Quantum Gauge Networks: A New Type of Tensor Network

Quantum Gauge Networks: A New Type of Tensor Network

Tidsstempel: 14. september 2023 11

Kevin Slagle

Institutt for elektro- og datateknikk, Rice University, Houston, Texas 77005 USA
Institutt for fysikk, California Institute of Technology, Pasadena, California 91125, USA
Institute for Quantum Information and Matter og Walter Burke Institute for Theoretical Physics, California Institute of Technology, Pasadena, California 91125, USA

Finn dette papiret interessant eller vil diskutere? Scite eller legg igjen en kommentar på SciRate.

Abstrakt

Selv om tensornettverk er kraftige verktøy for å simulere lavdimensjonal kvantefysikk, er tensornettverksalgoritmer svært beregningsmessig kostbare i høyere romlige dimensjoner. Vi introduserer $textit{quantum gauge networks}$: en annen type tensornettverks-ansatz der beregningskostnadene for simuleringer ikke eksplisitt øker for større romlige dimensjoner. Vi henter inspirasjon fra målebildet av kvantedynamikk, som består av en lokal bølgefunksjon for hver del av rommet, med nærliggende flekker knyttet til enhetlige forbindelser. Et kvantemålernettverk (QGN) har en lignende struktur, bortsett fra at Hilbert-romdimensjonene til de lokale bølgefunksjonene og forbindelsene er avkortet. Vi beskriver hvordan en QGN kan oppnås fra en generisk bølgefunksjon eller matriseprodukttilstand (MPS). Alle $2k$-punkts korrelasjonsfunksjoner for enhver bølgefunksjon for $M$ mange operatorer kan kodes nøyaktig av en QGN med bindingsdimensjon $O(M^k)$. Til sammenligning, for bare $k=1$, kreves en eksponentielt større bindingsdimensjon på $2^{M/6}$ generisk for en MPS av qubits. Vi tilbyr en enkel QGN-algoritme for omtrentlige simuleringer av kvantedynamikk i enhver romlig dimensjon. Den omtrentlige dynamikken kan oppnå nøyaktig energibesparelse for tidsuavhengige Hamiltonianere, og romlige symmetrier kan også opprettholdes nøyaktig. Vi benchmarker algoritmen ved å simulere kvanteslukkingen til fermioniske Hamiltonianere i opptil tre romlige dimensjoner.

Quantum Gauge Networks: A New Kind of Tensor Network PlatoBlockchain Data Intelligence. Vertical Search. Ai.

Utvalgt bilde: I målebildet er forskjellige romflater (ovaler i figuren) assosiert med sine egne Hilbert-rom og bølgefunksjoner, som er relatert av tidsutviklende enhetstransformasjoner. Hvert av disse Hilbert-rommene har den vanlige dimensjonen $2^n$ for et system med $n$ qubits. Kvantemålernettverk drar nytte av disse multiple Hilbert-rommene ved å effektivt avkorte hvert Hilbert-rom til et mindre delrom av tilstander som er mest relevant for den lokale fysikken til den tilknyttede lappen ved å bruke et lineært avkortningskart.

[Innebygd innhold]

Populært sammendrag

Simulering av mange-partikkel- eller mange-qubit-kvantesystemer er beregningsmessig krevende på grunn av den eksponentielle veksten av Hilbert-romdimensjonen med antall partikler eller qubits. En klasse av bølgefunksjonsansatz kjent som "tensornettverk" kan effektivt parameterisere disse enorme Hilbert-rommene ved å bruke en sammentrekning av et rutenett av tensorer. Mens de har vist bemerkelsesverdig suksess i én romlig dimensjon (via for eksempel "DMRG"-algoritmen), er tensornettverksalgoritmer mindre effektive og mer kompliserte i to eller flere romlige dimensjoner.

Arbeidet vårt setter i gang studiet av en ny bølgefunksjon som kalles "kvantemålernettverk." Vi viser at kvantemålernettverk er relatert til tensornettverk i én romlig dimensjon, men er algoritmisk enklere og potensielt mer effektive i to eller flere romlige dimensjoner. Kvantemålernettverk bruker et nytt bilde av kvantemekanikk, kalt "målerbildet", som er kort beskrevet i det omtalte bildet. Vi tilbyr en enkel algoritme for omtrentlig simulering av tidsutviklingen til en bølgefunksjon ved bruk av et kvantemålernettverk. Vi benchmarker algoritmen på et system av fermioner i opptil tre romlige dimensjoner. Simulering av det tredimensjonale systemet ved hjelp av tensornettverk vil være ekstremt utfordrende. Det er imidlertid behov for ytterligere forskning for å bedre forstå kvantemålernettverksteori og for å utvikle flere algoritmer, for eksempel en grunntilstandsoptimaliseringsalgoritme.

► BibTeX-data

► Referanser

[1] Kevin Slagle. "The Gauge Picture of Quantum Dynamics" (2022). arXiv:2210.09314.
arxiv: 2210.09314

[2] Román Orús. "Tensornettverk for komplekse kvantesystemer". Nature Reviews Physics 1, 538–550 (2019). arXiv:1812.04011.
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s42254-019-0086-7
arxiv: 1812.04011

[3] Román Orús. "En praktisk introduksjon til tensornettverk: Matriseprodukttilstander og projiserte sammenfiltrede partilstander". Annals of Physics 349, 117–158 (2014). arXiv:1306.2164.
https: / / doi.org/ 10.1016 / j.aop.2014.06.013
arxiv: 1306.2164

[4] Garnet Kin-Lic Chan, Anna Keselman, Naoki Nakatani, Zhendong Li og Steven R. White. "Matrix Product Operators, Matrix Product States, and ab initio Density Matrix Renormalization Group Algoritms" (2016). arXiv:1605.02611.
arxiv: 1605.02611

[5] Ignacio Cirac, David Perez-Garcia, Norbert Schuch og Frank Verstraete. "Matrix Product States and Projected Entangled Pair State: Concepts, Symmetries and Theorems" (2020). arXiv:2011.12127.
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.93.045003
arxiv: 2011.12127

[6] Shi-Ju Ran, Emanuele Tirrito, Cheng Peng, Xi Chen, Luca Tagliacozzo, Gang Su og Maciej Lewenstein. "Tensornettverkssammentrekninger" (2020). arXiv:1708.09213.
https:/​/​doi.org/​10.1007/​978-3-030-34489-4
arxiv: 1708.09213

[7] Jacob C. Bridgeman og Christopher T. Chubb. "Håndsvinging og fortolkende dans: et introduksjonskurs om tensornettverk". Journal of Physics A Mathematical General 50, 223001 (2017). arXiv:1603.03039.
https:/​/​doi.org/​10.1088/​1751-8121/​aa6dc3
arxiv: 1603.03039

[8] Michael P. Zaletel og Frank Pollmann. "Isometriske tensornettverkstilstander i to dimensjoner". Phys. Rev. Lett. 124, 037201 (2020). arXiv:1902.05100.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.124.037201
arxiv: 1902.05100

[9] Katharine Hyatt og E. M. Stoudenmire. "DMRG-tilnærming til å optimalisere todimensjonale tensornettverk" (2019). arXiv:1908.08833.
arxiv: 1908.08833

[10] Reza Haghshenas, Matthew J. O'Rourke og Garnet Kin-Lic Chan. "Konvertering av projiserte sammenfiltrede partilstander til en kanonisk form". Phys. Rev. B 100, 054404 (2019). arXiv:1903.03843.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevB.100.054404
arxiv: 1903.03843

[11] Maurits S. J. Tepaske og David J. Luitz. "Tredimensjonale isometriske tensornettverk". Physical Review Research 3, 023236 (2021). arXiv:2005.13592.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevResearch.3.023236
arxiv: 2005.13592

[12] G. Vidal. "Klasse av kvantetilstander med mange kropper som kan simuleres effektivt". Phys. Rev. Lett. 101, 110501 (2008). arXiv:quant-ph/​0610099.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.101.110501
arxiv: Quant-ph / 0610099

[13] G. Evenbly og G. Vidal. "Klasse av svært sammenfiltrede tilstander med mange kropper som kan simuleres effektivt". Phys. Rev. Lett. 112, 240502 (2014). arXiv:1210.1895.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.112.240502
arxiv: 1210.1895

[14] G. Evenbly og G. Vidal. "Algorithmer for renormalisering av sammenfiltring". Phys. Rev. B 79, 144108 (2009). arXiv:0707.1454.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevB.79.144108
arxiv: 0707.1454

[15] Arturo Acuaviva, Visu Makam, Harold Nieuwboer, David Pérez-García, Friedrich Sittner, Michael Walter og Freek Witteveen. "Den minimale kanoniske formen til et tensornettverk" (2022). arXiv:2209.14358.
arxiv: 2209.14358

[16] Giovanni Ferrari, Giuseppe Magnifico og Simone Montangero. "Adaptivt vektede tretensornettverk for uordnede kvante-mangekroppssystemer". Phys. Rev. B 105, 214201 (2022). arXiv:2111.12398.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevB.105.214201
arxiv: 2111.12398

[17] Tidsdynamikken til en fri fermion Hamiltonian $hat{H} = sum_{ij} h_{ij} hat{c}_i^dolkhat{c}_j$ kan simuleres nøyaktig ved å beregne de tidsutviklede fylte enkeltfermionbølgefunksjonene $|{phi_alpha(t)rangle} = e^{-iht} |{phi_alpha(0)rangle}$. Bølgefunksjonen $|{Psi}rangle = prod_alpha^text{filled} big(sum_i langle{i|phi_alpha}rangle hat{c}_i^daggerbig) |{0}rangle$ blir aldri eksplisitt beregnet. $prod_alpha^text{filled}$ angir produktet over de fylte enkeltfermionbølgefunksjonene, og $|{0}rangle$ er den tomme tilstanden uten fermioner. Deretter $langle{hat{n}_i(t)}rangle = sum_alpha^text{filled} |langle{i|phi_alpha(t)rangle}|^2$, der $|{i}rangle$ er enkeltfermion bølgefunksjon for en fermion på stedet $i$.

[18] Román Orús. "Framganger innen tensornettverksteori: symmetrier, fermioner, sammenfiltring og holografi". European Physical Journal B 87, 280 (2014). arXiv:1407.6552.
https: / / doi.org/ 10.1140 / epjb / e2014-50502-9
arxiv: 1407.6552

[19] Philippe Corboz og Guifré Vidal. "Fermionisk flerskala forviklingsrenormaliseringsansatz". Phys. Rev. B 80, 165129 (2009). arXiv:0907.3184.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevB.80.165129
arxiv: 0907.3184

[20] Andrew M. Childs, Yuan Su, Minh C. Tran, Nathan Wiebe og Shuchen Zhu. "Teori om travfeil med kommutatorskalering". Phys. Rev. X 11, 011020 (2021). arXiv:1912.08854.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevX.11.011020
arxiv: 1912.08854

[21] Bram Vanhecke, Laurens Vanderstraeten og Frank Verstraete. "Symmetriske klyngeutvidelser med tensornettverk" (2019). arXiv:1912.10512.
https://​/​doi.org/​10.1103/​PhysRevA.103.L020402
arxiv: 1912.10512

[22] Yi-Kai Liu. "Konsistensen av lokale tetthetsmatriser er qma-fullstendig". I Josep Díaz, Klaus Jansen, José D. P. Rolim og Uri Zwick, redaktører, Approximation, Randomization, and Combinatorial Optimization. Algoritmer og teknikker. Side 438–449. Berlin, Heidelberg (2006). Springer Berlin Heidelberg. arXiv:quant-ph/​0604166.
arxiv: Quant-ph / 0604166

[23] Alexander A. Klyachko. "Kvantemarginalt problem og N-representerbarhet". I Journal of Physics Conference Series. Bind 36 av Journal of Physics Conference Series, side 72–86. (2006). arXiv:quant-ph/​0511102.
https:/​/​doi.org/​10.1088/​1742-6596/​36/​1/​014
arxiv: Quant-ph / 0511102

[24] Jianxin Chen, Zhengfeng Ji, Nengkun Yu og Bei Zeng. "Å oppdage konsistens av overlappende kvantemarginaler ved separerbarhet". Phys. Rev. A 93, 032105 (2016). arXiv:1509.06591.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.93.032105
arxiv: 1509.06591

[25] David A. Mazciotti. "Struktur av fermioniske tetthetsmatriser: Fullfør $n$-representabilitetsbetingelser". Phys. Rev. Lett. 108, 263002 (2012). arXiv:1112.5866.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.108.263002
arxiv: 1112.5866

[26] Xiao-Gang Wen. "Kollokvium: Zoo av kvantetopologiske faser av materie". Anmeldelser av Modern Physics 89, 041004 (2017). arXiv:1610.03911.
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.89.041004
arxiv: 1610.03911

[27] Zheng-Cheng Gu, Michael Levin, Brian Swingle og Xiao-Gang Wen. "Tensor-produktrepresentasjoner for string-net kondenserte tilstander". Phys. Rev. B 79, 085118 (2009). arXiv:0809.2821.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevB.79.085118
arxiv: 0809.2821

[28] Oliver Buerschaper, Miguel Aguado og Guifré Vidal. "Eksplisitt tensornettverksrepresentasjon for grunntilstandene til strengnettmodeller". Phys. Rev. B 79, 085119 (2009). arXiv:0809.2393.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevB.79.085119
arxiv: 0809.2393

[29] Dominic J. Williamson, Nick Bultinck og Frank Verstraete. "Symmetri-anriket topologisk orden i tensornettverk: Defekter, måling og anyon-kondensering" (2017). arXiv:1711.07982.
arxiv: 1711.07982

[30] Tomohiro Soejima, Karthik Siva, Nick Bultinck, Shubhayu Chatterjee, Frank Pollmann og Michael P. Zaletel. "Isometrisk tensornettverksrepresentasjon av strengnettvæsker". Phys. Rev. B 101, 085117 (2020). arXiv:1908.07545.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevB.101.085117
arxiv: 1908.07545

[31] Guifré Vidal. "Effektiv simulering av endimensjonale kvante-mangekroppssystemer". Phys. Rev. Lett. 93, 040502 (2004). arXiv:quant-ph/​0310089.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.93.040502
arxiv: Quant-ph / 0310089

[32] Sebastian Paeckel, Thomas Köhler, Andreas Swoboda, Salvatore R. Manmana, Ulrich Schollwöck og Claudius Hubig. "Tidsevolusjonsmetoder for matrise-produkttilstander". Annals of Physics 411, 167998 (2019). arXiv:1901.05824.
https: / / doi.org/ 10.1016 / j.aop.2019.167998
arxiv: 1901.05824

[33] Steven R. White og Adrian E. Feiguin. "Evolusjon i sanntid ved bruk av densitetsmatriserenormaliseringsgruppen". Phys. Rev. Lett. 93, 076401 (2004). arXiv:cond-mat/​0403310.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.93.076401
arxiv: dirigent-matte / 0403310

[34] Jutho Haegeman, Christian Lubich, Ivan Oseledets, Bart Vandereycken og Frank Verstraete. "Forene tidsevolusjon og optimalisering med matriseprodukttilstander". Phys. Rev. B 94, 165116 (2016). arXiv:1408.5056.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevB.94.165116
arxiv: 1408.5056

[35] Eyal Leviatan, Frank Pollmann, Jens H. Bardarson, David A. Huse og Ehud Altman. "Quante termalization dynamics with Matrix-Product States" (2017). arXiv:1702.08894.
arxiv: 1702.08894

[36] Christian B. Mendl. "Tidsutvikling av matriseproduktoperatører med energisparing" (2018). arXiv:1812.11876.
arxiv: 1812.11876

[37] Piotr Czarnik, Jacek Dziarmaga og Philippe Corboz. "Tidsutvikling av en uendelig projisert sammenfiltret partilstand: En effektiv algoritme". Phys. Rev. B 99, 035115 (2019). arXiv:1811.05497.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevB.99.035115
arxiv: 1811.05497

[38] Daniel Bauernfeind og Markus Aichhorn. "Tidsavhengig variasjonsprinsipp for tre Tensor Networks". SciPost Physics 8, 024 (2020). arXiv:1908.03090.
https: / / doi.org/ 10.21468 / SciPostPhys.8.2.024
arxiv: 1908.03090

[39] Christopher David White, Michael Zaletel, Roger S. K. Mong og Gil Refael. "Kvantedynamikk til termaliserende systemer". Phys. Rev. B 97, 035127 (2018). arXiv:1707.01506.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevB.97.035127
arxiv: 1707.01506

[40] Tibor Rakovszky, C. W. von Keyserlingk og Frank Pollmann. "Spredningsassistert operatørutviklingsmetode for å fange hydrodynamisk transport". Phys. Rev. B 105, 075131 (2022). arXiv:2004.05177.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevB.105.075131
arxiv: 2004.05177

[41] Mingru Yang og Steven R. White. "Tidsavhengig variasjonsprinsipp med tilhørende Krylov-underrom". Phys. Rev. B 102, 094315 (2020). arXiv:2005.06104.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevB.102.094315
arxiv: 2005.06104

[42] Benedikt Kloss, David Reichman og Yevgeny Bar Lev. "Å studere dynamikk i todimensjonale kvantegitter ved bruk av tretensornettverkstilstander". SciPost Physics 9, 070 (2020). arXiv:2003.08944.
https: / / doi.org/ 10.21468 / SciPostPhys.9.5.070
arxiv: 2003.08944

[43] Álvaro M. Alhambra og J. Ignacio Cirac. "Lokalt nøyaktige tensornettverk for termiske tilstander og tidsutvikling". PRX Quantum 2, 040331 (2021). arXiv:2106.00710.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PRXQuantum.2.040331
arxiv: 2106.00710

[44] Sheng-Hsuan Lin, Michael Zaletel og Frank Pollmann. "Effektiv simulering av dynamikk i todimensjonale kvantespinnsystemer med isometriske tensornettverk" (2021). arXiv:2112.08394.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevB.106.245102
arxiv: 2112.08394

[45] Markus Schmitt og Markus Heyl. "Quantum mangekroppsdynamikk i to dimensjoner med kunstige nevrale nettverk". Phys. Rev. Lett. 125, 100503 (2020). arXiv:1912.08828.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.125.100503
arxiv: 1912.08828

[46] Irene López Gutiérrez og Christian B. Mendl. "Evolusjon i sanntid med kvantetilstander i nevrale nettverk". Quantum 6, 627 (2022). arXiv:1912.08831.
https:/​/​doi.org/​10.22331/​q-2022-01-20-627
arxiv: 1912.08831

[47] Sheng-Hsuan Lin og Frank Pollmann. "Skalering av kvantetilstander i nevrale nettverk for tidsevolusjon". Physica Status Solidi B Grunnforskning 259, 2100172 (2022). arXiv:2104.10696.
https://​/​doi.org/​10.1002/​pssb.202100172
arxiv: 2104.10696

[48] Dariia Yehorova og Joshua S. Kretchmer. "En multi-fragment sanntidsutvidelse av prosjektert tetthetsmatriseinnbyggingsteori: Ikke-likevektselektrondynamikk i utvidede systemer" (2022). arXiv:2209.06368.
https: / / doi.org/ 10.1063 / 5.0146973
arxiv: 2209.06368

[49] G. Münster og M. Walzl. "Lattice Gauge Theory - A short Primer" (2000). arXiv:hep-lat/​0012005.
arXiv:hep-lat/0012005

[50] John B. Kogut. "En introduksjon til gittermåleteori og spinnsystemer". Rev. Mod. Phys. 51, 659-713 (1979).
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.51.659

[51] Kevin Slagle og John Preskill. "Emergent Quantum Mechanics at the Boundary of a Local Classical Lattice Model" (2022). arXiv:2207.09465.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.108.012217
arxiv: 2207.09465

[52] Scott Aaronson. "Multilineære formler og skepsis til kvanteberegning". I Proceedings of the Trettisexth Annual ACM Symposium on Theory of Computing. Side 118–127. STOC ’04New York, NY, USA (2004). Foreningen for datamaskiner. arXiv:quant-ph/​0311039.
https: / / doi.org/ 10.1145 / 1007352.1007378
arxiv: Quant-ph / 0311039

[53] Gerard 't Hooft. "Deterministisk kvantemekanikk: de matematiske ligningene" (2020). arXiv:2005.06374.
arxiv: 2005.06374

[54] Stephen L Adler. "Kvanteteori som et fremvoksende fenomen: grunnlag og fenomenologi". Journal of Physics: Conference Series 361, 012002 (2012).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​1742-6596/​361/​1/​012002

[55] Vitaly Vanchurin. "Entropisk mekanikk: Mot en stokastisk beskrivelse av kvantemekanikk". Fundamenter for fysikk 50, 40–53 (2019). arXiv:1901.07369.
https:/​/​doi.org/​10.1007/​s10701-019-00315-6
arxiv: 1901.07369

[56] Edward Nelson. "Gjennomgang av stokastisk mekanikk". Journal of Physics: Conference Series 361, 012011 (2012).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​1742-6596/​361/​1/​012011

[57] Michael J.W. Hall, Dirk-André Deckert og Howard M. Wiseman. "Kvantefenomener modellert av interaksjoner mellom mange klassiske verdener". Fysisk gjennomgang X 4, 041013 (2014). arXiv:1402.6144.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevX.4.041013
arxiv: 1402.6144

[58] Guifré Vidal. "Effektiv klassisk simulering av litt sammenfiltrede kvanteberegninger". Phys. Rev. Lett. 91, 147902 (2003). arXiv:quant-ph/​0301063.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.91.147902
arxiv: Quant-ph / 0301063

[59] G. Vidal. "Klassisk simulering av kvantegittersystemer i uendelig størrelse i én romlig dimensjon". Phys. Rev. Lett. 98, 070201 (2007). arXiv:cond-mat/​0605597.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.98.070201
arxiv: dirigent-matte / 0605597

[60] Stephan Ramon Garcia, Matthew Okubo Patterson og William T. Ross. "Delvis isometriske matriser: en kort og selektiv undersøkelse" (2019). arXiv:1903.11648.
arxiv: 1903.11648

[61] C. J. Hamer. "Endelig størrelse skalering i den tverrgående Ising-modellen på et firkantet gitter". Journal of Physics A Mathematical General 33, 6683–6698 (2000). arXiv:cond-mat/​0007063.
https:/​/​doi.org/​10.1088/​0305-4470/​33/​38/​303
arxiv: dirigent-matte / 0007063

Sitert av

[1] Sayak Guha Roy og Kevin Slagle, "Interpolating Between the Gauge and Schrödinger Pictures of Quantum Dynamics", arxiv: 2307.02369, (2023).

[2] Kevin Slagle, "The Gauge Picture of Quantum Dynamics", arxiv: 2210.09314, (2022).

Sitatene ovenfor er fra SAO / NASA ADS (sist oppdatert vellykket 2023-09-15 05:31:41). Listen kan være ufullstendig fordi ikke alle utgivere gir passende og fullstendige sitasjonsdata.

On Crossrefs siterte tjeneste ingen data om sitering av verk ble funnet (siste forsøk 2023-09-15 05:31:39).

Denne artikkelen er utgitt i Quantum under Creative Commons Attribution 4.0 International (CC BY 4.0) tillatelse. Opphavsrett forblir hos de opprinnelige rettighetshaverne som forfatterne eller institusjonene deres.

Tidstempel:

Mer fra Kvantejournal