„Bajgle entropijne” i inne złożone struktury wyłaniają się z prostych zasad | Magazyn Quanta

Powtarzanie nie zawsze musi być banalne. W matematyce jest to potężna siła zdolna do generowania oszałamiającej złożoności.

Nawet po dziesięcioleciach studiów matematycy nie są w stanie odpowiedzieć na pytania dotyczące powtarzalnego wykonywania bardzo prostych reguł – najbardziej podstawowych „układów dynamicznych”. Próbując to jednak zrobić, odkryli głębokie powiązania między tymi regułami a innymi pozornie odległymi obszarami matematyki.

Na przykład zbiór Mandelbrota, który I napisał o z ostatniego miesiąca, to mapa sposobu działania rodziny funkcji — opisana równaniem f(x) = x² + c — zachowuje się jak wartość c rozciąga się na tak zwanej płaszczyźnie zespolonej. (W przeciwieństwie do liczb rzeczywistych, które można umieścić na prostej, liczby zespolone mają dwie składowe, które można wykreślić na linii x- i y-osie płaszczyzny dwuwymiarowej.)

Bez względu na to, jak bardzo przybliżysz zbiór Mandelbrota, zawsze pojawią się nowe wzorce, bez ograniczeń. „Nawet teraz jest dla mnie całkowicie zdumiewające, że ta bardzo złożona struktura wyłania się z tak prostych zasad” – powiedział Mateusz Piekarz Georgia Institute of Technology. „To jedno z naprawdę zaskakujących odkryć XX wieku”.

Złożoność zbioru Mandelbrota ujawnia się częściowo dlatego, że jest on zdefiniowany w kategoriach liczb, które same w sobie są, cóż, złożone. Ale, co może być zaskakujące, to nie cała historia. Nawet kiedy c jest prostą liczbą rzeczywistą, powiedzmy –3/2, mogą wystąpić różnego rodzaju dziwne zjawiska. Nikt nie wie, co się stanie, jeśli wielokrotnie zastosujesz równanie f(x) = x² – 3/2, wykorzystując każde wyjście jako kolejne wejście w procesie znanym jako iteracja. Jeśli zaczniesz iterować od x = 0 („punkt krytyczny” równania kwadratowego), nie jest jasne, czy utworzysz sekwencję, która ostatecznie zbiega się w kierunku powtarzającego się cyklu wartości, czy też taką, która w nieskończoność podskakuje według chaotycznego wzoru.

Dla wartości c mniejsza niż –2 lub większa niż 1/4, iteracja szybko prowadzi do nieskończoności. Ale w tym przedziale istnieje nieskończenie wiele wartości c wiadomo, że powoduje chaotyczne zachowanie i nieskończenie wiele przypadków, takich jak –3/2, gdzie „nie wiemy, co się stanie, mimo że jest to bardzo konkretne” – powiedział Giulio Tiozzo z Uniwersytetu w Toronto.

Ale w latach 1990. matematyk z Uniwersytetu Stony Brook Misza Lubicz, który zajął ważne miejsce w moim raporcie na temat zbioru Mandelbrota, okazały że w przedziale od –2 do 1/4 zdecydowana większość wartości c produkować ładne „hiperboliczne” zachowanie. (Matematycy Jacek Graczyk i Grzegorz Świątek niezależnie udowodnione wynik mniej więcej w tym samym czasie.) Oznacza to, że odpowiednie równania po iteracji zbiegają się do pojedynczej wartości lub do powtarzającego się cyklu liczb.

Dziesięć lat później trójka matematyków wykazała, że ​​większość wartości c są hiperboliczne nie tylko dla równań kwadratowych, ale dla dowolna rodzina wielomianów rzeczywistych (bardziej ogólne funkcje łączące zmienne podniesione do potęg, np x⁷ + 3x⁴ + 5x² + 1). A teraz jeden z nich, Sebastiana van Striena z Imperial College London uważa, że ​​ma dowód tej własności dla jeszcze szerszej klasy równań zwanych rzeczywistymi funkcjami analitycznymi, do których należą funkcje sinus, cosinus i wykładniczy. Van Strien ma nadzieję ogłosić wynik w maju. Jeśli wynik ten utrzyma się po wzajemnej ocenie, będzie to oznaczać znaczny postęp w charakteryzowaniu zachowania rzeczywistych systemów jednowymiarowych.

Nieprawdopodobne skrzyżowania i bajgle entropijne

Istnieje nieskończenie wiele rzeczywistych równań kwadratowych, o których wiadomo, że iterowane od zera prowadzą do powtarzającego się cyklu liczb. Ale jeśli ograniczysz c do wartości wymiernych — tych, które można zapisać w postaci ułamków — tylko trzy wartości ostatecznie generują ciągi okresowe: 0, –1 i –2. „Te dynamiczne systemy są bardzo, bardzo wyjątkowe” – powiedział Claytona Petsche’a Uniwersytetu Stanowego Oregonu.

In papier opublikowane w ubiegłym roku, Petsche i Chatchai Noytaptim Uniwersytetu Waterloo udowodniły, że są jeszcze bardziej wyjątkowe, niż się wydaje na pierwszy rzut oka. Matematycy przyjrzeli się liczbom „całkowicie rzeczywistym”, które są bardziej restrykcyjne niż liczby rzeczywiste, ale mniej restrykcyjne niż liczby racjonalne.

Jeśli podłączysz liczbę do wielomianu i otrzymasz wynik równy zero, liczba ta będzie rozwiązaniem lub pierwiastkiem wielomianu. Na przykład 2 jest pierwiastkiem f(x) = x² - 4 f(x) = x³ - 10x² + 31x – 30 i nieskończenie wiele innych równań. Takie wielomiany mogą mieć pierwiastki rzeczywiste lub pierwiastki złożone. (Na przykład korzenie x² + 1 to pierwiastek kwadratowy z –1, zapisany jako i, i -i — obie liczby zespolone.)

Liczba jest całkowicie rzeczywista, jeśli spełnia równanie wielomianowe o współczynnikach całkowitych, które ma tylko pierwiastki rzeczywiste. Wszystkie liczby wymierne są całkowicie rzeczywiste, ale niektóre liczby niewymierne również. Na przykład $latex sqrt{2}$ jest całkowicie realne, ponieważ jest rozwiązaniem f(x) = x² – 2, który ma tylko rzeczywiste korzenie ($latex sqrt{2}$ i jego „siostrzany” pierwiastek $latex -sqrt{2}$). Ale pierwiastek sześcienny z 2, $latex sqrt[3]{2}$, nie jest całkowicie rzeczywisty. To rozwiązanie f(x) = x³ – 2, który ma dodatkowe dwa siostrzane korzenie, znane również jako koniugaty Galois, które są złożone.

Petsche i Noytaptim udowodnili, że nie ma żadnych irracjonalnych, całkowicie rzeczywistych liczb, które ostatecznie dają cykle okresowe. Raczej 0, –1 i –2 to jedyne całkowicie rzeczywiste liczby, które to robią. Reprezentują nieprawdopodobne skrzyżowanie właściwości z dwóch pozornie różnych światów — teorii liczb (nauki o liczbach całkowitych) i systemów dynamicznych. Petsche i Noytaptim wykorzystali w swoim dowodzie ważne wyniki teorii liczb, podkreślając związek między tymi dwoma dziedzinami.

Matematycy Ksawery Buff i Sara Kocha znaleziono kolejne mało prawdopodobne skrzyżowanie. Pokazali, że tylko cztery całkowicie rzeczywiste wartości c — 1/4, –3/4, –5/4 i –7/4 — generują ciągi określonego, dobrze zrozumiałego typu, zwane cyklem parabolicznym.

Koniugaty Galois utorowały także drogę do odkrycia tajemniczego obiektu zwanego „bajglem entropijnym”, świecącego fraktalnego pierścienia w złożonej płaszczyźnie. Entropia jest miarą losowości; w tym kontekście mierzy, jak trudno jest przewidzieć sekwencję liczb wygenerowaną w wyniku iteracji x² + c, w ostatnia praca, którą napisał przed śmiercią w 2012 roku znany topolog William Thurston sporządził wykres zbioru wartości entropii odpowiadających prawie miliardowi różnych wartości rzeczywistych c — wraz z koniugacjami Galois tych wartości entropii, które mogą być złożone. Pojęcie entropii „jest zgodne z rzeczywistością, ale w jakiś sposób nadal można dostrzec ten cień złożonego świata” – powiedział Tiozzo.

„Widzicie, że to wszystko organizuje się w niesamowitą koronkową strukturę fraktalną” – powiedział Koch. "To takie fajne." Bajgiel entropijny to tylko jeden bardzo skomplikowany wzór, który wyłania się z iteracji rzeczywistych równań kwadratowych. „Wciąż uczymy się tych wszystkich magicznych stwierdzeń — małych perełek — na temat rzeczywistych wielomianów kwadratowych” – dodała. „Zawsze możesz wrócić i być zaskoczonym tym, co wydawało Ci się, że znasz doskonale”.