Jak duża jest nieskończoność?

Pod koniec przeboju Marvela Avengers: Endgame, nagrany hologram Tony'ego Starka żegna się ze swoją młodą córką, mówiąc: „Kocham cię 3,000”. Ten wzruszający moment przypomina wcześniejszą scenę, w której oboje są zaangażowani w zabawny rytuał przed snem, polegający na określeniu ilości ich wzajemnej miłości. Według Roberta Downeya Jr., aktora, który gra Starka, linia została zainspirowana podobnymi wymianami z własnymi dziećmi.

Gra może być świetnym sposobem na odkrywanie dużych liczb:

„Kocham cię 10”.

„Ale kocham cię 100”.

„Cóż, kocham cię 101!”

W ten sposób „googolplex” stał się popularnym słowem w moim domu. Ale wszyscy wiemy, dokąd ostatecznie prowadzi ten argument:

„Kocham cię w nieskończoność!”

"O tak? Kocham Cię nieskończoność plus 1!”

Czy to na placu zabaw, czy przed snem, dzieci stykają się z pojęciem nieskończoności na długo przed zajęciami z matematyki i, co zrozumiałe, rozwijają fascynację tą tajemniczą, skomplikowaną i ważną koncepcją. Niektóre z tych dzieci wyrastają na matematyków zafascynowanych nieskończonością, a niektórzy z tych matematyków odkrywają nowe i zaskakujące rzeczy na temat nieskończoności.

Być może wiesz, że niektóre zbiory liczb są nieskończenie duże, ale czy wiesz, że niektóre nieskończoności są większe od innych? I że nie jesteśmy pewni, czy istnieją inne nieskończoności wciśnięte między te dwie, które znamy najlepiej? Matematycy zastanawiają się nad tym drugim pytaniem od co najmniej wieku, a niektóre ostatnie prace zmieniły sposób, w jaki ludzie myślą o tym problemie.

Aby odpowiedzieć na pytania dotyczące wielkości zbiorów nieskończonych, zacznijmy od zbiorów, które łatwiej policzyć. Zbiór to zbiór obiektów lub elementów, a zbiór skończony to po prostu zbiór, który zawiera skończenie wiele obiektów.

Ustalenie rozmiaru skończonego zbioru jest łatwe: wystarczy policzyć liczbę elementów, które zawiera. Ponieważ zestaw jest skończony, wiesz, że w końcu przestaniesz liczyć, a kiedy skończysz, znasz rozmiar swojego zestawu.

Ta strategia nie działa z nieskończonymi zestawami. Oto zbiór liczb naturalnych, oznaczony ℕ. (Niektórzy mogą twierdzić, że zero nie jest liczbą naturalną, ale ta debata nie wpływa na nasze badania nieskończoności).

$lateksmathbb{N} = {0,1,2,3,4,5,…}$

Jaki jest rozmiar tego zestawu? Ponieważ nie ma największej liczby naturalnej, próba policzenia liczby elementów nie zadziała. Jednym z rozwiązań jest po prostu zadeklarowanie, że rozmiar tego nieskończonego zestawu to „nieskończoność”, co nie jest złe, ale kiedy zaczynasz eksplorować inne nieskończone zestawy, zdajesz sobie sprawę, że to też nie jest w porządku.

Rozważmy zbiór liczb rzeczywistych, które są wszystkimi liczbami, które można wyrazić w rozwinięciu dziesiętnym, takim jak 7, 3.2, −8.015, lub rozwinięciu nieskończonym, takim jak $latexsqrt{2} = 1.414213…$. Ponieważ każda liczba naturalna jest również liczbą rzeczywistą, zbiór liczb rzeczywistych jest co najmniej tak duży jak zbiór liczb naturalnych, a więc musi być również nieskończony.

Ale jest coś niezadowalającego w deklarowaniu, że rozmiar zbioru liczb rzeczywistych jest tą samą „nieskończonością” używaną do opisania rozmiaru liczb naturalnych. Aby zobaczyć dlaczego, wybierz dowolne dwie liczby, na przykład 3 i 7. Pomiędzy tymi dwiema liczbami zawsze będzie skończenie wiele liczb naturalnych: Tutaj są to liczby 4, 5 i 6. Ale zawsze będzie między nimi nieskończenie wiele liczb rzeczywistych, liczb jak 3.001, 3.01, π, 4.01023, 5.666… i tak dalej.

Co godne uwagi, bez względu na to, jak blisko siebie znajdują się dwie różne liczby rzeczywiste, zawsze pomiędzy nimi będzie nieskończenie wiele liczb rzeczywistych. Samo w sobie nie oznacza to, że zbiory liczb rzeczywistych i liczb naturalnych mają różne rozmiary, ale sugeruje, że jest coś fundamentalnie innego w tych dwóch nieskończonych zbiorach, co wymaga dalszych badań.

Pod koniec XIX wieku zbadał to matematyk Georg Cantor. Pokazał, że te dwa nieskończone zestawy naprawdę mają różne rozmiary. Aby zrozumieć i docenić, jak to zrobił, najpierw musimy zrozumieć, jak porównywać nieskończone zbiory. Sekret jest podstawą zajęć z matematyki wszędzie: funkcje.

Istnieje wiele różnych sposobów myślenia o funkcjach — notacja funkcji, taka jak $lateks f(x) = x^2 +1$, wykresy paraboli na płaszczyźnie kartezjańskiej, reguły takie jak „weź dane wejściowe i dodaj do nich 3” — ale tutaj będziemy myśleć o funkcji jako o sposobie dopasowania elementów jednego zestawu do elementów innego.

Weźmy jeden z tych zbiorów jako ℕ, zbiór liczb naturalnych. Do drugiego zestawu, który nazwiemy S, weźmiemy wszystkie parzyste liczby naturalne. Oto nasze dwa zestawy:

$lateksmathbb{N} = {0,1,2,3,4,…}$ $lateks S= {0,2,4,6,8,…}$

Istnieje prosta funkcja, która zamienia elementy ℕ w elementy S: $lateks f(x) = 2x$. Ta funkcja po prostu podwaja swoje dane wejściowe, więc jeśli pomyślimy o elementach ℕ jako o elementach wejściowych $lateksu f(x)$ (zbiór danych wejściowych funkcji nazywamy „domeną”), dane wyjściowe zawsze będą elementami S. Na przykład $lateks f(0)=0$, $lateks f(1) = 2$, $lateks f(2) = 4$, $lateks f(3) = 6$ i tak dalej.

Możesz to zwizualizować, ustawiając elementy dwóch zestawów obok siebie i używając strzałek, aby wskazać w jaki sposób funkcja $lateks f$ zamienia dane wejściowe z ℕ na dane wyjściowe w S.

Zauważ, że $latex f(x)$ przypisuje dokładnie jeden element S do każdego elementu ℕ. To właśnie robią funkcje, ale $lateks f(x)$ robi to w specjalny sposób. Po pierwsze, $latex f$ przypisuje wszystko w S do czegoś w ℕ. Używając terminologii funkcji mówimy, że każdy element S jest „obrazem” elementu ℕ pod funkcją $lateks f$. Na przykład liczba parzysta 3,472 to in Si możemy znaleźć x w ℕ taki, że $lateks f(x) = 3,472$ (czyli 1,736). W tej sytuacji mówimy, że funkcja $lateks f(x)$ odwzorowuje ℕ na S. Bardziej wyszukanym sposobem powiedzenia tego jest to, że funkcja $lateks f(x)$ jest „suriektywna”. Jakkolwiek to opisujesz, ważne jest to: Ponieważ funkcja $lateks f(x)$ zamienia wejścia z ℕ w wyjścia w S, nic w S zostaje pominięty w procesie.

Drugą szczególną rzeczą w sposobie, w jaki $latex f(x)$ przypisuje dane wyjściowe do danych wejściowych, jest to, że żadne dwa elementy w ℕ nie są przekształcane w ten sam element w S. Jeśli dwie liczby są różne, to ich sobowtóry są różne; 5 i 11 to różne liczby naturalne w ℕ, a ich wyjścia w S są też różne: 10 i 22. W tym przypadku mówimy, że $lateks f(x)$ to „1-do-1” (również pisane „1-1”), a $lateks f(x)$ opisujemy jako „zastrzyk”. Kluczem tutaj jest to, że nic w S zostanie użyty dwukrotnie: Każdy element w S jest sparowany tylko z jednym elementem w ℕ.

Te dwie cechy $lateksu f(x)$ łączą się w potężny sposób. Funkcja $lateks f(x)$ tworzy idealne dopasowanie pomiędzy elementami ℕ i elementami S. Fakt, że $lateks f(x)$ jest „na” oznacza, że ​​wszystko w S ma partnera w ℕ, a fakt, że $lateks f(x)$ wynosi 1 do 1 oznacza, że ​​nic w S ma dwóch partnerów w ℕ. W skrócie, funkcja $lateks f(x)$ paruje każdy element ℕ z dokładnie jednym elementem S.

Funkcja, która jest zarówno iniekcyjna, jak i surjektywna, nazywana jest bijekcją, a bijekcja tworzy korespondencję 1 do 1 między tymi dwoma zestawami. Oznacza to, że każdy element w jednym zestawie ma dokładnie jednego partnera w drugim zestawie i jest to jeden ze sposobów wykazania, że ​​dwa nieskończone zestawy mają ten sam rozmiar.

Ponieważ nasza funkcja $lateks f(x)$ jest bijekcją, pokazuje to, że dwa nieskończone zbiory ℕ i S są tego samego rozmiaru. To może wydawać się zaskakujące: w końcu każda nawet liczba naturalna sama w sobie jest liczbą naturalną, więc ℕ zawiera wszystko w S i więcej. Czy to nie powinno sprawić, że ℕ większe niż S? Gdybyśmy mieli do czynienia ze zbiorami skończonymi, odpowiedź byłaby tak. Ale jeden nieskończony zestaw może całkowicie zawierać inny i nadal mogą mieć ten sam rozmiar, tak jakby „nieskończoność plus 1” nie jest w rzeczywistości większą ilością miłości niż zwykła stara „nieskończoność”. To tylko jedna z wielu zaskakujących właściwości zbiorów nieskończonych.

Jeszcze większą niespodzianką może być to, że istnieje nieskończona ilość zestawów o różnych rozmiarach. Wcześniej zbadaliśmy różne natury nieskończonych zbiorów liczb rzeczywistych i naturalnych, a Cantor udowodnił, że te dwa nieskończone zbiory mają różne rozmiary. Zrobił to swoim błyskotliwym i słynnym argumentem ukośnym.

Ponieważ istnieje nieskończenie wiele liczb rzeczywistych między dowolnymi dwiema różnymi liczbami rzeczywistymi, skupmy się przez chwilę na nieskończenie wielu liczbach rzeczywistych między zerem a 1. Każda z tych liczb może być traktowana jako (prawdopodobnie nieskończone) rozwinięcie dziesiętne, w ten sposób.

Tutaj $lateks a_1, a_2, a_3$ i tak dalej to tylko cyfry liczby, ale będziemy wymagać, aby nie wszystkie cyfry były zerami, więc nie uwzględniamy samej liczby zero w naszym zestawie.

Argument diagonalny zasadniczo zaczyna się od pytania: co by się stało, gdyby istniała bijekcja między liczbami naturalnymi a liczbami rzeczywistymi? Gdyby taka funkcja istniała, dwa zbiory miałyby ten sam rozmiar i można by użyć tej funkcji, aby dopasować każdą liczbę rzeczywistą od zera do 1 do liczby naturalnej. Możesz sobie wyobrazić uporządkowaną listę dopasowań, taką jak ta.

Geniusz argumentu przekątnego polega na tym, że możesz użyć tej listy do skonstruowania liczby rzeczywistej, która nie może być na liście. Zacznij budować liczbę rzeczywistą cyfra po cyfrze w następujący sposób: Uczyń pierwszą cyfrę po przecinku inną niż $lateks a_1$, zrób drugą cyfrę inną niż $lateks b_2$, zrób trzecią cyfrę inną niż $lateks c_3 $ i tak dalej.

Ta liczba rzeczywista jest definiowana przez jej związek z przekątną listy. Czy jest na liście? Nie może to być pierwsza liczba na liście, ponieważ ma inną pierwszą cyfrę. Nie może też być drugą liczbą na liście, ponieważ ma inną drugą cyfrę. W rzeczywistości to nie może być nnumer na tej liście, bo ma inny ncyfra. I dotyczy to wszystkich n, więc ta nowa liczba, która mieści się w zakresie od zera do 1, nie może znajdować się na liście.

Ale wszystkie liczby rzeczywiste od zera do 1 miały być na liście! Ta sprzeczność wynika z założenia, że ​​istnieje bijekcja między liczbami naturalnymi a liczbami rzeczywistymi między zerem a 1, a więc taka bijekcja nie może istnieć. Oznacza to, że te nieskończone zestawy mają różne rozmiary. Trochę więcej pracy z funkcjami (patrz ćwiczenia) może pokazać, że zbiór wszystkich liczb rzeczywistych ma taki sam rozmiar jak zbiór wszystkich liczb rzeczywistych od zera do 1, a więc liczby rzeczywiste, które zawierają liczby naturalne, muszą być większy nieskończony zestaw.

Technicznym terminem określającym rozmiar zbioru nieskończonego jest jego „liczność”. Argument diagonalny pokazuje, że moc liczb rzeczywistych jest większa niż moc liczb naturalnych. Liczebność liczb naturalnych jest zapisywana jako $lateks aleph_0$, wymawiana „aleph naught”. W standardowym ujęciu matematyki jest to najmniejszy nieskończony kardynał.

Kolejnym nieskończonym kardynałem jest $lateks alef_1$ („alef jeden”), a proste pytanie od ponad stulecia wprawia matematyków w zakłopotanie: Czy $lateks alef_1$ to kardynalność liczb rzeczywistych? Innymi słowy, czy są jakieś inne nieskończoności między liczbami naturalnymi a liczbami rzeczywistymi? Cantor uważał, że odpowiedź brzmiała „nie” — twierdzenie, które stało się znane jako hipoteza kontinuum — ale nie był w stanie tego udowodnić. Na początku XX wieku pytanie to uznano za tak ważne, że kiedy David Hilbert zebrał swoją słynną listę 1900 ważnych otwartych problemów matematycznych, hipoteza kontinuum była numerem jeden.

Sto lat później dokonano znacznego postępu, ale ten postęp doprowadził do nowych tajemnic. W 1940 roku słynny logik Kurt Gödel udowodnił że zgodnie z powszechnie akceptowanymi zasadami teorii mnogości nie można udowodnić, że istnieje nieskończoność między nieskończonością liczb naturalnych a nieskończonością liczb rzeczywistych. Może się to wydawać dużym krokiem w kierunku udowodnienia, że ​​hipoteza continuum jest prawdziwa, ale dwie dekady później matematyk Paul Cohen okazały że nie da się udowodnić, że taka nieskończoność nie istnieje! Okazuje się, że hipotezy kontinuum nie można udowodnić w taki czy inny sposób.

Razem te wyniki ustaliły „niezależność” hipotezy kontinuum. Oznacza to, że powszechnie akceptowane reguły zbiorów po prostu nie mówią wystarczająco dużo, aby powiedzieć nam, czy między liczbami naturalnymi a rzeczywistymi istnieje nieskończoność. Ale zamiast zniechęcać matematyków w dążeniu do zrozumienia nieskończoności, poprowadziła ich w nowych kierunkach. Matematycy szukają teraz nowych fundamentalnych reguł dla zbiorów nieskończonych, które mogą zarówno wyjaśnić to, co już wiadomo o nieskończoności, jak i pomóc wypełnić luki.

Powiedzenie „Moja miłość do ciebie jest niezależna od aksjomatów” może nie być tak zabawne, jak powiedzenie „Kocham cię nieskończoność plus 1”, ale być może pomoże następnemu pokoleniu kochających nieskończoność matematyków dobrze się wyspać.

ćwiczenia

1. Niech $lateks T = {1,3,5,7,…}$, zbiór dodatnich nieparzystych liczb naturalnych. Jest T większy niż, mniejszy lub taki sam rozmiar jak ℕ, zbiór liczb naturalnych?

2. Znajdź zależność 1 do 1 między zbiorem liczb naturalnych, ℕ, a zbiorem liczb całkowitych $latexmathbb{Z}={…,-3,-2,-1,0,1,2,3, …}$.

3. Znajdź funkcję $lateks f(x)$, która jest bijekcją między zbiorem liczb rzeczywistych od zera do 1 a zbiorem liczb rzeczywistych większym od zera.

4. Znajdź funkcję będącą bijekcją między zbiorem liczb rzeczywistych od zera do 1 a zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych.

Kliknij, aby uzyskać odpowiedź 1:

Kliknij, aby uzyskać odpowiedź 2:

Kliknij, aby uzyskać odpowiedź 3:

Kliknij, aby uzyskać odpowiedź 4: