Sto lat później nowa matematyka wygładza ogólną teorię względności | Magazyn Quanta

Ogólna teoria względności Alberta Einsteina z ogromnym sukcesem opisała działanie grawitacji i kształtowanie wielkoskalowej struktury Wszechświata. Podsumowano to w powiedzeniu fizyka Johna Wheelera: „Czas i przestrzeń mówi materii, jak się poruszać; materia mówi czasoprzestrzeni, jak się zakrzywiać.” Jednak matematyka ogólnej teorii względności jest również głęboko sprzeczna z intuicją.

Ponieważ jego podstawowe równania są tak skomplikowane, nawet najprościej brzmiące stwierdzenia są trudne do udowodnienia. Na przykład dopiero około 1980 roku matematycy udowodnili, w ramach głównego twierdzenia ogólnej teorii względności, że izolowany układ fizyczny, czyli przestrzeń, pozbawiona jakiejkolwiek masy, musi być płaska.

Pozostawiło to nierozwiązane pytanie, jak wygląda przestrzeń, jeśli jest prawie próżnią i ma tylko niewielką ilość masy. Czy koniecznie jest prawie płaski?

Choć może wydawać się oczywiste, że mniejsza masa prowadziłaby do mniejszej krzywizny, w przypadku ogólnej teorii względności sprawa nie jest taka prosta. Zgodnie z teorią gęste skupiska materii mogą „wypaczyć” część przestrzeni, powodując jej silne zakrzywienie. W niektórych przypadkach ta krzywizna może być ekstremalna, co może prowadzić do powstawania czarnych dziur. Może to nastąpić nawet w przestrzeni z niewielką ilością materii, jeśli jest ona wystarczająco silnie skoncentrowana.

W niedawnym badaniu pt. ”Zagadka monogamicznego małżeństwa", papier, Conghan Donga, absolwentka Uniwersytetu Stony Brook i Pieśń Antoniego, adiunkt w California Institute of Technology, udowodnił, że ciąg zakrzywionych przestrzeni o coraz mniejszej masie ostatecznie zbiegnie się w płaską przestrzeń o zerowej krzywiźnie.

Wynik ten stanowi godny uwagi postęp w matematycznych badaniach ogólnej teorii względności – poszukiwania, które nadal procentują ponad sto lat po opracowaniu swojej teorii przez Einsteina. Dana Lee, matematyk z Queens College, który studiuje matematykę związaną z ogólną teorią względności, ale nie był zaangażowany w te badania, powiedział, że dowód Donga i Songa odzwierciedla głębokie zrozumienie interakcji krzywizny i masy.

Co udowodnili

Dowód Donga i Songa dotyczy przestrzeni trójwymiarowych, ale najpierw rozważmy przykład dwuwymiarowy dla ilustracji. Wyobraź sobie płaską przestrzeń bez masy jako zwykłą, gładką kartkę papieru. W tym przypadku przestrzeń o małej masie może wyglądać podobnie z daleka – to znaczy w większości płaska. Jednak bliższa inspekcja może ujawnić pojawiające się tu i tam ostre kolce lub bąbelki – konsekwencje skupiania się materii. Te przypadkowe wychodnie sprawią, że papier będzie przypominał dobrze utrzymany trawnik, z którego od czasu do czasu wystają grzyby lub łodygi.

Dong i Song udowodnili, że a przypuszczenie sformułowaną w 2001 roku przez matematyków Gerharda Huiskena i Tomek Ilmanen. Hipoteza głosi, że gdy masa przestrzeni zbliża się do zera, musi to dotyczyć także jej krzywizny. Huisken i Ilmanen przyznali jednak, że scenariusz ten komplikuje obecność bąbelków i skoków (które są matematycznie różne). Postawili hipotezę, że pęcherzyki i kolce można odciąć w taki sposób, aby obszar graniczny pozostawiony na powierzchni przestrzeni po każdym wycięciu był niewielki. Sugerowali, ale nie potrafili udowodnić, że przestrzeń, która pozostanie po usunięciu tych kłopotliwych wyrostków, będzie prawie płaska. Nie byli też pewni, jak takie cięcia powinny być wykonane.

„Te pytania były trudne i nie spodziewałem się rozwiązania hipotezy Huiskena-Ilmanena” – powiedział Lee.

Podstawą przypuszczeń jest pomiar krzywizny. Przestrzeń może zakrzywiać się na różne sposoby, w różnym stopniu i w różnych kierunkach — jak siodło (w dwóch wymiarach), które zakrzywia się w górę w przód i w tył, ale w dół w lewo i prawo. Dong i Song ignorują te szczegóły. Używają koncepcji zwanej krzywizną skalarną, która przedstawia krzywiznę jako pojedynczą liczbę podsumowującą pełną krzywiznę we wszystkich kierunkach.

„To nowe dzieło Donga i Songa”, powiedział Daniel Stern z Cornell University to „jeden z najsilniejszych wyników, jakie do tej pory uzyskaliśmy, który pokazuje nam, w jaki sposób krzywizna skalarna kontroluje geometrię” przestrzeni jako całości. Ich artykuł pokazuje, że „jeśli mamy nieujemną krzywiznę skalarną i małą masę, bardzo dobrze rozumiemy strukturę przestrzeni”.

Dowód

Hipoteza Huiskena-Ilmanena dotyczy geometrii przestrzeni o stale malejącej masie. Zaleca specyficzną metodę określania, jak blisko przestrzeni o małej masie znajduje się przestrzeń płaska. Miara ta nazywa się odległością Gromova-Hausdorffa, nazwaną na cześć matematyków Michaił Gromow i Feliksa Hausdorffa. Obliczanie odległości Gromova-Hausdorffa jest procesem dwuetapowym.

Pierwszym krokiem jest znalezienie odległości Hausdorffa. Załóżmy, że masz dwa okręgi, A i B. Zacznij od dowolnego punktu na A i oblicz, jak daleko jest do najbliższego punktu na B.

Powtórz tę czynność dla każdego punktu punktu A. Największą znalezioną odległością jest odległość Hausdorffa pomiędzy okręgami.

Gdy już znasz odległość Hausdorffa, możesz obliczyć odległość Gromova-Hausdorffa. Aby to zrobić, umieść swoje obiekty na większej przestrzeni, tak aby zminimalizować odległość Hausdorffa między nimi. W przypadku dwóch identycznych okręgów, ponieważ można je umieścić dosłownie jeden na drugim, odległość Gromova-Hausdorffa między nimi wynosi zero. Geometrycznie identyczne obiekty takie jak te nazywane są „izometrycznymi”.

Pomiar odległości jest oczywiście trudniejszy, gdy porównywane obiekty lub przestrzenie są podobne, ale nie takie same. Odległość Gromova-Hausdorffa pozwala na precyzyjną miarę podobieństw (lub różnic) pomiędzy kształtami dwóch obiektów znajdujących się początkowo w różnych przestrzeniach. „Odległość Gromova-Hausdorffa to jeden z najlepszych sposobów, w jaki możemy powiedzieć, że dwie przestrzenie są prawie izometryczne, i podaje liczbę do tego „prawie”” – powiedział Stern.

Zanim Dong i Song mogli dokonać porównań między przestrzenią o małej masie a przestrzenią idealnie płaską, musieli wyciąć nieznośne wypukłości – wąskie kolce, w których materia jest ciasno upakowana, a nawet gęstsze bąbelki, w których mogą znajdować się maleńkie czarne dziury. „Tniemy je tak, aby obszar graniczny [w miejscu, w którym wykonano plasterek] był mały” – powiedział Song, „i pokazaliśmy, że obszar ten zmniejsza się wraz ze spadkiem masy”.

Chociaż taka taktyka może brzmieć jak oszustwo, Stern stwierdził, że w celu udowodnienia przypuszczenia dopuszczalne jest przeprowadzenie pewnego rodzaju wstępnego przetwarzania poprzez wycinanie pęcherzyków i kolców, których powierzchnia zmniejsza się do zera w miarę zmniejszania się masy.

Sugerował, że jako zastępstwo przestrzeni o małej masie możemy wyobrazić sobie zmiętą kartkę papieru, która po ponownym wygładzeniu nadal ma ostre zagięcia i fałdy. Możesz użyć dziurkacza, aby usunąć najbardziej widoczne nieprawidłowości, pozostawiając lekko nierówną kartkę papieru z kilkoma dziurkami. W miarę zmniejszania się rozmiaru tych otworów zmniejszają się nierówności terenu papieru. Można powiedzieć, że na granicy dziury skurczą się do zera, wzgórki i grzbiety znikną, a otrzymasz jednolicie gładką kartkę papieru – prawdziwy substytut płaskiej przestrzeni.

To właśnie Dong i Song chcieli udowodnić. Następnym krokiem było sprawdzenie, jak te ogołocone przestrzenie – pozbawione swoich szorstkich cech – układają się w stosunkę ze standardem całkowitej płaskości. Przyjęta przez nich strategia wykorzystywała specjalny rodzaj mapy, która polega na porównaniu dwóch przestrzeni poprzez powiązanie punktów w jednej przestrzeni z punktami w drugiej. Mapa, z której korzystali, została opracowana w r papier napisany przez Sterna i trzech współpracowników — Huberta Braya, Demetre Kazarasa i Marcusa Khuriego. Ta procedura może dokładnie określić, jak blisko są dwie spacje.

Aby uprościć swoje zadanie, Dong i Song zastosowali kolejną sztuczkę matematyczną Sterna i jego współautorów, która pokazała, że ​​trójwymiarową przestrzeń można podzielić na nieskończenie wiele dwuwymiarowych wycinków zwanych zbiorami poziomów, podobnie jak jajko na twardo podzielić na wąskie arkusze za pomocą napiętych drutów krajalnicy do jaj.

Zestawy poziomów dziedziczą krzywiznę trójwymiarowej przestrzeni, którą tworzą. Koncentrując swoją uwagę na zestawach poziomów, a nie na większej przestrzeni trójwymiarowej, Dong i Song byli w stanie zmniejszyć wymiarowość problemu z trzech do dwóch. To bardzo korzystne, stwierdził Song, ponieważ „wiemy dużo o obiektach dwuwymiarowych… i mamy wiele narzędzi do ich badania”.

Jeśli uda im się wykazać, że każdy zestaw poziomów jest „w pewnym sensie płaski”, powiedział Song, umożliwi to im osiągnięcie ogólnego celu, jakim jest pokazanie, że trójwymiarowa przestrzeń o małej masie jest prawie płaska. Na szczęście ta strategia się sprawdziła.

Następne kroki

Patrząc w przyszłość, Song powiedział, że jednym z kolejnych wyzwań stojących przed tą dziedziną jest uczynienie dowodu bardziej wyraźnym poprzez ustalenie precyzyjnej procedury usuwania bąbelków i kolców oraz lepsze opisanie wyciętych obszarów. Przyznał jednak, że na razie „nie mamy jasnej strategii, jak to osiągnąć”.

 Inną obiecującą drogą, powiedział Song, byłoby zbadanie m.in osobne przypuszczenie sformułowany w 2011 roku przez Lee i Krystyna Sormani, matematyk z City University of New York. Hipoteza Lee-Sormaniego zadaje pytanie podobne do tego postawionego przez Huiskena i Ilmanena, ale opiera się na innym sposobie pomiaru różnicy między kształtami. Zamiast uwzględniać maksymalną odległość między dwoma kształtami, jak ma to miejsce w przypadku odległości Gromova-Hausdorffa, podejście Lee-Sormaniego pyta o objętość przestrzeni między nimi. Im mniejsza jest ta objętość, tym są one bliżej.

Tymczasem Song ma nadzieję przyjrzeć się podstawowym pytaniom dotyczącym krzywizny skalarnej, które nie są motywowane fizyką. „W ogólnej teorii względności” – powiedział – „mamy do czynienia z bardzo specjalnymi przestrzeniami, które w nieskończoności są prawie płaskie, ale w geometrii interesują nas wszystkie rodzaje przestrzeni”.

„Istnieje nadzieja, że ​​techniki te mogą okazać się przydatne w innych sytuacjach”, niezwiązanych z ogólną teorią względności, powiedział Stern. „Istnieje duża rodzina powiązanych ze sobą problemów” – stwierdził, a które czekają na zbadanie.

Quanta przeprowadza serię ankiet, aby lepiej służyć naszym odbiorcom. Weź nasze ankieta dla czytelników matematyki i zostaniesz wpisany, aby wygrać za darmo Quanta towar.