Da Daniel Larsen gikk på ungdomsskolen begynte han å designe kryssord. Han måtte legge hobbyen på toppen av sine andre interesser: sjakk, programmering, piano, fiolin. Han kvalifiserte seg to ganger til Scripps National Spelling Bee nær Washington, D.C., etter å ha vunnet sin regionale konkurranse. "Han blir fokusert på noe, og det er bare bang, bang, bang, til han lykkes," sa Larsens mor, Ayelet Lindenstrauss. Hans første kryssord ble avvist av store aviser, men han holdt på og brøt seg til slutt inn. Til dags dato har han har rekorden for minstemann å publisere et kryssord i The New York Times, i en alder av 13. "Han er veldig pågående," sa Lindenstrauss.
Likevel føltes Larsens siste besettelse annerledes, "lengre og mer intens enn de fleste av hans andre prosjekter," sa hun. I mer enn et og et halvt år kunne Larsen ikke slutte å tenke på et visst matematisk problem.
Det hadde røtter i et bredere spørsmål, et som matematikeren Carl Friedrich Gauss anså for å være blant de viktigste i matematikk: hvordan skille et primtall (et tall som bare er delelig med 1 og seg selv) fra et sammensatt tall. I hundrevis av år har matematikere søkt etter en effektiv måte å gjøre det på. Problemet har også blitt aktuelt i sammenheng med moderne kryptografi, ettersom noen av dagens mest brukte kryptosystemer innebærer å regne med enorme primtall.
For over et århundre siden, i denne søken etter en rask, kraftig primalitetstest, snublet matematikere over en gruppe bråkmakere – tall som lurer tester til å tro at de er førsteklasses, selv om de ikke er det. Disse pseudoprimene, kjent som Carmichael-tall, har vært spesielt vanskelige å forstå. Det var for eksempel først på midten av 1990-tallet at matematikere viste at det er uendelig mange av dem. Å kunne si noe mer om hvordan de er fordelt langs talllinjen har vært en enda større utfordring.
Så fulgte Larsen med et nytt bevis om nettopp det, en inspirert av nyere epoke arbeid i et annet område innen tallteori. På den tiden var han bare 17.
Gnisten
Larsen vokste opp i Bloomington, Indiana, og ble alltid tiltrukket av matematikk. Foreldrene hans, begge matematikere, introduserte ham og hans eldre søster for emnet da de var unge. (Hun tar nå en doktorgrad i matematikk.) Da Larsen var 3 år gammel, husker Lindenstrauss, begynte han å stille henne filosofiske spørsmål om uendelighetens natur. "Jeg tenkte, denne ungen har et matematisk sinn," sa Lindenstrauss, professor ved Indiana University.
Så for noen år siden - rundt den tiden han var fordypet i stave- og kryssordprosjektene sine - kom han over en dokumentar handle om Yitang Zhang, en ukjent matematiker som reiste seg fra uklarhet i 2013 etter bevise et landemerkeresultat som setter en øvre grense for gapet mellom påfølgende primtall. Noe klikket i Larsen. Han klarte ikke å slutte å tenke på tallteori, og på det relaterte problemet som Zhang og andre matematikere fortsatt håpet å løse: tvillingprimtallene, som sier at det er uendelig mange primtallspar som avviker med bare 2.
Etter Zhangs arbeid, som viste at det er uendelig mange primtallspar som avviker med mindre enn 70 millioner, andre hoppet inn å senke denne grensen ytterligere. Innen måneder, matematikerne James Maynard og Terence tao uavhengig bevist et enda sterkere utsagn om gapene mellom primtal. Det gapet har siden krympet til 246.
Larsen ønsket å forstå noe av matematikken som ligger til grunn for Maynard og Taos arbeid, "men det var ganske umulig for meg," sa han. Papirene deres var altfor kompliserte. Larsen prøvde å lese beslektet arbeid, men fant det også ugjennomtrengelig. Han fortsatte med det og hoppet fra et resultat til et annet, helt til han til slutt, i februar 2021, kom over et papir han fant både vakkert og forståelig. Emnet: Carmichael-tall, de merkelige sammensatte tallene som noen ganger kan utgi seg som primtall.
Alle bortsett fra Prime
På midten av 17-tallet skrev den franske matematikeren Pierre de Fermat et brev til sin venn og fortrolige Frénicle de Bessy, der han uttalte det som senere skulle bli kjent som hans «lille teorem». Hvis N er altså et primtall bN - b er alltid et multiplum av N, uansett hva b er. For eksempel er 7 et primtall, og som et resultat 27 – 2 (som tilsvarer 126) er et multiplum av 7. På samme måte er 37 – 3 er et multiplum av 7, og så videre.
Matematikere så potensialet for en perfekt test av om et gitt tall er primtall eller sammensatt. De visste at hvis N er førsteklasses, bN - b er alltid et multiplum av N. Hva om det motsatte også var sant? Det vil si hvis bN - b er et mangfold av N for alle verdier av b, må N være førsteklasses?
Akk, det viste seg at i svært sjeldne tilfeller, N kan tilfredsstille denne betingelsen og fortsatt være sammensatt. Det minste slike tall er 561: For et hvilket som helst heltall b, b561 - b er alltid et multiplum av 561, selv om 561 ikke er primtall. Tall som disse ble oppkalt etter matematikeren Robert Carmichael, som ofte blir kreditert for å ha publisert det første eksemplet i 1910 (selv om den tsjekkiske matematikeren Václav Šimerka uavhengig oppdaget eksempler i 1885).
Matematikere ønsket å bedre forstå disse tallene som ligner så mye på de mest fundamentale objektene i tallteorien, primtallene. Det viste seg at i 1899 - et tiår før Carmichaels resultat - hadde en annen matematiker, Alwin Korselt, kommet opp med en tilsvarende definisjon. Han hadde rett og slett ikke visst om det var noen tall som passet til regningen.
I følge Korselts kriterium, et tall N er et Carmichael-nummer hvis og bare hvis det tilfredsstiller tre egenskaper. For det første må den ha mer enn én primfaktor. For det andre kan ingen primfaktor gjenta seg. Og for det tredje, for hver prime p som deler N, p – 1 deler også N – 1. Tenk igjen på tallet 561. Det er lik 3 × 11 × 17, så det tilfredsstiller klart de to første egenskapene i Korselts liste. For å vise den siste egenskapen trekker du 1 fra hver primfaktor for å få 2, 10 og 16. I tillegg trekker du 1 fra 561. Alle tre av de mindre tallene er divisorer av 560. Tallet 561 er derfor et Carmichael-tall.
Selv om matematikere mistenkte at det er uendelig mange Carmichael-tall, er det relativt få sammenlignet med primtall, noe som gjorde dem vanskelige å fastsette. Så i 1994, Red Alford, Andrew Granville og Carl Pomerance publiserte et gjennombrudd papir der de endelig beviste at det faktisk er uendelig mange av disse pseudoprimene.
Dessverre tillot teknikkene de utviklet dem ikke å si noe om hvordan disse Carmichael-tallene så ut. Dukket de opp i klynger langs talllinjen, med store mellomrom mellom? Eller kan du alltid finne et Carmichael-nummer i et kort intervall? "Du skulle tro at hvis du kan bevise at det er uendelig mange av dem," sa Granville, "du burde sikkert kunne bevise at det ikke er store hull mellom dem, at de burde være relativt godt fordelt."
Spesielt håpet han og hans medforfattere å bevise en uttalelse som reflekterte denne ideen - som gitt et tilstrekkelig stort antall X, vil det alltid være et Carmichael-nummer mellom X og 2X. "Det er en annen måte å uttrykke hvor allestedsnærværende de er," sa Jon Grantham, en matematiker ved Institute for Defense Analyzes som har gjort relatert arbeid.
Men i flere tiår var det ingen som kunne bevise det. Teknikkene utviklet av Alford, Granville og Pomerance "tillot oss å vise at det kom til å være mange Carmichael-numre," sa Pomerance, "men tillot oss egentlig ikke å ha mye kontroll over hvor de ville være. ”
Så, i november 2021, åpnet Granville en e-post fra Larsen, da 17 år gammel og på siste året på videregående. EN papir var vedlagt - og til Granvilles overraskelse så det riktig ut. "Det var ikke den enkleste lesningen noensinne," sa han. "Men da jeg leste det, var det ganske tydelig at han ikke rotet rundt. Han hadde strålende ideer."
Pomerance, som leste en senere versjon av verket, var enig. "Beviset hans er egentlig ganske avansert," sa han. "Det ville være et papir som enhver matematiker ville være veldig stolt av å ha skrevet. Og her er en ungdomsskolebarn som skriver det.»
Nøkkelen til Larsens bevis var arbeidet som hadde trukket ham til Carmichael-tall i utgangspunktet: resultatene av Maynard og Tao om primtall.
Usannsynlig - Ikke umulig
Da Larsen først satte ut for å vise at du alltid kan finne et Carmichael-nummer i et kort intervall, "så det ut til at det var så åpenbart sant, hvor vanskelig kan det være å bevise det?" han sa. Han skjønte raskt at det kunne være veldig vanskelig. "Dette er et problem som tester vår tids teknologi," sa han.
I avisen fra 1994 hadde Alford, Granville og Pomerance vist hvordan man kan lage uendelig mange Carmichael-nummer. Men de hadde ikke vært i stand til å kontrollere størrelsen på primtallene de brukte til å konstruere dem. Det er det Larsen måtte gjøre for å bygge Carmichael-nummer som var relativt nære i størrelse. Vanskeligheten med problemet bekymret faren, Michael Larsen. "Jeg trodde ikke det var umulig, men jeg trodde det var usannsynlig at han ville lykkes," sa han. "Jeg så hvor mye tid han brukte på det ... og jeg følte det ville være ødeleggende for ham å gi så mye av seg selv til dette og ikke få det."
Likevel visste han bedre enn å prøve å fraråde sønnen. "Når Daniel forplikter seg til noe som virkelig interesserer ham, holder han fast ved det i tykt og tynt," sa han.
Så Larsen kom tilbake til Maynards papirer - spesielt for å vise at hvis du tar visse sekvenser med nok tall, må en delmengde av disse tallene være primtall. Larsen modifiserte Maynards teknikker for å kombinere dem med metodene brukt av Alford, Granville og Pomerance. Dette tillot ham å sikre at primtallene han endte opp med ville variere i størrelse - nok til å produsere Carmichael-tall som ville falle innenfor intervallene han ønsket.
"Han har mer kontroll over ting enn vi noen gang har hatt," sa Granville. Og han oppnådde dette gjennom en spesielt smart bruk av Maynards arbeid. "Det er ikke lett ... å bruke denne fremgangen på korte avstander mellom primtal," sa Kaisa Matomäki, matematiker ved universitetet i Turku i Finland. "Det er ganske fint at han er i stand til å kombinere det med dette spørsmålet om Carmichael-tallene."
Larsens argument tillot ham faktisk ikke bare å vise at et Carmichael-nummer alltid må stå mellom X og 2X. Beviset hans fungerer også for mye mindre intervaller. Matematikere håper nå at det også vil bidra til å avsløre andre aspekter ved oppførselen til disse merkelige tallene. "Det er en annen idé," sa Thomas Wright, en matematiker ved Wofford College i South Carolina som jobber med pseudoprimer. "Det endrer mange ting om hvordan vi kan bevise ting om Carmichael-tall."
Grantham var enig. "Nå kan du gjøre ting du aldri har tenkt på," sa han.
Larsen har i mellomtiden nettopp startet sitt førsteårsår ved Massachusetts Institute of Technology. Han er ikke sikker på hvilket problem han kan jobbe med neste gang, men han er ivrig etter å lære hva som er der ute. "Jeg tar bare kurs ... og prøver å være åpen," sa han.
"Han gjorde alt dette uten en lavere utdanning," sa Grantham. "Jeg kan bare forestille meg hva han kommer til å finne på på forskerskolen."
