I det tredje århundre fvt, Archimedes poserte en gåte om å gjete storfe som, hevdet han, bare en virkelig klok person kunne løse. Problemet hans kokte til slutt ned til en ligning som involverer forskjellen mellom to kvadratiske ledd, som kan skrives som x2 - dy2 = 1. Her, d er et heltall — et positivt eller negativt tellende tall — og Archimedes lette etter løsninger der begge x og y er også heltall.
Denne klassen av ligninger, kalt Pell-ligningene, har fascinert matematikere gjennom årtusener siden.
Noen århundrer etter Arkimedes ga den indiske matematikeren Brahmagupta, og senere matematikeren Bhāskara II, algoritmer for å finne heltallsløsninger på disse ligningene. På midten av 1600-tallet oppdaget den franske matematikeren Pierre de Fermat (som ikke var klar over det arbeidet) det i noen tilfeller, selv når d ble tildelt en relativt liten verdi, minst mulig heltallsløsninger for x og y kan være massiv. Da han sendte en rekke utfordringsoppgaver til rivaliserende matematikere, inkluderte de ligningen x2 - 61y2 = 1, hvis minste løsninger har ni eller 10 sifre. (Når det gjelder Arkimedes, ba hans gåte i hovedsak om heltallsløsninger til ligningen x2 - 4,729,494y2 = 1. "For å skrive ut den minste løsningen, tar det 50 sider," sa Peter Koymans, en matematiker ved University of Michigan. "På en måte er det et gigantisk troll av Archimedes.")
Men løsningene på Pell-ligningene kan gjøre mye mer. Si for eksempel at du vil tilnærme $latex sqrt{2}$, et irrasjonelt tall, som et forhold mellom heltall. Det viser seg at å løse Pell-ligningen x2 - 2y2 = 1 kan hjelpe deg med det: $latex sqrt{2}$ (eller, mer generelt, $latex sqrt{d}$) kan tilnærmes godt ved å omskrive løsningen som en brøkdel av skjemaet x/y.
Kanskje enda mer spennende, disse løsningene forteller deg også noe om bestemte tallsystemer, som matematikere kaller ringer. I et slikt tallsystem kan matematikere sette $latex sqrt{2}$ sammen med heltallene. Ringer har visse egenskaper, og matematikere ønsker å forstå disse egenskapene. Pell-ligningen, viser det seg, kan hjelpe dem å gjøre det.
Og så "mange veldig kjente matematikere - nesten alle matematikere i en periode - studerte faktisk denne ligningen på grunn av hvor enkel den er," sa Mark Shusterman, en matematiker ved Harvard University. Disse matematikerne inkluderte Fermat, Euler, Lagrange og Dirichlet. (John Pell, ikke så mye; ligningen ble feilaktig oppkalt etter ham.)
Nå Koymans og Carlo Pagano, en matematiker ved Concordia University i Montreal, har bevist en tiår gammel formodning relatert til Pell-ligningen, en som kvantifiserer hvor ofte en viss form av ligningen har heltallsløsninger. For å gjøre det, importerte de ideer fra et annet felt - gruppeteori - samtidig som de fikk en bedre forståelse av et sentralt, men mystisk studieobjekt i det feltet. "De brukte virkelig dype og vakre ideer," sa Andrew Granville, en matematiker ved University of Montreal. "De klarte det virkelig."
Ødelagt aritmetikk
I de tidlige 1990ene, Peter Stevenhagen, en matematiker ved Leiden University i Nederland, ble inspirert av noen av sammenhengene han så mellom Pell-ligningene og gruppeteorien for å lage en formodning om hvor ofte disse ligningene har heltallsløsninger. Men "Jeg forventet ikke at det skulle bli bevist med det første," sa han - eller til og med i løpet av livet. Tilgjengelige teknikker virket ikke sterke nok til å angripe problemet.
Hans formodning avhenger av et spesielt trekk ved ringene. I ringen av tall der for eksempel $latex sqrt{-5}$ er lagt til heltallene (matematikere jobber ofte med "imaginære" tall som $latex sqrt{-5}$), er det to forskjellige måter å dele opp et tall i dets primfaktorer. Tallet 6, for eksempel, kan skrives ikke bare som 2 × 3, men også som (1 + $latex sqrt{-5}$) × (1 – $latex sqrt{-5}$). Som et resultat, i denne ringen, brytes unik primfaktorisering - en sentral grunnsetning i aritmetikk, en praktisk talt tatt for gitt i de normale heltallene. I hvilken grad dette skjer er kodet i et objekt knyttet til den ringen, kalt en klassegruppe.
En måte matematikere prøver å få dypere innsikt i et tallsystem de er interessert i – for eksempel $latex sqrt{2}$ tilstøtende heltallene – er å beregne og studere klassegruppen. Likevel er det nesten uoverkommelig vanskelig å fastsette generelle regler for hvordan klassegrupper oppfører seg på tvers av alle disse forskjellige tallsystemene.
På 1980-tallet, matematikerne Henri Cohen og Hendrik Lenstra legge frem et bredt sett av formodninger om hvordan disse reglene bør se ut. Disse "Cohen-Lenstra-heuristikkene" kan fortelle deg mye om klassegrupper, som igjen bør avsløre egenskapene til deres underliggende tallsystemer.
Det var bare ett problem. Selv om mange beregninger ser ut til å støtte Cohen-Lenstra-heuristikkene, er de fortsatt antagelser, ikke bevis. "Når det gjelder teoremer, visste vi inntil nylig nesten ingenting," sa Alex Bartel, en matematiker ved University of Glasgow.
Interessant nok er en klassegruppes typiske oppførsel uløselig sammenvevd med oppførselen til Pell-ligninger. Å forstå det ene problemet hjelper til med å forstå det andre - så mye at Stevenhagens formodning "også har vært et testproblem for hvilken fremgang som er gjort med Cohen-Lenstra-heuristikken," sa Pagano.
Det nye arbeidet involverer den negative Pell-ligningen, hvor x2 - dy2 settes til lik −1 i stedet for 1. I motsetning til den opprinnelige Pell-ligningen, som alltid har et uendelig antall heltallsløsninger for evt. d, ikke alle verdier av d i den negative Pell-ligningen gi en likning som kan løses. Ta x2 - 3y2 = −1: Uansett hvor langt langs tallinjen du ser, vil du aldri finne en løsning, selv om x2 - 3y2 = 1 har uendelig mange løsninger.
Faktisk er det mange verdier av d som den negative Pell-ligningen ikke kan løses for: Basert på kjente regler om hvordan visse tall forholder seg til hverandre, d kan ikke være et multiplum av 3, 7, 11, 15 og så videre.
Men selv når du unngår disse verdiene av d og bare vurdere de resterende negative Pell-ligningene, er det fortsatt ikke alltid mulig å finne løsninger. I det mindre settet med mulige verdier av d, hvilken andel fungerer egentlig?
I 1993 foreslo Stevenhagen en formel som ga et presist svar på det spørsmålet. Av verdiene for d som kan fungere (det vil si verdier som ikke er multipler av 3, 7 osv.), spådde han at omtrent 58 % ville gi opphav til negative Pell-ligninger med heltallsløsninger.
Stevenhagens gjetning var spesielt motivert av koblingen mellom den negative Pell-ligningen og Cohen-Lenstra-heuristikken på klassegrupper - en kobling som Koymans og Pagano utnyttet da de, 30 år senere, endelig beviste at han hadde rett.
En bedre kanon
I 2010 var Koymans og Pagano fortsatt studenter - ennå ikke kjent med Stevenhagens formodning - da en artikkel kom ut som gjorde noen av de første fremskritt med problemet på flere år.
I det arbeidet, som var publisert i Annaler for matematikk, matematikerne Étienne Fouvry og Jürgen Klüners viste at andelen verdier av d som ville fungere for den negative Pell-ligningen falt innenfor et visst område. For å gjøre det fikk de kontroll på oppførselen til enkelte elementer i de aktuelle klassegruppene. Men de vil trenge en forståelse av mange flere elementer for å finne ut av Stevenhagens mye mer presise estimat på 58 %. Dessverre forble disse elementene uutgrunnelige: Nye metoder var fortsatt nødvendig for å forstå strukturen deres. Videre fremgang virket umulig.
Så, i 2017, da Koymans og Pagano begge gikk på forskerskole sammen ved Leiden University, et papir dukket opp som forandret alt. "Da jeg så dette, skjønte jeg umiddelbart at det var et veldig, veldig imponerende resultat," sa Koymans. "Det var som, OK, nå har jeg en kanon som jeg kan skyte på dette problemet og håper at jeg kan gjøre fremskritt." (På den tiden var Stevenhagen og Lenstra også professorer i Leiden, noe som bidro til å vekke Koymans og Paganos interesse for problemet.)
Oppgaven var av en doktorgradsstudent ved Harvard, Alexander Smith (som nå er en Clay-stipendiat ved Stanford). Koymans og Pagano var ikke alene om å hylle arbeidet som et gjennombrudd. "Ideene var fantastiske," sa Granville. "Revolusjonært."
Smith hadde prøvd å forstå egenskapene til løsninger på ligninger kalt elliptiske kurver. Ved å gjøre det utarbeidet han en spesifikk del av Cohen-Lenstra-heuristikken. Ikke bare var det det første store skrittet i å sementere disse bredere formodningene som matematiske fakta, men det involverte nettopp den delen av klassegruppen som Koymans og Pagano trengte å forstå i arbeidet med Stevenhagens formodning. (Dette stykket inkluderte elementene som Fouvry og Klüners hadde studert i deres delresultat, men det gikk også langt utover dem.)
Koymans og Pagano kunne imidlertid ikke bare bruke Smiths metoder med en gang. (Hvis det hadde vært mulig, ville nok Smith selv ha gjort det.) Smiths bevis handlet om klassegrupper knyttet til de riktige tallringene (de der $latex sqrt{d}$ blir forbundet med heltallene) - men han vurderte alle heltallsverdier av d. Koymans og Pagano, på den annen side, tenkte bare på en liten delmengde av disse verdiene til d. Som et resultat måtte de vurdere den gjennomsnittlige oppførselen blant en mye mindre del av klassegruppene.
Disse klassegruppene utgjorde i hovedsak 0 % av Smiths klassegrupper – noe som betyr at Smith kunne kaste dem når han skrev beviset sitt. De bidro ikke til den gjennomsnittlige oppførselen han studerte i det hele tatt.
Og da Koymans og Pagano prøvde å bruke teknikkene hans på bare klassegruppene de brydde seg om, brøt metodene sammen umiddelbart. Paret må gjøre betydelige endringer for å få dem til å fungere. Dessuten karakteriserte de ikke bare én klassegruppe, men snarere avviket som kan eksistere mellom to forskjellige klassegrupper (det ville være en viktig del av beviset deres på Stevenhagens formodning) - som også ville kreve noen forskjellige verktøy.
Så Koymans og Pagano begynte å gre mer nøye gjennom Smiths papir i håp om å finne nøyaktig hvor ting begynte å gå av sporet. Det var vanskelig, møysommelig arbeid, ikke bare fordi materialet var så komplisert, men fordi Smith fortsatt finpusset fortrykket sitt på den tiden, og gjorde nødvendige rettelser og avklaringer. (Han la ut ny versjon av papiret hans online forrige måned.)
I et helt år lærte Koymans og Pagano beviset sammen, linje for linje. De møttes hver dag, diskuterte en gitt del over lunsj før de tilbrakte noen timer ved en tavle, og hjalp hverandre med å jobbe gjennom de relevante ideene. Hvis en av dem gjorde fremgang på egen hånd, sendte han en tekstmelding til den andre for å oppdatere ham. Shusterman husker at han noen ganger så dem jobbe langt utover natten. Til tross for (eller kanskje på grunn av) utfordringene det innebar, "var det veldig gøy å gjøre sammen," sa Koymans.
De identifiserte til slutt hvor de måtte prøve en ny tilnærming. Til å begynne med var de bare i stand til å gjøre beskjedne forbedringer. Sammen med matematikerne Stephanie Chan og Djordjo Milovic, fant de ut hvordan de skulle få tak i noen tilleggselementer i klassegruppen, noe som gjorde at de fikk bedre grenser enn Fouvry og Klüners hadde. Men betydelige deler av klassegruppens struktur unngikk dem likevel.
Et stort problem de måtte takle – noe som Smiths metode ikke lenger fungerte for i denne nye konteksten – var å sikre at de virkelig analyserte «gjennomsnittlig» atferd for klassegrupper som verdiene til d ble større og større. For å etablere riktig grad av tilfeldighet, beviste Koymans og Pagano et komplisert sett med regler, kalt gjensidighetslover. Til slutt tillot det dem å få den kontrollen de trengte over forskjellen mellom de to klassegruppene.
Dette fremskrittet, kombinert med andre, gjorde at de endelig kunne fullføre beviset på Stevenhagens formodning tidligere i år. "Det er utrolig at de klarte å løse det fullstendig," sa Chan. "Tidligere hadde vi alle disse problemene."
Det de gjorde "overrasket meg," sa Smith. "Koymans og Pagano har liksom beholdt mitt gamle språk og bare brukt det til å presse lenger og lenger i en retning jeg knapt forstår lenger."
Det skarpeste verktøyet
Fra han introduserte det for fem år siden, ble Smiths bevis på en del av Cohen-Lenstra-heuristikken sett på som en måte å åpne dører for en rekke andre problemer, inkludert spørsmål om elliptiske kurver og andre strukturer av interesse. (I papiret lister Koymans og Pagano opp et dusin formodninger de håper å bruke metodene sine på. Mange har ingenting å gjøre med den negative Pell-ligningen eller til og med klassegrupper.)
"Mange objekter har strukturer som ikke er ulik denne typen algebraiske grupper," sa Granville. Men mange av de samme veisperringene som Koymans og Pagano måtte konfrontere, er også til stede i disse andre sammenhengene. Det nye arbeidet med den negative Pell-ligningen har bidratt til å demontere disse veisperringene. "Alexander Smith har fortalt oss hvordan vi bygger disse sagene og hammerne, men nå må vi gjøre dem så skarpe som mulig og så hardtslående som mulig og så tilpasningsdyktige som mulig til forskjellige situasjoner," sa Bartel. "En av tingene denne avisen gjør er å gå mye i den retningen."
Alt dette arbeidet har i mellomtiden forbedret matematikeres forståelse av bare én fasett av klassegrupper. Resten av Cohen-Lenstra-formodningene forblir utenfor rekkevidde, i det minste for øyeblikket. Men Koymans og Paganos papir "er en indikasjon på at teknikkene vi har for å angripe problemer i Cohen-Lenstra vokser opp," sa Smith.
Lenstra selv var tilsvarende optimistisk. Det er "absolutt spektakulært," skrev han i en e-post. "Det åpner virkelig opp et nytt kapittel i en gren av tallteori som er like gammel som tallteorien selv."
