Wprowadzenie
Jak wielu ludzi, którzy mieli zostać matematykami, Wei Ho dorastał biorąc udział w konkursach matematycznych. W ósmej klasie wygrała stanowe zawody Mathcounts w Wisconsin, a jej drużyna zajęła trzecie miejsce na zawodach krajowych.
W przeciwieństwie do wielu przyszłych matematyków nie była pewna, czy kiedykolwiek chciała nim zostać.
„Chciałem robić wszystko przez cały czas” – powiedział Ho. „Traktowałem balet bardzo poważnie aż do wczesnej szkoły średniej. Redagowałem pismo literackie. Zajmowałem się debatą i kryminalistyką. Grałem w tenisa, piłkę nożną, fortepian i skrzypce”. Dla kontrastu, wielu odnoszących sukcesy matematyków wydawało się mieć obsesję na punkcie matematyki z wyłączeniem wszystkiego innego. Jak ona, osoba z wieloma pasjami, mogła konkurować z takim poziomem skupienia?
Ostatecznie Ho został pociągnięty do rygoru matematyki. Nadal lubi balet, czytać powieści i rozwiązywać tajemnicze krzyżówki, nawet jeśli pomaga odkrywać na nowo maszynerię matematyczną, która leży u podstaw podstawowych obiektów matematycznych, takich jak równania wielomianowe, z którymi związane są od dawna i kłopotliwe otwarte pytania.
Ho bada znane obiekty geometryczne, ale przeformułowuje pytania, aby umieścić je w dziedzinie liczb wymiernych — liczb, które można zapisać w postaci ułamków zwykłych. „Wtedy teoria liczb zaczyna się w to wszystko mieszać” – powiedziała.
Szczególnie interesują ją krzywe eliptyczne, które są definiowane przez szczególny rodzaj równania wielomianowego, który ma zastosowanie w różnych gałęziach matematyki. Krzywe eliptyczne pojawiają się w analizie — ogólnie rzecz biorąc, badaniu rzeczy ciągłych, takich jak liczby rzeczywiste — oraz w algebrze, która polega na znajdowaniu i definiowaniu precyzyjnych struktur matematycznych. (Chociaż ich zainteresowania są różne, analizę i algebrę dzieli bardziej wrażliwość niż ścisła granica, ponieważ często się między nimi pokrywają).
Wprowadzenie
W przełamującym bariery preprint wydanym w 2018 roku Ho i jej współpracownik Levent Alpöge z Uniwersytetu Harvarda odkrył nową górną granicę dla liczby całkowitych rozwiązań wielomianów definiujących krzywe eliptyczne. Ich technika opiera się na trwającej od dziesięcioleci pracy Louisa Mordella, amerykańskiego matematyka, który wyemigrował do Wielkiej Brytanii w 1906 roku. W swoim artykule Ho i Alpöge byli w stanie zebrać nowe informacje na temat rozkładu tych rozwiązań całkowitoliczbowych, które umknęły innym zespołom badającym podobne problemy.
Ho spędza rok (na urlopie z pracy na wydziale na Uniwersytecie Michigan) jako profesor wizytujący w Instytucie Studiów Zaawansowanych, gdzie niedawno została mianowana pierwszym dyrektorem programu kobiet i matematyki IAS. Jest także stypendystką Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego w 2023 r. oraz pracownikiem naukowym na Uniwersytecie Princeton.
Ma nadzieję, że kierowanie programem „Kobiety i matematyka” „przynajmniej bardziej pomoże społeczności, większej liczbie ludzi, zamiast siedzieć w biurze i prowadzić badania matematyczne samodzielnie lub ze współpracownikami” – powiedziała. „Mogę udowodnić twierdzenia i może kiedyś uda mi się udowodnić twierdzenie, które za 100 lat będzie miało znaczenie. Może, może nie. Ale czułem, że nie wywieram wystarczającego wpływu na świat ani na ludzi wokół mnie”.
Quanta rozmawiał z Ho podczas serii wideokonferencji. Wywiady zostały skondensowane i zredagowane dla przejrzystości.
Jak opisałbyś sposób, w jaki uprawiasz matematykę?
Czasami matematycy dzielą się na algebraicznych i analitycznych. Matematyka, którą się zajmuję, dotyka obu stron, ale w głębi duszy jestem algebraistką, chociaż w sposobie myślenia jestem geometryczna. Często postrzegam algebrę i geometrię jako zasadniczo to samo.
Nie jest to do końca dokładne, ale w zasadzie od czasu pracy Kartezjusza, a zwłaszcza w ostatnim stuleciu, te dwa tematy stały się naprawdę bliskie. Istnieje dość precyzyjny słownik, który w niektórych sytuacjach może pomóc przetłumaczyć obraz geometryczny na konsekwencje algebraiczne.
W moim przypadku obraz geometryczny często pomaga formułować twierdzenia i domysły oraz daje intuicję, ale potem podczas pisania przekładamy je na algebrę. Łatwiej jest wykryć błędy, ponieważ algebra jest zazwyczaj bardziej rygorystyczna. Łatwiejsze może być również użycie algebry, gdy geometria staje się zbyt trudna do wizualizacji.
Na jakich ideach skupiłeś się w swojej ostatniej pracy?
Spora część mojej pracy dotyczy krzywych eliptycznych, które są bardzo naturalnymi obiektami w teorii liczb i geometrii arytmetycznej.
Powinno być trudno mieć całkowitoliczbowe rozwiązania takich równań. Oczekujemy w zasadzie, że prawie wszystkie krzywe nie powinny mieć rozwiązań całkowitych. Ale bardzo trudno to udowodnić.
Levent i ja badaliśmy ten rozkład liczby punktów całkowych. Używamy klasycznej konstrukcji z książki Mordella z 1969 roku Równania diofantyczne. Jesteśmy w stanie podać górną granicę liczby punktów całkowitych na krzywej eliptycznej. Inne osoby podały górne granice. Znaleźliśmy inną granicę, którą łatwo określić.
Jaką rolę odegrały wcześniejsze prace Mordella w twoim ostatnim wyniku?
Nasze pytanie dotyczy punktów całkowych na krzywych eliptycznych. Mordell ma sposób na powiązanie tego z czymś innym, co możemy badać.
To jest coś, co robimy cały czas w matematyce: chcemy zrozumieć obiekt, ale musimy znaleźć pełnomocnika, aby go zrozumieć. Czasami to proxy jest bardzo dokładne. Czasami gubi informacje. Ale tak naprawdę jest to coś, do czego mamy dostęp.
Kiedy zdecydowałeś się skupić na matematyce?
Myślę, że nie było dla mnie punktu zwrotnego. Jestem teraz zadowolony ze swojego życia i kariery, ale czuję, że gdyby sprawy potoczyły się nieco inaczej, mógłbym być szczęśliwy w wielu zawodach lub innych dziedzinach. Być może większość matematyków by tego nie powiedziała, ponieważ lubią mówić o tym, jak bardzo pasjonują ich matematyka i jak nigdy nie mogliby myśleć o niczym innym. Jeśli chodzi o mnie, nie sądzę, żeby to była prawda.
Ciekawi mnie wiele różnych rzeczy. Być może zostałem matematykiem, ponieważ byłem sfrustrowany brakiem dyscypliny w innych dziedzinach. Jako dziecko nauczono mnie myśleć jak matematyk, ponieważ tak robiliśmy w domu. Tata bawił się ze mną w gry matematyczne, co oznaczało, że od najmłodszych lat uczyłem się logicznego rozumowania. Chciałem, żeby coś zostało udowodnione.
Ale nie byłem pewien, czy będę dobrym matematykiem.
Dlaczego?
Kiedy byłem młodszy, nie znałem wielu matematyków, którzy byli do mnie podobni na różne sposoby. Rzucamy tymi słowami o wzorce do naśladowania. Nie chodzi tylko o to, że nie widziałem wystarczającej liczby kobiet lub azjatyckich kobiet.
Chodzi mi o to, że nie widziałem wielu ludzi, którzy pasjonowaliby się rzeczami innymi niż matematyka. To sprawiło, że bardzo w siebie zwątpiłem. Jak mogę odnieść sukces w matematyce, jeśli nie spędzam 100% czasu na myśleniu o matematyce? To właśnie widziałem wokół siebie. Miałem wrażenie, że inni ludzie podchodzą do matematyki inaczej niż ja, moi rówieśnicy i osoby starsze ode mnie. Myślałem, że trudno jest kontynuować karierę, w której nie będę taki. Miałbym inne zainteresowania.
Aspekt ludzki jest czymś, na czym innym ludziom tak bardzo nie zależy. Bałem się, że ta część mnie uczyni mnie kiepskim w zostaniu matematykiem.
Wprowadzenie
Właśnie zostałeś mianowany dyrektorem programu IAS Kobiety i Matematyka. Co ten program oferuje kobietom matematykom?
To tygodniowe warsztaty dla kobiet na różnych etapach kariery, w tym dla studentek studiów licencjackich, doktorantek, doktorantów oraz niektórych młodszych i starszych wykładowców. To nauka matematyki we wspierającym środowisku.
Studenci studiów licencjackich, którzy mogli nie wiedzieć, że chcą studiować matematykę, spotykają bardzo doświadczonych matematyków i otrzymują mentoring na całej linii. Mogą zobaczyć wiele różnych osób na różnych etapach kariery i porozmawiać z ludźmi o swoich doświadczeniach. Nie sądzę, aby istniało wiele innych programów, które mają taki cały zakres i koncentrują się na określonej poddziedzinie.
Program 2023 nosi nazwę „Wzorce w liczbach całkowitych”. Będzie tam wielu ludzi zajmujących się kombinatoryką addytywną i analityczną teorią liczb. Sprowadzamy ludzi z różnych ścieżek kariery, aby mogli się spotkać.
Starsi absolwenci, którzy już pracują w tej dziedzinie, spotykają się ze specjalistami ze stopniem doktora, młodszymi i starszymi wykładowcami w swojej dziedzinie i mają szansę pracować razem z nimi przez tydzień.
Jesteś również zaangażowany w Projekt stosów, który jest obszernym zasobem internetowym. Co jest w nim wyjątkowego?
Sama objętość i dostępność. To ogromny — ponad 7,500 stron w wersji drukowanej — wspólny projekt online. Ale realistycznie [matematyk z Uniwersytetu Columbia] Aise Johan de Jong pisze prawie wszystko. To rygorystyczne, starannie napisane źródło informacji dla geometrów algebraicznych. To niesamowite, co zrobił dla społeczności.
Co tydzień lub dwa rośnie. To zaufane odniesienie do prawie wszystkiego. Obejmuje ogromną ilość geometrii algebraicznej, na którą trzeba by przejrzeć około 20 podręczników.
To życie w tym sensie, że rzeczy można dodawać i edytować. Jeśli są błędy, zostaną wyłapane.
Inną interesującą rzeczą jest system tagów. Mimo że ten dokument stale się rozwija, nadal możesz odwoływać się do określonego tagu w nieskończoność. Istnieje ponad 21,000 XNUMX stałych tagów dla konkretnych wyników, które warto zacytować. Pieter Belmans zbudował całe zaplecze, które zostało wykorzystane również w innych projektach. Inni ludzie dostosowali jego technologię.
Problem polega na tym – i Johan o tym wie – w końcu nie będzie w stanie dalej tego pisać. Pewnego dnia, jeśli chcemy, aby to trwało nadal, potrzebne jest większe zaangażowanie innych osób.
Jaką rolę odgrywają wasze warsztaty w projekcie Stacks?
Chodzi o to, żeby zacząć angażować młodszych ludzi. Każemy im pisać fragmenty, które mogą ostatecznie zostać włączone do tego. Występują tu pewne napięcia, ponieważ aby witryna pozostała poprawna i wysokiej jakości jako zasób, musi być starannie moderowana. Tak więc Johan nadal musi wykonać dużo pracy, wprowadzając w to wszystko. Nie może być jak Wikipedia, gdzie każdy może jej dotknąć. To trochę niefortunne, ale musi się zdarzyć, jeśli chcesz, aby to zadziałało.
Próbujemy wymyślić sposoby na powolne angażowanie większej liczby osób w projekt Stacks. Zatrudniamy mentorów do pracy nad projektami ze studentami i doktorantami. Uczą się geometrii algebraicznej. Potem coś napiszą.
We właśnie opublikowane tom z mnóstwem artykułów informacyjnych, które, mamy nadzieję, ostatecznie trafią do projektu Stacks.
Projekt Stacks może nadal wywierać ogromny wpływ przez setki lat, jeśli zaangażuje się wystarczająca liczba osób i będzie go kontynuować.
