Farging etter tall avslører aritmetiske mønstre i brøker

Et år etter at han begynte på sin Ph.D. i matematikk ved McGill University hadde Matt Bowen et problem. "Jeg tok mine kvalifiseringseksamener og gjorde det helt forferdelig på dem," sa han. Bowen var sikker på at poengsummene hans ikke reflekterte hans matematiske ferdigheter, og han bestemte seg for å bevise det. I fjor høst gjorde han det, da han og rådgiveren hans, Marcin Sabok, postet et stort fremskritt i feltet kjent som Ramsey teori.

I nesten et århundre har Ramsey-teoretikere samlet bevis på at matematisk struktur vedvarer under fiendtlige omstendigheter. De kan bryte fra hverandre store sett med tall som heltall eller brøker, eller dele opp forbindelsene mellom punkter på et nettverk. De finner da måter å bevise at visse strukturer er uunngåelige, selv om du prøver å unngå å lage dem ved å bryte eller skjære i stykker på en smart måte.

Når Ramsey-teoretikere snakker om å dele opp et sett med tall, bruker de ofte fargespråket. Velg flere farger: rød, blå og gul, for eksempel. Tilordne nå en farge til hvert tall i en samling. Selv om du gjør dette på en tilfeldig eller kaotisk måte, vil visse mønstre uunngåelig dukke opp så lenge du bare bruker et begrenset antall forskjellige farger, selv om det antallet er veldig stort. Ramsey-teoretikere prøver å finne disse mønstrene, og søker etter strukturerte sett med tall som er "monokromatiske", noe som betyr at elementene deres alle har blitt tildelt samme farge.

De første fargeresultatene går tilbake til slutten av 19-tallet. I 1916 hadde Issai Schur bevist at uansett hvordan du farger de positive heltallene (også kjent som naturlige tall), vil det alltid være et tallpar x og y slik at x, y, og summen deres x+y er alle i samme farge. Gjennom det 20. århundre fortsatte matematikere å jobbe med fargeproblemer. I 1974, Neil Hindman utvidet Schurs resultat å inkludere en uendelig delmengde av heltallene. I likhet med Schurs teorem, gjelder Hindmans uansett hvordan de naturlige tallene er farget (med et begrenset antall fargestifter). Ikke bare har disse heltallene i Hindmans sett samme farge, men hvis du oppsummerer en samling av dem, vil resultatet også være den fargen. Slike sett ligner partallene ved at akkurat som enhver sum av partall alltid er partall, så ville også summen av alle tall i et av Hindmans sett være inneholdt i det settet.

"Hindmans teorem er et fantastisk stykke matematikk," sa Sabok. "Det er en historie vi kan lage en film av."

Men Hindman trodde mer var mulig. Han trodde du kunne finne et vilkårlig stort (men begrenset) monokromatisk sett som inneholdt ikke bare summene til medlemmene, men også produktene. "Jeg har hevdet i flere tiår at det er et faktum," sa han og la til: "Jeg hevder ikke at jeg kan bevise det."

Hindmans formodning

Hvis du gir opp summen og bare vil sikre at produktene har samme farge, er det enkelt å tilpasse Hindmans teorem ved å bruke eksponentiering for å transformere summer til produkter (mye som en lysbilderegel gjør).

Å bryte med summer og produkter samtidig er imidlertid langt tøffere. "Det er veldig vanskelig å få de to til å snakke med hverandre," sa Joel Moreira, en matematiker ved University of Warwick. "Å forstå hvordan addisjon og multiplikasjon henger sammen - dette er på en måte grunnlaget for all tallteori, nesten."

Selv en enklere versjon som Hindman først foreslo på 1970-tallet viste seg å være utfordrende. Han antok at enhver farging av de naturlige tallene må inneholde et monokromatisk sett av formen {x, y, xy, x+y} — to tall x og y, samt deres sum og produkt. "Folk har egentlig ikke gjort noen fremgang på dette problemet på flere tiår," sa Bowen. "Og så plutselig, rundt 2010, begynte folk å bevise flere og flere ting om det."

Bowen lærte om {x, y, xy, x+y} problem i 2016, hans andre semester på college, da en av professorene hans ved Carnegie Mellon University beskrev problemet i klassen. Bowen ble slått av sin enkelhet. "Det er en av disse kule tingene hvor det er som, vel, jeg kan ikke mye matematikk, men jeg kan liksom forstå dette," sa han.

I 2017, Moreira beviste Det du kan alltid finn et monokromatisk sett som inneholder tre av de fire ønskede elementene: x, xyog x + y. I mellomtiden begynte Bowen å fikle tilfeldig med spørsmålet i løpet av sitt siste år. "Jeg kunne faktisk ikke løse problemet," sa han. "Men jeg kom tilbake til det hver sjette måned eller så." Etter hans dårlige visning på sin Ph.D. kvalifiserte eksamener i 2020, fordoblet han innsatsen. Noen dager senere hadde han bevist at {x, y, xy, x+y} formodning for tilfellet med to farger, et resultat som Ron Graham allerede hadde bevist tilbake på 1970-tallet ved hjelp av en datamaskin.

Med den suksessen jobbet Bowen med Sabok for å utvide resultatet til et hvilket som helst antall farger. Men de ble raskt viklet inn i tekniske detaljer. "Kompleksiteten til problemet vokser helt ut av kontroll når antallet farger er stort," sa Sabok. I 18 måneder forsøkte de å komme seg ut, uten hell. "I løpet av dette og et halvt året hadde vi omtrent en million feil bevis," sa Sabok.

Spesielt én vanskelighet hindret de to matematikerne i å komme videre. Hvis du velger to heltall tilfeldig, vil du sannsynligvis ikke kunne dele dem. Divisjon fungerer bare i det sjeldne tilfellet der det første tallet er et multiplum av det andre. Dette viste seg å være ekstremt begrensende. Med den erkjennelsen satset Bowen og Sabok på å bevise {x, y, xy, x+y} formodning i de rasjonelle tallene (som matematikere kaller brøker) i stedet. Der kan tall deles med oppgivelse.

Bowen og Saboks bevis er på sitt mest elegante når alle de involverte fargene dukker opp ofte gjennom de rasjonelle tallene. Farger kan vises "ofte" på flere forskjellige måter. De kan hver dekke store deler av talllinjen. Eller det kan bety at du ikke kan reise for langt langs talllinjen uten å se hver farge. Vanligvis samsvarer imidlertid ikke fargene med slike regler. I de tilfellene kan du fokusere på små områder innenfor de rasjonelle tallene der fargene vises oftere, forklarte Sabok. "Det er her hoveddelen av arbeidet kom," sa han.

I oktober 2022 la Bowen og Sabok ut et bevis på at hvis du farger de rasjonelle tallene med endelig mange farger, vil det være et sett med formen {x, y, xy, x+y} hvis elementer alle har samme farge. "Det er et utrolig smart bevis," sa Imre leder ved University of Cambridge. "Den bruker kjente resultater. Men den kombinerer dem på en helt genial, veldig original, veldig nyskapende måte.»

Mange spørsmål gjenstår. Kan et tredje nummer z legges til samlingen, sammen med påfølgende summer og produkter? Å tilfredsstille Hindmans dristigste spådommer ville bety å legge til et fjerde, et femte og til slutt vilkårlig mange nye tall til sekvensen. Det ville også kreve å gå fra rasjonalene til de naturlige tallene og finne en vei rundt divisjonsgåten som hindret Bowen og Saboks innsats.

Leader mener at med Moreira, Bowen og Sabok som alle jobber med problemet, er det beviset kanskje ikke langt unna. "De gutta virker spesielt flinke til å finne nye måter å gjøre ting på," sa han. "Så jeg er litt optimistisk på at de eller noen av kollegene deres kan finne det."

Sabok er mer forsiktig i sine spådommer. Men han utelukker ingenting. "En av sjarmen med matematikk er at før du får et bevis, er alt mulig," sa han.