Tajemnica liczbowa z XIX wieku zostaje wreszcie rozwiązana

Na początku lat pięćdziesiątych grupa naukowców z Institute for Advanced Study rozpoczęła projekt high-tech. Na rozkaz Johna von Neumanna i Hermana Goldstine'a, fizyk Hedvig Selberg zaprogramował komputer IAS z 1,700 rurkami próżniowymi do obliczania ciekawych sum matematycznych, których początki sięgają XVIII wieku.

Sumy były powiązane z kwadratowymi sumami Gaussa, nazwanymi na cześć słynnego matematyka Carla Friedricha Gaussa. Gauss wybrałby jakąś liczbę pierwszą p, następnie zsumuj liczby postaci $lateks e^{frac{2iπn^2}{p}}$. Od samego początku kwadratowe sumy Gaussa okazały się nieocenione w zadaniach takich jak liczenie rozwiązań niektórych typów równań. „Okazuje się, że sumy Gaussa są magiczne, że po prostu robią cudowne rzeczy z Bóg wie z jakiego powodu” – powiedział Jeffreya Hoffsteina, matematyk na Brown University.

W połowie XIX wieku niemiecki matematyk Ernst Eduard Kummer bawił się blisko spokrewnionym z tymi kwadratowymi sumami Gaussa, gdzie n² w wykładniku zastępuje się przez n³. Kummer zauważył, że w zaskakującym stopniu zbierają oni niemal określone wartości — wnikliwa obserwacja, która doprowadziła do wieków badań w teorii liczb.

Jeśli sześcienne sumy Gaussa nie zostaną przekształcone w prostszą formułę, ich wartości są trudne do wywnioskowania. Nie mając takiej formuły, Kummer przystąpił do obliczania sum sześciennych Gaussa — oraz obliczania i liczenia. „W tamtych czasach bardzo często wykonywali takie heroiczne obliczenia ręcznie” – powiedział Matthew Young, matematyk na Texas A&M University. Po przeanalizowaniu 45 sum, odpowiadających pierwszym 45 nietrywialnym liczbom pierwszym, Kummer w końcu się poddał.

Przeglądając swoje wyniki, Kummer zauważył coś interesującego. Teoretycznie sumy mogą wynosić od -1 do 1 (po „znormalizowaniu” — podzielone przez odpowiednią stałą). Ale kiedy wykonał obliczenia, odkrył, że zostały one rozłożone w dziwny sposób. Połowa wyników mieściła się w zakresie od ½ do 1, a tylko jedna szósta z nich mieściła się w zakresie od -1 do -½. Wyglądało na to, że skupili się wokół 1.

Kummer przedstawił swoje obserwacje wraz z przypuszczeniem: jeśli w jakiś sposób udało ci się wykreślić wszystkie nieskończenie wiele sześciennych sum Gaussa, większość z nich byłaby między ½ a 1; mniej między −½ a ½; a jeszcze mniej od -1 do -½.

Selberg, von Neumann i Goldstine postanowili przetestować to na swoim wczesnym komputerze. Selberg zaprogramował go do obliczania sum sześciennych Gaussa dla wszystkich nietrywialnych liczb pierwszych mniejszych niż 10,000 600 – w sumie około 1 sum. (Goldstine i von Neumann później napisali artykuł; jej wkład zostałby sprowadzony do linii uznania na końcu). Odkryli, że wraz ze wzrostem liczb pierwszych znormalizowane sumy stawały się mniej skłonne do skupienia w pobliżu XNUMX. Przekonujące dowody na to, że przypuszczenie Kummera było błędne, matematycy zaczęli próbować zrozumieć sześcienne sumy Gaussa w głębszy sposób, który wykraczał poza zwykłe obliczenia.

Ten proces jest teraz zakończony. W 1978 roku matematyk Samuela Pattersona zaryzykował rozwiązanie matematycznej tajemnicy Kummera, ale nie mógł tego udowodnić. Jesienią ubiegłego roku dwaj matematycy z Kalifornijskiego Instytutu Technologii udowodnili hipotezę Pattersona, ostatecznie zamykając rozważania Kummera z 1846 roku.

Patterson po raz pierwszy związał się z tym problemem jako doktorant na Uniwersytecie Cambridge w latach siedemdziesiątych. Jego przypuszczenie było uzasadnione tym, co się dzieje, gdy liczby są losowo umieszczane w dowolnym miejscu z zakresu od -1970 do 1. Jeśli zsumujesz N z tych liczb losowych, typowa wielkość sumy to $latexsqrt{N}$ (może być dodatnia lub ujemna). Podobnie, gdyby sześcienne sumy Gaussa były równomiernie rozłożone od -1 do 1, można by się spodziewać N z nich do około $latexsqrt{N}$.

Mając to na uwadze, dodał Patterson N sześcienne sumy Gaussa, ignorując (na razie) wymóg trzymania się liczb pierwszych. Stwierdził, że suma jest około N^5/6 — większe niż $latexsqrt{N}$ (które można zapisać jako N^1/2), ale mniej niż N. Ta wartość sugerowała, że ​​sumy zachowywały się jak liczby losowe, ale ze słabą siłą nacisku na wartości dodatnie, zwane odchyleniem. Jak N stawało się coraz większe, losowość zaczęłaby przytłaczać odchylenie, więc gdybyś w jakiś sposób spojrzał na wszystkie nieskończenie wiele sześciennych sum Gaussa naraz, wydawałyby się one równomiernie rozłożone.

To pozornie wyjaśniało wszystko: obliczenia Kummera wykazujące stronniczość, a także obliczenia IAS je obalające.

Ale Patterson nie był w stanie wykonać tych samych obliczeń dla liczb pierwszych, więc w 1978 roku oficjalnie zapisał to jako przypuszczenie: Jeśli dodasz sześcienne sumy Gaussa dla liczb pierwszych, powinieneś otrzymać to samo N^5/6 zachowanie.

Wkrótce po wygłoszeniu wykładu o swojej pracy nad problemem Kummera skontaktował się z Pattersonem doktorant Roger Heath-Brown, który zasugerował włączenie technik z teorii liczb pierwszych. Obaj połączyli siły i wkrótce opublikowany postęp w sprawie, ale nadal nie mogli wykazać, że Patterson przewidział N^5/6 stronniczość była dokładna dla liczb pierwszych.

W kolejnych dziesięcioleciach postęp był niewielki. Wreszcie na przełomie tysiącleci Heath-Brown dokonał kolejnego przełom, w którym zasadniczą rolę odegrało opracowane przez niego narzędzie, zwane dużym sześciennym sitkiem.

Aby użyć dużego sześciennego sita, Heath-Brown użył serii obliczeń, aby powiązać sumę sześciennych sum Gaussa z inną sumą. Za pomocą tego narzędzia Heath-Brown był w stanie wykazać, że jeśli dodasz sześcienne sumy Gaussa dla liczb pierwszych mniejszych niż N, wynik nie może być dużo większy niż N^5/6. Pomyślał jednak, że mógłby zrobić lepiej — że samo sito można by ulepszyć. Gdyby tak było, obniżyłoby to granicę do… N^5/6 dokładnie, udowadniając w ten sposób przypuszczenie Pattersona. W krótkiej linijce tekstu naszkicował, jaka jego zdaniem byłaby najlepsza możliwa formuła dla sita.

Nawet z tym nowym narzędziem matematycy nie byli w stanie zrobić dalszych postępów. Dwie dekady później doszło do szczęśliwego spotkania postdoc z Caltech Aleksander Dunn i jego przełożonego Maksym Radziwiłła zaznaczył początek końca. Zanim Dunn objął stanowisko we wrześniu 2020 roku, Radziwiłł zaproponował, by wspólnie pracowali nad przypuszczeniem Pattersona. Jednak wraz z szalejącą pandemią Covid-19 badania i nauczanie kontynuowano zdalnie. Wreszcie, w styczniu 2021 r., przypadek – lub los – zainterweniował, gdy dwaj matematycy niespodziewanie wpadli na siebie na parkingu w Pasadenie. „Serdecznie rozmawialiśmy i ustaliliśmy, że powinniśmy zacząć się spotykać i rozmawiać o matematyce” – napisał Dunn w e-mailu. W marcu pilnie pracowali nad dowodem hipotezy Pattersona.

„Praca była ekscytująca, ale bardzo ryzykowne” – powiedział Dunn. „To znaczy, pamiętam, jak codziennie przychodziłem do mojego biura o 5 rano przez cztery lub pięć miesięcy”.

Dunn i Radziwiłł, podobnie jak wcześniej Heath-Brown, uznali sześcienne duże sito za niezbędne do ich dowodu. Ale kiedy użyli formuły, którą Heath-Brown zapisał w swojej pracy z 2000 roku – tej, którą uważał za najlepsze możliwe sito, przypuszczenie, że społeczność teorii liczb uwierzyła, że ​​jest prawdą – zdali sobie sprawę, że coś jest nie tak. . „Udało nam się udowodnić, że 1 = 2, po bardzo, bardzo skomplikowanej pracy” – powiedział Radziwiłł.

W tym momencie Radziwiłł był pewien, że to ich błąd. „Byłem trochę przekonany, że zasadniczo mamy błąd w naszym dowodzie”. Dunn przekonał go inaczej. Dużego sześciennego sita wbrew oczekiwaniom nie dało się ulepszyć.

Uzbrojeni w słuszność sześciennego dużego sita, Dunn i Radziwiłł przekalibrowali swoje podejście do przypuszczenia Pattersona. Tym razem im się udało.

„Myślę, że to był główny powód, dla którego nikt tego nie zrobił, bo ta hipoteza [Heath-Brown] wprowadzała wszystkich w błąd” – powiedział Radziwiłł. „Myślę, że gdybym powiedział Heath-Brownowi, że jego przypuszczenia są błędne, prawdopodobnie wymyśliłby, jak to zrobić”.

Dunn i Radziwiłł opublikowali swój artykuł 15 września 2021 r. Ostatecznie ich dowód oparł się na uogólnionej hipotezie Riemanna, słynnej nieudowodnionej hipotezie matematycznej. Ale inni matematycy widzą w tym jedynie niewielką wadę. „Chcielibyśmy pozbyć się hipotezy. Ale cieszymy się, że mamy wynik, który i tak jest warunkowy ”- powiedział Heath-Brązowy, który jest obecnie emerytowanym profesorem na Uniwersytecie Oksfordzkim.

Dla Heatha-Browna twórczość Dunna i Radziwiłła jest czymś więcej niż tylko dowodem domysłów Pattersona. Dzięki nieoczekiwanemu wglądowi w sześcienne duże sito, ich papier przyniósł niespodziankę kończącą historię, której był częścią od dziesięcioleci. „Cieszę się, że właściwie nie napisałem w mojej gazecie »Jestem pewien, że można się tego pozbyć«” – powiedział, odnosząc się do tego kawałka sita, który odkryli Dunn i Radziwiłł, był niezbędny. „Po prostu powiedziałem: „Byłoby miło, gdyby można się tego pozbyć. Wydaje się możliwe, że powinieneś być w stanie. I myliłem się — nie po raz pierwszy”.