," sa han, som venter på å bli utforsket.

Quanta gjennomfører en serie undersøkelser for å tjene publikum bedre. Ta vår matematikk leserundersøkelse og du vil bli registrert for å vinne gratis Quanta varer.