Et tårn av formodninger som hviler på en nål | Quanta Magazine

I matematikk er et enkelt problem ofte ikke som det ser ut til. Tidligere i sommer, Quanta rapportert om ett slikt problem: Hva er det minste området du kan feie ut mens du roterer en uendelig tynn nål i alle mulige retninger? Snurr den rundt midten som en skive, og du får en sirkel. Men roter den mer smart, og du kan dekke en vilkårlig liten brøkdel av plassen. Hvis du ikke krever at nålen beveger seg i én kontinuerlig bevegelse, og i stedet bare legger ned en nål i alle retninger, kan du konstruere et arrangement av nåler som ikke dekker noe område i det hele tatt.

Matematikere kaller disse arrangementene Kakeya setter. Selv om de vet at slike sett kan være små når det gjelder areal (eller volum, hvis du arrangerer nålene i tre eller flere dimensjoner), mener de at settene alltid må være store hvis størrelsen måles med en beregning kalt Hausdorff dimensjon.

Matematikere har ennå ikke bevist denne uttalelsen, kjent som Kakeya-formodningen. Men selv om det tilsynelatende er et enkelt spørsmål om nåler, "underbygger geometrien til disse Kakeya-settene en hel mengde spørsmål i partielle differensialligninger, harmonisk analyse og andre områder," sa Jonathan Hickman ved University of Edinburgh.

Kakeya-formodningen ligger i bunnen av et hierarki av tre sentrale problemer i harmonisk analyse - en gren av matematikk som studerer hvordan funksjoner kan representeres som summer av periodiske funksjoner som regelmessig oscillerende sinusbølger.

Det neste trinnet opp i det hierarkiet er "begrensnings"-formodningen. Hvis det er sant, er det også Kakeya-formodningen. (Dette betyr også at hvis Kakeya-formodningen viser seg å være usann, kan ikke restriksjonsformodningen være sann.) Restriksjonsformodningen er på sin side underforstått av den såkalte Bochner-Riesz-formodningen. Og helt på toppen troner den lokale utjevnende formodningen.

De to første formodningene omhandler oppførselen til Fourier-transformasjonen, en teknikk i harmonisk analyse for i realiteten å beregne hvordan man uttrykker nesten enhver funksjon som summen av sinusbølger. Det er et av de kraftigste matematiske verktøyene som er tilgjengelige for fysikere og ingeniører. Fourier-transformasjonen har spilt en grunnleggende rolle i å løse differensialligninger, uttrykke kvantemekaniske ideer som Heisenberg-usikkerhetsprinsippet, og analysere og behandle signaler - noe som gjør ting som moderne mobiltelefoner mulig.

Siden hvert utsagn i hierarkiet antyder det under det, hvis Kakeya-formodningen er usann, er ingen av de andre formodningene sanne. Hele tårnet vil rase sammen. "Du kan lage et supermonster moteksempel som ville bryte mange formodninger," sa Hickman.

På den annen side vil det å bevise at Kakeya-formodningen er sann, ikke automatisk innebære sannheten til de andre formodningene - men det vil gi matematikere viktig innsikt i hvordan de skal gå frem.

Og så, "nesten halvparten av fellesskapet av harmonisk analyse som jeg kjenner til jobber med dette og relaterte problemer, eller har jobbet med dem på et tidspunkt," sa Shaoming Guo ved University of Wisconsin, Madison.

Nylig har matematikere oppdaget, til deres overraskelse, at teknikkene de har utviklet for å takle disse problemene, også kan brukes til å bevise store resultater i det tilsynelatende urelaterte feltet av tallteori. "Det er et mye mer generelt fenomen enn folk trodde," sa Guo.

Layer Cake

Historien starter med Fourier-transformasjonen. "Du ønsker å dekomponere [funksjoner] i små biter, analysere deres interaksjoner og legge dem sammen igjen," sa Yumeng Ou ved University of Pennsylvania. For endimensjonale funksjoner - kurver som du kan plotte på et stykke papir - har matematikere en god forståelse av hvordan du gjør dette, selv når de trenger å reversere Fourier-transformasjonen ved å bruke bare noen av bitene.

Men i to eller flere dimensjoner kan ting bli rotete.

I 1971, Charlie Fefferman, en matematiker ved Princeton University, fant ut hvordan man bruker Kakeya-sett for å demonstrere at reversering av Fourier-transformasjonen kan føre til merkelige og overraskende utfall i flere dimensjoner.

Matematikere fant en løsning i form av Bochner-Riesz-formodningen, som i hovedsak sier at det er mer sofistikerte måter å gjenopprette den opprinnelige funksjonen på som ikke brytes ned som Feffermans eksempel. Men den løsningen var avhengig av sannheten i Kakeya-formodningen.

Hvis det er sant, "avkorting av frekvenser vil bare føre til små feil," sa Betsy Stovall ved University of Wisconsin, Madison. "Det betyr at de små feilene ikke blåser opp."

Så begynte hierarkiet. Senere oppdaget matematikere en annen viktig sammenheng: Hvis den var sann, innebar Bochner-Riesz-formodningen også en uttalelse kalt restriksjonsformodningen. Denne formodningen sier at hvis du starter med en begrenset versjon av Fourier-transformasjonen - "begrenser" verdiene du ser på til kun de som bor på bestemte overflater - kan dette fortsatt gi deg viktig informasjon om den opprinnelige funksjonen. Og det viste seg at hvis begrensningsformodningen var sann, så var Kakeya-formodningen det også. (Dette plasserte restriksjonsformodningen mellom Kakeya og Bochner-Riesz i tårnet.)

Kroneproblemet i hierarkiet, kalt den lokale utjevningsformodningen, omhandler ikke Fourier-transformasjonen direkte, men setter snarere grenser for størrelsen på løsninger til ligninger som beskriver oppførselen til bølger.

Du kan også tenke på dette i form av geometrien til linjer i et Kakeya-sett. Du kan dele opp en generell løsning av bølgeligningen i en haug med biter som beveger seg i forskjellige retninger og samhandler med hverandre på forskjellige måter over tid. Hver av disse brikkene ligner matematisk en nål i et Kakeya-sett. Kakeya-formodningen hevder at en slik konfigurasjon ikke kan ha for mye overlapping. I denne fysiske konteksten vil overlappinger tilsvare vedvarende uregelmessig og uventet oppførsel i løsningen. For eksempel kan en lydbølge forsterkes i mange områder på mange forskjellige tidspunkter.

Den lokale utjevningsformodningen sier at slike uregelmessigheter bør snitte ut. "Det er som å ta gjennomsnittet av finansmarkedet," sa Ciprian Demeter fra Indiana University Bloomington. "Det kan være krasj her og der, men hvis du investerer pengene dine og går av med pensjon om 40 år, er det en god sjanse for at du får noen gode investeringer."

Men som med alle formodningene i hierarkiet, avhenger det av sannheten i Kakeya-formodningen. "Ideen er at hvis du utelukker mange kryss i Kakeya-sett, betyr det at du kan utelukke disse situasjonene der deler av løsningen din konspirerer sammen for å skape en slags eksplosjon," sa Stovall.

Denne formodningen er den vanskeligste av gjengen: Mens de todimensjonale tilfellene av Kakeya-, restriksjons- og Bochner-Riesz-problemene ble løst for flere tiår siden, ble den todimensjonale lokale utjevningsformodningen først bevist for noen få år siden. (I høyere dimensjoner forblir alle disse problemene åpne.)

Men til tross for den langsomme fremgangen med å bevise den lokale utjevningsformodningen, har arbeidet med den ført til enorm fremgang andre steder. I 1999, mens han prøvde å takle formodningen, introduserte matematikeren Thomas Wolff en metode kjent som decoupling. Siden den gang har denne teknikken fått sitt eget liv: Den har blitt brukt til å gjøre store gjennombrudd ikke bare innen harmonisk analyse, men innen tallteori, geometri og andre områder. "Ved å bruke frakoblingsresultater har du nå verdensrekorder i veldig kjente, viktige problemer," sa Christopher Sogge fra Johns Hopkins University, som først formulerte den lokale utjevningsformodningen på 1990-tallet. For eksempel har avkobling blitt brukt for å hjelpe å telle hvor mange måter et heltall kan representeres som summen av kvadrater, terninger eller en annen potens.

Som Demeter sa det, er disse resultatene mulige fordi "vi kan se på tall som bølger." At alle disse problemene kobles tilbake til Kakeya nålesett "er fascinerende," la han til. "Du tror ikke at så mye skjønnhet, vanskeligheter og viktighet kan skjules i noe som kan formuleres ved hjelp av linjesegmenter."