Widok z bliska ukazuje punkt topnienia nieskończonego wykresu | Magazyn Quanta

W 2008 roku matematyk Oded Schramm zginął w wypadku podczas wędrówki w górach Cascade, około 50 km na wschód od Seattle. Choć miał zaledwie 46 lat, stworzył zupełnie nowe dziedziny matematyki.

„Był fantastycznym matematykiem” – stwierdził Itai Benjamini, matematyk w Instytucie Nauk Weizmanna oraz przyjaciel i współpracownik Schramma. „Niezwykle kreatywne, niezwykle eleganckie, niezwykle oryginalne.”

Pytania, które zadał, wciąż przesuwają granice teorii prawdopodobieństwa i fizyki statystycznej. Wiele z tych pytań dotyczy struktur matematycznych, w których występuje przejście fazowe – nagła zmiana makroskopowa, taka jak topnienie lodu w wodę. Tak jak różne materiały mają różne temperatury topnienia, tak przejścia fazowe struktur matematycznych również się różnią.

Schramm przypuszczał, że przejście fazowe w procesie zwanym perkolacją można oszacować na podstawie jedynie zbliżenia systemu – zwanego perspektywą lokalną – dla wielu ważnych struktur matematycznych. Całkowite oddalenie i obejrzenie całości nie zmieni znacząco obliczeń. W ciągu ostatnich 15 lat matematycy rozwiewali małe fragmenty hipotez, ale do tej pory nie byli w stanie ich całkowicie rozwiązać.

W przeddruk opublikowany w październiku, Toma Hutchcrofta z California Institute of Technology i jego doktorantem Filip Easo udowodnił hipotezę o lokalizacji Schramma. Ich dowód opiera się na głównych ideach z teorii prawdopodobieństwa i innych dziedzin matematyki, które w sprytny sposób połączyli.

„To niezwykły dokument. To nagromadzenie długiej pracy” – powiedział Benjamini.

Nieskończone klastry

Słowo „perkolacja” pierwotnie odnosiło się do ruchu płynu przez porowate medium, takie jak woda przepływająca przez fusy kawy lub olej wyciekający przez pęknięcia w skale.

W 1957 roku matematycy Simon Ralph Broadbent i John Michael Hammersley opracowali model matematyczny tego procesu fizycznego. W ciągu dziesięcioleci model ten stał się samodzielnym przedmiotem badań. Matematycy badają perkolację, ponieważ zapewnia ona równowagę: konfiguracja jest prosta, ale wykazuje złożone i zagadkowe cechy.

„To rodzaj kanonicznego modelu dla matematyków” – powiedział Hutchcroft. „Można myśleć o rzeczach wizualnie. Dzięki temu naprawdę miło się z nim pracuje.”

Perkolacja rozpoczyna się od wykresu, który jest zbiorem wierzchołków (punktów), które można połączyć krawędziami (liniami). Jednym z najprostszych przykładów jest siatka kwadratowa, której wierzchołki ułożone są tak, aby tworzyły narożniki kwadratów i krawędzie łączące niektóre z nich.

Krótko przed śmiercią Schramm przypuszczał, że twierdzenie Grimmetta i Marstranda można uogólnić. Uważał, że próg perkolacji jest całkowicie określony przez perspektywę zbliżenia, czyli „mikroskopową”, w przypadku dużej klasy wykresów znanych jako wykresy przechodnie.

W 2009 roku Beniamin Asafa Nachmiasa i Yuvala Peresa okazały Hipoteza Schramma o lokalizacji, jak jest obecnie znana, dla określonego typu grafu przechodniego, który przypomina drzewo. Schramm postulował jednak, że będzie to obowiązywać dla wszystkich grafów przechodnich (z wyjątkiem grafów jednowymiarowych).

W grafie przechodnim wszystkie wierzchołki wyglądają podobnie. Jednym z przykładów jest siatka dwuwymiarowa. Jeśli wybierzesz dowolne dwa wierzchołki, zawsze możesz znaleźć symetrię, która przesuwa jeden wierzchołek na drugi.

Zależność ta dotyczy dowolnego grafu przechodniego. Ze względu na te symetrie, jeśli powiększysz i spojrzysz na dowolne dwie części wykresu przechodniego o tej samej wielkości, będą one wyglądać tak samo. Z tego powodu Schramm uważał, że perspektywa z bliska wystarczy, aby matematycy mogli obliczyć próg perkolacji dla wszystkich grafów przechodnich.

Wykresy przechodnie mogą przybierać różne kształty i formy. Mogą to być proste siatki złożone z kwadratów, trójkątów, sześciokątów lub innego kształtu. Mogą też utworzyć bardziej złożony obiekt, na przykład „3-regularne drzewo”, w którym jeden centralny punkt łączy się z trzema wierzchołkami, a każdy wierzchołek następnie rozgałęzia się, tworząc w nieskończoność dwa nowe. Kilka pierwszych kroków można zobaczyć tutaj:

Różnorodność grafów przechodnich przyczyniła się do trudności w udowodnieniu hipotezy Schramma o lokalizacji. W ciągu 15 lat między hipotezą Schramma a dowodem Easo i Hutchcrofta różne grupy matematyków udowodniły hipotezę dotyczącą określonych typów grafów, ale ich pomysły nigdy nie obejmowały przypadku ogólnego.

„Przestrzeń wszystkich możliwych geometrii jest tak ogromna i zawsze czają się dziwne rzeczy” – powiedział Hutchcroft.

Poszerzenie obiektywu

Easo i Hutchcroft początkowo nie szukali rozwiązania hipotezy Schramma o lokalizacji, która ma zastosowanie do grafów nieskończonych. Zamiast tego badali perkolację na skończonych wykresach. Ale wpadli na pomysł, który nagle skierował ich uwagę na domysły.

„Wymyśliliśmy to nowe narzędzie i pomyśleliśmy: och, wydaje się, że to coś, co mogłoby być pomocne w atakowaniu lokalizacji” – powiedział Easo.

Aby udowodnić tę hipotezę, musieli wykazać, że perspektywa mikroskopowa daje dokładny obraz progu perkolacji. Kiedy przeglądasz tylko część wykresu i obserwujesz duży, połączony klaster, możesz założyć, że wykres ma nieskończone skupienie i dlatego znajduje się powyżej progu perkolacji. Easo i Hutchcroft postanowili to udowodnić.

Oparli się na technice, którą można nazwać „poszerzaniem soczewki”. Zacznij od jednego wierzchołka. Następnie pomniejsz, aby wyświetlić wszystkie wierzchołki oryginalnego wykresu oddalone o jedną krawędź. Na siatce kwadratowej będziesz teraz mógł zobaczyć łącznie pięć wierzchołków. Poszerz soczewkę ponownie, aby zobaczyć wszystkie wierzchołki w odległości dwóch krawędzi, a następnie w odległości trzech krawędzi, czterech krawędzi i tak dalej.

Easo i Hutchcroft ustawili tarczę określającą, ile połączeń znajduje się w pobliżu miejsca, w którym zobaczyli dużą gromadę. Następnie rozszerzyli obiektyw, obserwując, jak coraz więcej krawędzi gromadzi się w ich dużej gromadzie. Robiąc to, musieli zwiększyć prawdopodobieństwo obecności powiązań, co ułatwia wykazanie, że wykres ma duży połączony element. To delikatne balansowanie. Musieli wystarczająco szybko poszerzyć pole widzenia i wystarczająco powoli dodawać łącza, aby odsłonić pełny nieskończony wykres bez radykalnej zmiany położenia tarczy.

Udało im się wykazać, że duże gromady rosną szybciej niż mniejsze, zatem – jak to ujął Easo – „twoje skupienie rośnie coraz szybciej w miarę powiększania się, zupełnie jak tocząca się kula śnieżna”.

W przypadku siatki kwadratowej liczba wierzchołków rośnie stosunkowo wolno. Jest to mniej więcej szerokość obiektywu do kwadratu. Po 10 krokach znajdziesz około 100 wierzchołków. Ale 3-regularne drzewo rośnie wykładniczo szybciej — mniej więcej 2 podniesione do potęgi szerokości soczewki. Po 10 krokach zobaczysz około 1,024 wierzchołków. Poniższa ilustracja pokazuje, że 3-regularne drzewo jest znacznie większe już po siedmiu krokach, mimo że kwadratowa siatka ma na początku więcej wierzchołków. Ogólnie rzecz biorąc, wykresy mogą wykazywać różne tempo wzrostu w różnych skalach — mogą zaczynać się szybko, a następnie zwalniać.

W 2018 roku, Hutchcroft zastosował podobny pomysł aby udowodnić hipotezę o lokalizacji dla szybko rosnących grafów, takich jak drzewo 3-regularne. Nie sprawdziło się to jednak w przypadku wykresów o powolnym wzroście, takich jak siatka kwadratowa, ani w przypadku wykresów, które rosną ze średnią szybkością i nie spełniają ani matematycznych kryteriów szybkiego wzrostu, ani powolnego wzrostu.

„W tym momencie sytuacja staje się naprawdę frustrująca przez jakieś trzy lata” – powiedział Hutchcroft.

Struktura a ekspansja

W przypadku wykresów przedstawiających stopy wzrostu w różnych skalach należy zastosować różne techniki.

Bardzo pomocnym faktem jest to, że, jak wyjaśnił Easo, „jeśli wykres w jakiejś skali wskazuje na powolny wzrost, oznacza to, że utknął”. Będzie nadal powoli rosnąć na większą skalę. Ponieważ wykresy powolnego wzrostu mają dodatkową strukturę określoną przez gałąź matematyki zwaną teorią grup, wiadomo było również, że jeśli odpowiednio pomniejszysz, wykresy powolnego wzrostu wyświetlają geometrię, która jest matematycznie oswojona.

W 2021 roku Sébastien Martineau z Sorbony w Paryżu, współpracując z Danielem Contrerasem i Wincenty Tasjon z ETH Zurich, mógł wykorzystać tę nieruchomość do udowodnić hipotezę Schramma o lokalizacji dla wykresów, które ostatecznie rosną powoli.

W tym momencie obu grupom matematyków udało się uporać z tą hipotezą z różnych kierunków: szybkiego i powolnego wzrostu. Ale to pozostawiło znaczne luki. Po pierwsze, istnieje kategoria wzrostu pośredniego, która nie została objęta techniką Easo i Hutchcrofta ani dowodem Contrerasa, Martineau i Tassiona. Innym problemem było to, że argumenty nadal nie dotyczyły wykresów przedstawiających zmieniające się stopy wzrostu – jedynie te, które pozostawały szybkie lub wolne. Aby argumenty Contrerasa, Martineau i Tassion można było zastosować do dowolnych wykresów, nie wystarczyło, że po pomniejszeniu geometria ostatecznie wyglądała na stonowaną, wyjaśnił Easo: „Chcemy, aby teraz wyglądała stonowana, w pobliżu bieżącej skali”.

Szczerym polu

Wykresy przechodnie wzrostu pośredniego są bardzo tajemnicze. Matematycy nigdy nie znaleźli przykładu wykresu przechodniego, którego wzrost mieści się w tym zakresie. Możliwe, że w ogóle ich nie ma. Jednak matematycy nie udowodnili, że takie zjawiska nie istnieją, więc każdy kompletny dowód na hipotezę Schramma o lokalizacji musi uwzględniać ich istnienie. Dodatkowym wyzwaniem było to, że Easo i Hutchcroft musieli zająć się wykresami, które w określonej skali długości mogły wykazywać jedynie krótkotrwały wzrost pośredni, nawet jeśli rosną szybciej lub wolniej w miarę powiększania lub pomniejszania.

Easo i Hutchcroft spędzili większą część ostatniego roku na pracy nad rozszerzeniem swoich wyników na wykresy, których nie objęła żadna z wcześniejszych metod.

Najpierw zmodyfikowali technikę z 2018 r., którą Hutchcroft zastosował do szybko rosnących wykresów, aby pracować na wykresach zmieniających poziomy wzrostu w różnych skalach. Następnie zajęli się sprawą powolnego wzrostu, w 27-stronicowy papier podzielili się w sierpniu tym, że rozszerzyli prace nad Contreras, Martineau i Tassion. Wreszcie w październikowym wydaniu wstępnym opracowali kolejny argument, wykorzystując teorię przypadkowych spacerów – linii, które poruszają się losowo w przestrzeni – w celu poradzenia sobie z przypadkiem wzrostu pośredniego. Po zakończeniu trichotomii udowodnili hipotezę Schramma dotyczącą lokalizacji.

„Musieliśmy rzucić wszystko, co wiedzieliśmy na problem” – powiedział Hutchcroft.

Rozwiązanie daje matematykom lepszy wgląd w to, co dzieje się powyżej progu perkolacji, gdzie szansa na powstanie nieskończonego klastra wynosi 100%, i poniżej niego, gdzie szansa wynosi 0%. Jednak matematycy wciąż są zaskoczeni tym, co dzieje się dokładnie na progu większości grafów, w tym siatki trójwymiarowej. „To prawdopodobnie najsłynniejsze i najbardziej podstawowe otwarte pytanie w teorii perkolacji” – powiedział Russella Lyonsa Uniwersytetu Indiany.

Siatka dwuwymiarowa to jeden z niewielu przypadków, w których matematycy udowodnili, co dzieje się dokładnie na progu: nie powstają nieskończone gromady. Po tym jak Grimmett i Marstrand udowodnili wersję hipotezy o lokalizacji dużych płyt, Grimmett i współpracownicy wykazali, że jeśli przetnie się siatkę 3D na pół w poziomie, tworząc podłogę, i dostroi pokrętło dokładnie do progu perkolacji, nie pojawią się nieskończone skupiska. Ich wynik wskazuje, że w pełni trójwymiarowa siatka, podobnie jak jej dwuwymiarowy odpowiednik, może nie mieć nieskończonego skupienia na progu perkolacji.

W 1996 roku Benjamini i Schramm domysł że szansa na znalezienie nieskończonego klastra tuż przy progu wynosi zero dla wszystkich grafów przechodnich — tak jak ma to miejsce w przypadku siatki 2D lub siatki 3D przeciętej na pół. Teraz, gdy hipoteza dotycząca lokalizacji została już rozstrzygnięta, zrozumienie tego, co dzieje się bezpośrednio w punkcie przejścia, może być nieco bliższe.

korekta: 18 grudnia 2023 r.
Liczba węzłów w n ogniwach węzła początkowego na 3-regularnym wykresie rośnie w przybliżeniu o 2ⁿ, nie 3ⁿ jak pierwotnie stwierdzono w tym artykule. Artykuł został poprawiony.

Quanta przeprowadza serię ankiet, aby lepiej służyć naszym odbiorcom. Weź nasze ankieta dla czytelników matematyki i zostaniesz wpisany, aby wygrać za darmo Quanta towar.