Hvordan enkel matematikk beveger nålen | Quanta Magazine

Tenk deg at du ruller nedover gaten i en førerløs bil når du ser et problem foran deg. En leveringssjåfør fra Amazon fikk varebilen sin halvveis forbi en dobbeltparkert UPS-lastebil før han skjønte at de ikke kunne klare seg. Nå sitter de fast. Og du også.

Gaten er for smal til å trekke av en U-ey, så din AI-forbedrede bil starter en trepunktssving. Først tar bilen en svingende vei mot den ene fortauskanten. Vel fremme styrer den andre veien og rygger til motsatt fortauskant. Deretter dreier den rattet tilbake i retning av den første svingende banen, og kjører forover og vekk fra hindringen.

Denne enkle geometriske algoritmen for å lage mellomsvinger kan hjelpe deg å komme deg rundt i trange situasjoner. (Hvis du noen gang har parkert parallelt, vet du hva denne frem og tilbake vinglingen kan gjøre for deg.)

Det er et morsomt matematisk problem her om hvor mye plass du trenger for å snu bilen din, og matematikere har jobbet med en idealisert versjon av den i over 100 år. Det startet i 1917 da den japanske matematikeren Sōichi Kakeya utgjorde et problem som høres litt ut som vår trafikkork. Tenk deg at du har en uendelig tynn nål med lengde 1. Hva er arealet av det minste området der du kan snu nålen 180 grader og sette den tilbake til sin opprinnelige posisjon? Dette er kjent som Kakeyas nåleproblem, og matematikere studerer fortsatt varianter av det. La oss ta en titt på den enkle geometrien som gjør Kakeyas nåleproblem så interessant og overraskende.

Som mange matematiske problemer, innebærer denne noen forenklede antakelser som gjør den mindre realistisk, men mer håndterbar. For eksempel har lengden og bredden på en bil betydning når du kjører, men vi antar at nålen vår har lengde 1 og bredde null. (Dette betyr at nålen i seg selv har et område på null, noe som spiller en viktig rolle i å tillate oss å løse problemet.) Vi vil også anta at nålen, i motsetning til en bil, kan svinge rundt fronten, bakenden. , eller et punkt i mellom.

Målet er å finne den minste regionen som lar nålen snu 180 grader. Å finne den minste tingen som tilfredsstiller et bestemt sett med betingelser kan være utfordrende, men en god måte å starte på er å se etter alt som tilfredsstiller disse betingelsene og se hva du kan lære underveis. For eksempel er et enkelt svar å bare rotere nålen 180 grader rundt endepunktet, og deretter skyve den opp igjen. Dette returnerer nålen til sin opprinnelige posisjon, men den peker nå i motsatt retning, slik Kakeyas nåleproblem krever.

Området som kreves for svingen er en halvsirkel med radius 1, som har et areal på $latex A = frac{1}{2} pi r^2 = frac{1}{2} pi (1)^2 = frac{ 1}{2} pi = frac{pi}{2}$. Så vi har funnet en region som fungerer.

Vi kan gjøre det bedre ved å dra nytte av den magiske matematiske nålens evne til å rotere rundt et hvilket som helst punkt. I stedet for å rotere den om endepunktet, la oss rotere den om midtpunktet.

Du kan kalle dette Kakeyas kompass: Nålen vår begynner å peke nordover, men etter rotasjon er den på samme sted, men peker sørover. Dette området er en sirkel med radius $latex frac{1}{2}$, så området er $latex A=pi r^2 = pi (frac{1}{2})^2 = pi frac{1}{ 4} =frac{pi}{4}$. Dette er halve arealet av vår første region, så vi gjør fremskritt.

Hvor videre? Vi kan hente inspirasjon fra dilemmaet vårt med førerløs bil og vurdere å bruke noe som en trepunktssving for nålen. Dette fungerer faktisk ganske bra.

Regionen som feies ut av nålen ved hjelp av denne teknikken kalles en deltoideus, og den tilfredsstiller også Kakeyas krav. Beregning av arealet krever mer enn den elementære geometrien vi diskuterer her (kunnskap om parametriske kurver hjelper), men det viser seg at arealet til denne bestemte deltoideus – den som sveipes ut av et linjestykke med lengde 1 – er nøyaktig $latex frac{pi}{8}$. Nå har vi en enda mindre region der vi kan snu Kakeyas nål rundt, og du kan bli tilgitt for å tro at dette er det beste vi kan gjøre. Kakeya selv trodde det kunne være det.

Men dette nåleproblemet tok en stor vending da den russiske matematikeren Abram Besicovitch oppdaget at du kan gjøre det uendelig mye bedre. Han kom opp med en prosedyre for å fjerne unødvendige deler av regionen til den ble så liten som han ønsket.

Prosessen er teknisk og komplisert, men én strategi basert på Besicovitchs idé er avhengig av to enkle ideer. Tenk først på den rette trekanten nedenfor, med en høyde på 1 og en base på 2.

For øyeblikket kommer vi til å glemme å snu nålen helt rundt og bare fokusere på ett enkelt faktum: Hvis vi plasserer en nål med lengde 1 i det øverste toppunktet, er trekanten stor nok til å la nålen rotere hele 90 grader fra den ene siden til den andre.

Siden arealet av trekanten er $latex A=frac{1}{2}bh$, har denne trekanten arealet $latex A=frac{1}{2} ganger 2 ganger 1 = 1$.

Nå, her er den første viktige ideen: Vi kan redusere arealet av regionen samtidig som vi bevarer 90-graders rotasjonen. Strategien er enkel: Vi kutter trekanten på midten, og skyver deretter de to halvdelene sammen.

Arealet til denne nye figuren må være mindre enn originalen fordi deler av trekanten nå overlapper hverandre. Faktisk er det enkelt å beregne arealet av figuren: Det er bare tre fjerdedeler av kvadratet på side 1, så arealet er $latex A = frac{3}{4}$, som er mindre enn arealet av trekant vi startet med.

Og vi kan fortsatt peke nålen i alle de samme retningene som før. Det er bare ett problem: Den opprinnelige vinkelen er delt i to deler, så disse retningene er nå delt inn i to separate områder.

Hvis nålen er på venstre side av den nye regionen, kan vi rotere den 45 grader mellom sør og sørøst, og hvis den er til høyre kan vi rotere den 45 grader mellom sør og sørvest, men siden de to delene er atskilt , det virker ikke som om vi kan rotere den hele 90 grader slik vi kunne før.

Det er her den andre viktige ideen kommer inn. Det er en snedig måte å få nålen fra den ene siden til den andre som ikke krever mye areal. I sjakk vet du kanskje at ridderen beveger seg i en L-form. Vel, nålen vår kommer til å bevege seg i en N-form.

Her er hvordan det gjøres. Først glir nålen opp på den ene siden av N. Deretter roterer den for å peke langs diagonalen og glir ned. Så roterer den igjen og avslutter turen ved å gli opp på den andre siden av N.

Til å begynne med ser kanskje ikke dette N-formede trekket så mye ut, men det gjør noe veldig nyttig. Det lar nålen "hoppe" fra en parallell linje til en annen, noe som vil hjelpe oss å få nålen vår fra en region til en annen. Enda viktigere, det gjør det uten å kreve mye areal. Faktisk kan du få det til å kreve så lite areal du vil. Her er hvorfor.

Husk at nålen vår har null bredde. Så enhver linje som nålen beveger seg langs, fremover eller bakover, vil ha null areal. Dette betyr at området som kreves for å flytte nålen opp, ned eller diagonalt langs N-formen, vil bestå av stykker med null areal.

Det etterlater bare rotasjonene i hjørnene av N-formen.

Disse bevegelsene krever areal. Du kan se en liten sektor av en sirkel i hvert hjørne. Men her er den lure delen: Du kan gjøre disse områdene mindre ved å forlenge N.

Formelen for arealet av en sektor av en sirkel er $latex A = frac{theta}{360} pi r^2$, der $latex theta$ er målet på sektorens vinkel i grader. Uansett hvor høy N er, vil radiusen til sektoren alltid være 1: Det er lengden på nålen. Men etter hvert som N blir høyere, krymper vinkelen, noe som vil redusere arealet av sektoren. Dermed kan du gjøre tilleggsarealet så lite du vil ved å strekke ut N så mye du trenger.

Husk at vi klarte å redusere arealet av vårt trekantede område ved å dele det i to og få brikkene til å overlappe hverandre. Problemet var at dette delte 90-gradersvinkelen i to separate deler, og hindret oss i å rotere nålen hele 90 grader. Nå kan vi løse det problemet ved å feste på en passende N-form for å sikre at nålen har en vei fra den ene siden til den andre.

I denne oppdaterte regionen kan nålen fortsatt rotere hele 90 grader som før, det skjer akkurat nå i to trinn. Først snur nålen 45 grader og stiller seg på linje med den vertikale kanten til venstre. Deretter beveger den seg langs N-formen for å komme til den andre siden. Når den først er der, er det gratis å snu de andre 45 grader.

Dette flytter nålen 90 grader, og for å holde den snu, legger du bare til roterte kopier av området.

Med tillegg av de riktige N-formene kan nålen hoppe fra den ene trekantede halvøyen til den neste, og snu seg litt for bit til den kommer hele veien rundt, akkurat som en bil som utfører en trepunktssving.

Det er mer djevelsk matematikk i detaljene, men disse to ideene – at vi kontinuerlig kan redusere arealet av den opprinnelige regionen ved å skjære den opp og flytte den rundt samtidig som vi sikrer at vi kan komme oss fra del til del ved å bruke de vilkårlig små N-formene – hjelper oss flytt nålen i et stadig krympende område som til slutt kan bli så lite du vil.

En mer standard tilnærming til å bygge denne typen region begynner med likesidede trekanter og bruker "Perron-trær", som er smarte måter å kutte trekanter opp og strekke og skyve bitene sammen igjen. Resultatet er ganske imponerende.

Nylig har matematikere gjort fremgang på nye varianter av dette gamle problemet, satt i høyere dimensjoner og med forskjellige forestillinger om størrelse. Vi vil sannsynligvis aldri se en AI-drevet bil som sporer ut en Kakeya-nålssving, men vi kan fortsatt sette pris på skjønnheten og enkelheten i dens nesten ingenting.

Øvelser

1. Hva er arealet av den minste likesidede trekanten som fungerer som et Kakeya-nålesett?

2. Du kan gjøre det litt bedre enn den likesidede trekanten i øvelse 1 ved å bruke en «Reuleaux-trekant», et område som er dannet av tre overlappende sirkulære sektorer. Hva er arealet av den minste Reuleaux-trekanten som fungerer?