På begynnelsen av 1950-tallet gikk en gruppe forskere ved Institute for Advanced Study i gang med et høyteknologisk prosjekt. På beordre av John von Neumann og Herman Goldstine, programmerte fysikeren Hedvig Selberg IAS sin 1,700-vakuum-rør datamaskin for å beregne merkelige matematiske summer hvis opprinnelse strekker seg tilbake til 18-tallet.
Summene var relatert til kvadratiske Gauss-summer, oppkalt etter den berømte matematikeren Carl Friedrich Gauss. Gauss ville velge et primtall p, oppsummer deretter tall på formen $latex e^{frac{2iπn^2}{p}}$. Siden starten har kvadratiske Gauss-summer vist seg uvurderlige for oppgaver som å telle løsninger på visse typer ligninger. "Det viser seg at Gauss-summer er magiske, at de bare gjør fantastiske ting for Gud vet hva grunnen til det," sa Jeffrey Hoffstein, en matematiker ved Brown University.
På midten av 19-tallet lekte den tyske matematikeren Ernst Eduard Kummer med en nær slektning til disse kvadratiske Gauss-summene, hvor n2 i eksponenten erstattes av en n3. Kummer la merke til at de hadde en tendens til å samle nesten spesielle verdier i en overraskende grad - en skarp observasjon som ville føre til århundrer med undersøkelser i tallteori.
Hvis kubiske Gauss-summer ikke omarbeides til en enklere formel, er verdiene vanskelige å utlede. I mangel av en slik formel, satte Kummer i gang med å beregne kubiske Gauss-summer - og beregne, og kalkulere. "Det var veldig vanlig for dem å gjøre denne typen heroiske beregninger for hånd den gang," sa Matthew Young, en matematiker ved Texas A&M University. Etter å ha pløyd gjennom 45 summer, tilsvarende de første 45 ikke-trivielle primtallene, ga Kummer til slutt opp.
Da han undersøkte resultatene sine, la Kummer merke til noe interessant. I teorien kan summene være alt mellom -1 og 1 (etter å ha blitt "normalisert" - delt på en passende konstant). Men da han gjorde beregningene, oppdaget han at de var fordelt på en merkelig måte. Halvparten av resultatene var mellom ½ og 1, og bare en sjettedel av dem var mellom −1 og −½. De så ut til å klynge seg rundt 1.
Kummer la frem observasjonene sine, sammen med en formodning: Hvis du på en eller annen måte klarte å plotte alle de uendelig mange kubiske Gauss-summene, ville du se de fleste av dem mellom ½ og 1; færre mellom −½ og ½; og enda færre mellom −1 og −½.
Selberg, von Neumann og Goldstine satte ut for å teste dette på sin tidlige datamaskin. Selberg programmerte den til å beregne de kubiske Gauss-summene for alle de ikke-trivielle primtallene mindre enn 10,000 600 - rundt 1 summer totalt. (Goldstine og von Neumann fortsatte med å forfatte papiret; bidragene hennes ville ende opp med å bli henvist til en anerkjennelseslinje på slutten.) De oppdaget at etter hvert som primtallene ble større, ble de normaliserte summene mindre tilbøyelige til å samle seg nær XNUMX. Med Overbevisende bevis på at Kummers formodning var feil, begynte matematikere å prøve å forstå kubiske Gauss-summer på en dypere måte som gikk utover bare beregning.
Den prosessen er nå fullført. I 1978, matematikeren Samuel Patterson våget en løsning på Kummers matematiske mysterium, men kunne ikke bevise det. Så i fjor høst beviste to matematikere fra California Institute of Technology Pattersons formodning, og avsluttet endelig Kummers grublerier fra 1846.
Patterson ble først hekta på problemet som doktorgradsstudent ved University of Cambridge på 1970-tallet. Hans formodning var motivert av hva som skjer når tall er tilfeldig plassert hvor som helst mellom −1 og 1. Hvis du legger sammen N av disse tilfeldige tallene vil den typiske størrelsen på summen være $latexsqrt{N}$ (den kan være positiv eller negativ). På samme måte, hvis kubiske Gauss-summer ble spredt jevnt fra -1 til 1, ville du forvente N av dem for å legge opp til omtrent $latexsqrt{N}$.
Med dette i tankene la Patterson opp N kubikk Gauss summer, ignorerer (for øyeblikket) kravet om å holde seg til primtallene. Han fant ut at summen var rundt N5/6 — større enn $latexsqrt{N}$ (som kan skrives som N1/2), men mindre enn N. Denne verdien antydet at summene oppførte seg som tilfeldige tall, men med en svak kraft som presset dem mot positive verdier, kalt bias. Som N ble større og større, ville tilfeldighetene begynne å overvelde skjevheten, og så hvis du på en eller annen måte så på alle de uendelig mange kubiske Gauss-summene på en gang, ville de virke jevnt fordelt.
Dette forklarte tilsynelatende alt: Kummers beregninger viser en skjevhet, så vel som IAS-beregningene som tilbakeviser en.
Men Patterson var ikke i stand til å gjøre de samme beregningene for primtall, så i 1978 skrev han det offisielt ned som en formodninger: Legger du sammen de kubiske Gauss-summene for primtall, skal du få det samme N5/6 adferd.
Rett etter å ha holdt en tale om sitt arbeid med Kummer-problemet, ble Patterson kontaktet av en doktorgradsstudent ved navn Roger Heath-Brown, som foreslo å inkorporere teknikker fra primtallsteori. De to slo seg sammen og snart publisert et fremskritt på problemet, men de kunne fortsatt ikke vise at Pattersons spådde N5/6 bias var nøyaktig for primtall.
I løpet av de påfølgende tiårene var det liten fremgang. Til slutt, ved årtusenskiftet, laget Heath-Brown en annen gjennombrudd, der et verktøy han hadde utviklet kalt den kubiske store sikten spilte en viktig rolle.
For å bruke den kubiske store sikten brukte Heath-Brown en rekke beregninger for å relatere summen av kubikk Gauss-summer til en annen sum. Med dette verktøyet kunne Heath-Brown vise at hvis du legger sammen de kubiske Gauss-summene for primtall mindre enn N, kan resultatet ikke bli mye større enn N5/6. Men han mente at han kunne gjøre det bedre - at selve silen kunne forbedres. Hvis det kunne, ville det senke grensen til N5/6 nøyaktig, og beviser dermed Pattersons formodning. I en kort tekstlinje skisserte han hva han mente den best mulige formelen for silen ville være.
Selv med dette nye verktøyet i hånden, klarte ikke matematikere å komme videre. Så to tiår senere, et heldig møte mellom Caltech postdoc Alexander Dunn og hans veileder Maksym Radziwiłł markerte begynnelsen på slutten. Før Dunn begynte sin stilling i september 2020, foreslo Radziwiłł at de skulle jobbe med Pattersons formodninger sammen. Men mens Covid-19-pandemien fortsatt raser, fortsatte forskning og undervisning eksternt. Til slutt, i januar 2021, grep tilfeldighetene - eller skjebnen - inn da de to matematikerne uventet traff hverandre på en parkeringsplass i Pasadena. "Vi pratet hjertelig, og vi ble enige om at vi skulle begynne å møtes og snakke matematikk," skrev Dunn i en e-post. I mars jobbet de iherdig med et bevis på Pattersons formodning.
"Det var spennende å jobbe med, men ekstremt høy risiko," sa Dunn. "Jeg mener, jeg husker at jeg kom til kontoret mitt kl. 5 hver morgen i strekk i fire eller fem måneder."
Dunn og Radziwiłł, i likhet med Heath-Brown før dem, fant den kubikk store sikten uunnværlig for deres bevis. Men da de brukte formelen som Heath-Brown hadde skrevet ned i sin artikkel fra 2000 - den han mente var den best mulige silen, en formodning som tallteorisamfunnet hadde kommet til å tro var sant - skjønte de at noe ikke stemte . "Vi var i stand til å bevise at 1 = 2, etter veldig, veldig komplisert arbeid," sa Radziwiłł.
På det tidspunktet var Radziwiłł sikker på at feilen var deres. "Jeg var litt overbevist om at vi i utgangspunktet har en feil i beviset vårt." Dunn overbeviste ham om noe annet. Den kubikk store silen kunne mot forventning ikke forbedres.
Bevæpnet med riktigheten til den kubiske store silen, rekalibrerte Dunn og Radziwiłł sin tilnærming til Pattersons formodning. Denne gangen lyktes de.
"Jeg tror det var hovedgrunnen til at ingen gjorde dette, fordi denne [Heath-Brown] formodningen villede alle," sa Radziwiłł. "Jeg tror at hvis jeg fortalte Heath-Brown at formodningen hans er feil, så ville han sannsynligvis finne ut hvordan han skulle gjøre det."
Dunn og Radziwiłł la ut papiret sitt 15. september 2021. Til slutt var beviset deres basert på den generaliserte Riemann-hypotesen, en kjent ubevist formodning i matematikk. Men andre matematikere ser på dette som bare en mindre ulempe. «Vi vil gjerne bli kvitt hypotesen. Men vi er glade for å ha et resultat som uansett er betinget, sa Heath-Brown, som nå er professor emeritus ved University of Oxford.
For Heath-Brown er Dunn og Radziwiłłs arbeid mer enn bare et bevis på Pattersons formodning. Med sitt uventede innblikk i den kubiske store sikten, brakte papiret deres en overraskende slutt på en historie han har vært en del av i flere tiår. "Jeg er glad for at jeg faktisk ikke skrev i avisen min: 'Jeg er sikker på at man kan bli kvitt dette'," sa han, og refererte til biten av silen som Dunn og Radziwiłł oppdaget var avgjørende. «Jeg sa bare: 'Det ville vært fint om man kan bli kvitt dette. Det ser ut til at du burde være i stand til det. Og jeg tok feil - ikke for første gang."
