Wprowadzenie
Wyobraź sobie, że przed tobą rozciąga się siatka sześciokątów przypominających plaster miodu. Niektóre sześciokąty są puste; inne są wypełnione wysoką na 6 stóp kolumną z litego betonu. Rezultatem jest swego rodzaju labirynt. Od ponad pół wieku matematycy zadają pytania dotyczące takich losowo generowanych labiryntów. Jak duża jest największa sieć oczyszczonych ścieżek? Jakie są szanse, że istnieje ścieżka od jednej krawędzi do środka siatki i z powrotem? Jak zmieniają się te szanse w miarę powiększania się siatki, dodawania coraz większej liczby sześciokątów na jej krawędziach?
Na te pytania łatwo odpowiedzieć, jeśli jest albo dużo pustej przestrzeni, albo dużo betonu. Załóżmy, że każdemu sześciokątowi przypisano losowo swój stan, niezależnie od wszystkich pozostałych sześciokątów, z prawdopodobieństwem stałym w całej siatce. Może istnieć, powiedzmy, 1% szansy, że każdy sześciokąt jest pusty. Beton wypełnia siatkę, pozostawiając pomiędzy nimi jedynie małe kieszenie powietrza, co sprawia, że szansa na znalezienie drogi do krawędzi jest praktycznie zerowa. Z drugiej strony, jeśli istnieje 99% szans, że każdy sześciokąt jest pusty, znajduje się tam tylko niewielka ilość betonowych ścian, przerywających połacie otwartej przestrzeni – nie jest to duży labirynt. Znalezienie ścieżki od środka do krawędzi jest w tym przypadku niemal pewne.
W przypadku dużych siatek następuje niezwykle nagła zmiana, gdy prawdopodobieństwo osiąga 1/2. Podobnie jak lód topi się w ciekłą wodę dokładnie w temperaturze zero stopni Celsjusza, charakter labiryntu zmienia się drastycznie w tym punkcie przejściowym, zwanym prawdopodobieństwem krytycznym. Poniżej prawdopodobieństwa krytycznego większość siatki będzie znajdować się pod betonem, podczas gdy puste ścieżki niezmiennie prowadzą do ślepych zaułków. Powyżej krytycznego prawdopodobieństwa ogromne połacie pozostają puste, a betonowe ściany z pewnością znikną. Jeśli zatrzymasz się dokładnie przy krytycznym prawdopodobieństwie, beton i pustka zrównoważą się i żadne z nich nie będzie w stanie zdominować labiryntu.
„W punkcie krytycznym pojawia się wyższy stopień symetrii” – powiedział Michaela Aizenmana, fizyk matematyczny na Uniwersytecie Princeton. „To otwiera drzwi do ogromnej części matematyki”. Ma także praktyczne zastosowanie we wszystkim, od projektowania masek gazowych po analizy rozprzestrzeniania się chorób zakaźnych lub wyciekania ropy przez skały.
W artykuł opublikowany jesienią ubiegłego roku, czterech badaczy ostatecznie obliczyło szansę znalezienia ścieżki w labiryntach z prawdopodobieństwem krytycznym wynoszącym 1/2.
Wyścig zbrojeń
Jako doktorant we Francji w połowie 2000 r. Pierre’a Nolina szczegółowo przestudiował krytyczny scenariusz prawdopodobieństwa. Losowy labirynt, jego zdaniem, to „naprawdę piękny model, być może jeden z najprostszych modeli, jakie można wymyślić”. Pod koniec studiów doktoranckich, które ukończył w 2008 roku, Nolina urzekło szczególnie trudne pytanie o to, jak zachowuje się siatka sześciokątna przy prawdopodobieństwie krytycznym. Załóżmy, że budujesz siatkę wokół centralnego punktu, tak aby przypominała okrąg, i na tej podstawie losowo budujesz swój labirynt. Nolin chciał zbadać możliwość znalezienia otwartej ścieżki rozciągającej się od krawędzi do środka i z powrotem, bez zawracania. Matematycy nazywają to monochromatyczną ścieżką dwuramienną, ponieważ zarówno wewnętrzne, jak i zewnętrzne „ramiona” znajdują się na otwartych ścieżkach. (Czasami uważa się, że takie siatki składają się z dwóch różnych kolorów, powiedzmy jasnoniebieskiego i ciemnoniebieskiego, a nie z otwartych i zamkniętych komórek.) Jeśli zwiększysz rozmiar labiryntu, długość potrzebnej ścieżki również wzrośnie , a szansa na znalezienie takiej ścieżki będzie coraz mniejsza. Ale jak szybko szanse maleją, gdy labirynt staje się dowolnie duży?
Odpowiedzi na prostsze pytania pokrewne udzielono kilkadziesiąt lat temu. Obliczenia z 1979 roku wg Marcela den Nijsa oszacował szansę na znalezienie jednej ścieżki lub ramienia od krawędzi do środka. (Porównaj to z wymaganiem Nolina, aby jedno ramię było w środku, a drugie na zewnątrz). Praca Den Nijsa przewidywała, że szansa na znalezienie jednego ramienia w sześciokątnej siatce jest proporcjonalna do $latex 1/n^{5/48}$ , Gdzie n to liczba płytek od środka do krawędzi lub promień siatki. W 2002, Grzegorz Lawler, Odeda Schramma i Wendelina Wernera w końcu okazały że prognoza jednoramienna była słuszna. Aby zwięźle określić ilościowo malejące prawdopodobieństwo wraz ze wzrostem rozmiaru siatki, badacze używają wykładnika z mianownika 5/48, znanego jako wykładnik jednoramienny.
Nolin chciał obliczyć bardziej nieuchwytny monochromatyczny dwuramienny wykładnik. Symulacje numeryczne w 1999 roku pokazało, że było ono bardzo bliskie 0.3568, ale matematykom nie udało się ustalić jego dokładnej wartości.
Znacznie łatwiej było obliczyć tzw. wykładnik polichromatyczny dwuramienny, który charakteryzuje szansę, że zaczynając od środka, można znaleźć nie tylko „otwartą” ścieżkę do obwodu, ale także oddzielną „zamkniętą” ścieżkę. (Pomyśl o zamkniętej ścieżce jak o tej, która przebiega przez szczyty betonowych ścian labiryntu.) W 2001 roku Stanislav Smirnov i Werner okazały że wykładnik ten wynosił 1/4. (Ponieważ 1/4 jest znacznie większa niż 5/48, $lateks 1/n^{1/4}$ kurczy się szybciej niż $lateks 1/n^{5/48}$ jako n rośnie. Zatem szansa na polichromatyczną strukturę dwuramienną jest znacznie mniejsza niż szansa na jedno ramię, jak można by się spodziewać.)
Obliczenia te w dużej mierze opierały się na wiedzy o kształcie skupień na wykresie. Wyobraź sobie, że labirynt z prawdopodobieństwem krytycznym jest niezwykle duży — składa się z milionów sześciokątów. Teraz znajdź grupę pustych sześciokątów i prześledź krawędź grupy grubym czarnym Sharpie. Prawdopodobnie nie spowoduje to powstania prostej, okrągłej plamy. Z odległości wielu kilometrów w powietrzu widać wijącą się krzywą, która stale się podwaja, często sprawiając wrażenie, jakby miała się przeciąć, ale nigdy nie jest do końca widoczna.
Jest to rodzaj krzywej zwanej krzywą SLE, wprowadzonej przez Schramma w: a Papier 2000 które na nowo zdefiniowało tę dziedzinę. Matematyk badający szanse na znalezienie jednej ścieżki otwartej i jednej zamkniętej wie, że ścieżki te muszą znajdować się wewnątrz większych skupisk miejsc otwartych i zamkniętych, które ostatecznie spotykają się wzdłuż krzywej SLE. Właściwości matematyczne krzywych SLE przekładają się następnie na bezcenne informacje o ścieżkach w labiryncie. Jeśli jednak matematycy szukają wielu ścieżek tego samego typu, krzywe SLE tracą wiele ze swojej efektywności.
Do 2007 roku Nolin i jego współpracownik Vincent Beffara stworzyli symulacje numeryczne pokazujące, że monochromatyczny wykładnik dwuramienny wynosi około 0.35. Było to podejrzanie bliskie 17/48 — suma wykładnika jednoramiennego 5/48 i wykładnika polichromatycznego dwuramiennego 1/4 (lub 12/48). „17/48 jest naprawdę uderzający” – powiedział Nolin. Zaczął podejrzewać, że prawdziwą odpowiedzią jest 17/48, co oznacza, że istnieje proste powiązanie pomiędzy różnymi rodzajami wykładników. Można je po prostu dodać razem. „Powiedzieliśmy: OK, to zbyt piękne, aby było fałszywe; to musi być prawda.
Wprowadzenie
Przez jakiś czas nic nie wynikało z przypuszczeń Nolina i Beffary, chociaż Nolin zamieścił je na swojej stronie internetowej, aby inni mogli na nich pracować. W 2017 r. przeniósł się do Hongkongu, aby objąć stanowisko profesora na Uniwersytecie Miejskim w Hongkongu i dalej pracował nad problemem. W 2018 roku poruszył wykładnię w rozmowie z Wei Qiana, który był wówczas postdoktorem na Uniwersytecie Cambridge w Anglii. Qian badał geometrię losową w kontekście ciągłym, a nie dyskretnym, ze szczególnym uwzględnieniem krzywych SLE. Była w trakcie projektu, w którym wykorzystano SLE do obliczenia wykładników w innym typie modelu losowego i Nolin zaczęła podejrzewać, że jej wiedza specjalistyczna dotyczy również monochromatycznego wykładnika dwuramiennego. Para wkrótce znalazła proste pozornie równanie, którego rozwiązanie dałoby wykładnik, ale równanie to opierało się na wielkości pośredniej związanej z przestrzenią zamkniętą przez krzywą SLE na krawędzi siatki. Nolin i Qian nie potrafili ustalić tej liczby.
„Wykonałem wiele obliczeń, ale nadal nie byłem w stanie obliczyć tej właściwości” – powiedział Qian. „Nie udało mi się, więc po prostu przestałem na jakiś czas”.
„Nigdy nikomu o tym nie wspominaliśmy, ponieważ nie byliśmy pewni, czy będzie to przydatne, czy nie” – dodał Nolin.
Wykładnik kręgosłupa
Monochromatyczny wykładnik dwuramienny jest szczególnie interesujący, ponieważ opisuje również „kręgosłup” siatki: zbiór sześciokątów połączonych dwoma odrębnymi ramionami rozciągającymi się na dwa niezachodzące na siebie ramiona: jedno do krawędzi labiryntu i drugie do jego centrum. Kiedy te miejsca są pokolorowane, tworzą sieć rozciągającą się na całą siatkę i nazywaną szkieletem. Kiedy badacze modelują rozprzestrzenianie się chorób lub porowatych formacji skalnych, kręgosłup stanowi autostrada, wzdłuż której mogą przepływać drobnoustroje lub ropa. Wykładnik, którego szukali Nolin i Qian, ujawnia rozmiar szkieletu i jest nazywany wykładnikiem szkieletu.
Nolin i Qian nie byli jedynymi, którzy szukali kręgosłupa. Xin Słońce, wówczas na Uniwersytecie Pensylwanii, również próbował obliczyć wykładnik szkieletowy. W ciągu ostatnich lat Sun i współpracownicy, w tym Nina Holden z New York University, wymyślili sposób badania krzywych SLE przy użyciu losowych powierzchni fraktalnych. Te rozległe, zakrzywione powierzchnie mają zapiekane krawędzie, które rozciągają się w długie wąsy. Niektóre punkty znajdują się w niewielkiej odległości od sąsiadów, inne zaś to wielomiesięczna podróż. W niektórych miejscach efekty te są zbyt ekstremalne, aby można je było sobie wyobrazić. „Właściwie nie da się tego narysować całkowicie dokładnie” – stwierdził Holden. „Trzeba byłoby mocno rozciągnąć powierzchnię”.
Latem 2022 roku firma Sun zatrudniła Zijie Zhuanga, studenta drugiego roku studiów, do przyłączenia się do badań losowego labiryntu z prawdopodobieństwem krytycznym. Rozważali losowe labirynty, w których sześciokąty leżały na losowej powierzchni fraktalnej, a nie na płaskiej płaszczyźnie. Ponieważ przypadek określa, gdzie i jak bardzo powierzchnia jest rozciągana i ściskana, powierzchnia ma unikalne właściwości. (Te właściwości sprawiają, że takie powierzchnie są również przydatne dla fizyków badających modele grawitacji kwantowej w dwuwymiarowym wszechświecie, nadając im nazwę: powierzchnie grawitacji kwantowej Liouville). Na przykład, jeśli zbliżysz nożyczki do takiej powierzchni, kształty dwie połówki nie są od siebie zależne. „Ten rodzaj niezależności naprawdę ogromnie upraszcza wszystko” – stwierdził Scotta Sheffielda Instytutu Technologii Massachusetts. Kiedy rzeczy są przypadkowe, wiesz o nich mniej, ale może to oznaczać mniej informacji, które trzeba żmudnie wyjaśniać.
Sun i Zhuang najpierw próbowali określić prawdopodobieństwo istnienia otwartej ścieżki łączącej mały okrąg wokół środka siatki z większym, otaczającym go okręgiem. Gdy odpowiedzieli na to pytanie, Sun zasugerował zwiększenie ambicji: obliczenie prawdopodobieństwa, że istnieją dwie ścieżki łączące zagnieżdżone okręgi, co umożliwiłoby im obliczenie wykładnika szkieletu. Wkrótce jednak napotkali trudności. „Próbowaliśmy tego podejścia przez kilka miesięcy, ale obliczenia wydają się niezbyt praktyczne” – napisał Zhuang w e-mailu.
Wprowadzenie
W międzyczasie, chociaż Nolinowi i Qianowi nie udało się znaleźć wartości wykładnika, poczynili postępy w inny sposób. Qian wzięła urlop ze stanowiska we francuskim Narodowym Centrum Badań Naukowych i dołączyła do Nolin jako profesor na City University of Hong Kong. (Pobrali się też). Latem 2021 r. natrafiła na kilka artykułów Suna i jego współpracowników, które ją zaintrygowały, więc po zniesieniu ograniczeń w podróżowaniu w związku z pandemią zaplanowała wizytę w grudniu 2022 r. w Institute for Advanced Study w Princeton w New Jersey, gdzie Sun spędził rok.
Wizyta okazała się opłacalna. Kiedy Qian opisywał równanie znalezione przez nią i Nolin, Sun zaczął myśleć, że mogłoby ono pasować do techniki jego i Zhuanga polegającej na nakładaniu labiryntów na powierzchnie grawitacji kwantowej Liouville. „To rodzaj zbiegu okoliczności” – powiedział Sun. „Jeden facet ma zamek, drugi klucz”.
Zhuang był nieco sceptyczny. „Nie mamy żadnych przewidywań, nie wiemy nawet, czy formuła będzie miała dobre rozwiązanie” – powiedział, opisując ówczesny stan rzeczy. Sun i Zhuang spędzili kilka następnych miesięcy, korzystając ze swoich technik grawitacji kwantowej z Liouville – klucza – aby odblokować nieuchwytną wielkość w równaniu Nolina i Qiana sprzed lat – zamek.
Po czterech miesiącach pracy Sun i Zhuang otworzyli metaforyczny zamek. Firma Sun wysłała e-mail do Zhuanga, Qiana i Nolina, w którym ogłosiła: „Wspaniała wiadomość: dokładny wzór na wykładnik szkieletu”. Odkrył, że odpowiedzią jest umiarkowanie skomplikowane wyrażenie pierwiastka kwadratowego i funkcji sinus trygonometryczny. Był to, zgodnie z wcześniejszymi szacunkami, niekończący się strumień cyfr rozpoczynający się od 0.3566668.
Cała czwórka zamieniła swoją pracę w artykuł pisemny, dopracowując argumentację, aż pomysły Nolina i Qiana z jednej strony oraz Suna i Zhuanga z drugiej połączyły się, tworząc dowód na to, że Sheffield, który był promotorem doktora Suna, nazwał „pięknym klejnot." „Strategia dowodu jest zdecydowanie zaskakująca i bardzo oryginalna, ale kiedy ją zobaczysz, wydaje się to również czymś w rodzaju naturalnym” – powiedział Holden.
Nolin ubolewa nad swoim podejrzeniem z 2011 roku, że wykładnik wynosił dokładnie 17/48. „Przez dłuższy czas wprowadzaliśmy boisko w błąd. Nie jestem z tego zbyt dumny.” Wykładnik szkieletowy uderzająco różni się od swoich polichromatycznych kuzynów. Jest to nie tylko irracjonalne, ale także transcendentalne, co oznacza, że podobnie jak $latex pi$ i e, nie można go zapisać jako rozwiązania prostego równania wielomianowego.
„Dowód tak naprawdę nie wyjaśnia, skąd pochodzi ten wzór” – powiedział. „Pokazaliśmy to fizykom i nie możemy się doczekać ich spostrzeżeń”.
Transcendentalny charakter wykładnika szkieletowego przykuł uwagę innych specjalistów w tej dziedzinie. Gregory Huber z Chan Zuckerberg Biohub, który jest współautorem: artykuł uzupełniający na temat wykładnika podstawowego, powiedział, że jego zdaniem wynik jest „pierwszym przebłyskiem nowego kontynentu” w mechanice statystycznej. Chociaż połączenie krzywych SLE i grawitacji kwantowej Liouville'a jest niezwykle techniczne, jasna i prosta odpowiedź liczbowa, która się wyłoniła, napisał, jest „niezwykle prosta i elegancka”.
- Dystrybucja treści i PR oparta na SEO. Uzyskaj wzmocnienie już dziś.
- PlatoData.Network Pionowe generatywne AI. Wzmocnij się. Dostęp tutaj.
- PlatoAiStream. Inteligencja Web3. Wiedza wzmocniona. Dostęp tutaj.
- PlatonESG. Węgiel Czysta technologia, Energia, Środowisko, Słoneczny, Gospodarowanie odpadami. Dostęp tutaj.
- Platon Zdrowie. Inteligencja w zakresie biotechnologii i badań klinicznych. Dostęp tutaj.
- Źródło: https://www.quantamagazine.org/maze-proof-establishes-a-backbone-for-statistical-mechanics-20240207/
- :ma
- :Jest
- :nie
- :Gdzie
- ][P
- $W GÓRĘ
- 2001
- 2008
- 2011
- 2017
- 2018
- 2021
- 2022
- 35%
- a
- Zdolny
- O nas
- powyżej
- AC
- porozumienie
- Konto
- dokładnie
- w poprzek
- faktycznie
- Dodaj
- w dodatku
- dodanie
- zaawansowany
- Sprawy
- Po
- ponownie
- temu
- AIR
- Wszystkie kategorie
- wzdłuż
- również
- ambicja
- odpowiedzialny
- an
- analizuje
- i
- Inne
- odpowiedź
- ktoś
- aplikacje
- podejście
- przybliżony
- SĄ
- argument
- ARM
- Ramiona
- na około
- AS
- przydzielony
- At
- Uwaga
- z powrotem
- Kręgosłup
- Bilans
- BE
- piękny
- stał
- bo
- być
- zanim
- rozpoczął
- Początek
- poniżej
- pomiędzy
- Duży
- Bit
- Czarny
- Niebieski
- ciało
- obie
- przyniósł
- budować
- ale
- by
- obliczać
- obliczony
- obliczenie
- obliczenie
- Obliczenia
- nazywa
- Połączenia
- cambridge
- oprawa ołowiana witrażu
- CAN
- nie może
- walizka
- złapany
- Komórki
- Celsjusz
- Centrum
- centralny
- Wiek
- pewien
- wyzwanie
- chan
- szansa
- duża szansa,
- zmiana
- Zmiany
- charakter
- charakteryzuje
- Okrągłe
- koła
- Miasto
- Uniwersytet City w Hongkongu
- jasny
- Zamknij
- zamknięte
- Grupa
- zbieg okoliczności
- współpracownicy
- kolekcja
- Kolumna
- połączony
- łączenie
- jak
- przyjście
- zobowiązanie się
- całkowicie
- skomplikowane
- obliczenia
- obliczenia
- obliczać
- beton
- przypuszczenie
- połączony
- Podłączanie
- za
- stały
- stale
- kontekst
- ciągły
- kontrast
- Rozmowa
- skorygowania
- mógłby
- Stwórz
- stworzony
- krytyczny
- Krzyż
- krzywa
- Ciemny
- martwy
- lat
- grudzień
- Zdecydowanie
- Stopień
- zależeć
- opisane
- opisuje
- Opisujące
- Wnętrze
- detal
- Ustalać
- określa
- ZROBIŁ
- różne
- trudności
- cyfry
- zmniejsza się
- choroba
- choroby
- odrębny
- do
- Nie
- Zdominować
- nie
- Drzwi
- Debel
- na dół
- drastycznie
- rysować
- każdy
- Wcześniej
- łatwiej
- łatwo
- krawędź
- faktycznie
- skuteczność
- ruchomości
- bądź
- wyłonił
- wyłania się
- zakończenia
- Nieskończony
- kończy się
- Anglia
- Cały
- ustanawia
- szacunkowa
- Szacunki
- Parzyste
- ostatecznie
- Każdy
- wszystko
- dokładnie
- oczekiwać
- ekspertyza
- Wyjaśniać
- odkryj
- wyrażenie
- rozciągać się
- rozsuwalny
- skrajny
- niezwykle
- Failed
- fałszywy
- czuje
- kilka
- pole
- wzorzysty
- wypełniony
- W końcu
- Znajdź
- znalezieniu
- i terminów, a
- mieszkanie
- pływ
- Skupiać
- W razie zamówieenia projektu
- Nasz formularz
- formuła
- Naprzód
- znaleziono
- cztery
- Francja
- francuski
- od
- pełny
- funkcjonować
- GAS
- Klejnot
- wygenerowane
- otrzymać
- Dać
- dany
- Dający
- Dojrzeć
- dobry
- got
- absolwent
- wykres
- powaga
- wspaniały
- Krata
- Rosnąć
- Rośnie
- Facet
- miał
- Pół
- ręka
- Have
- mający
- he
- ciężko
- jej
- wyższy
- Autostrada
- jego
- Odsłon
- Hong
- Hongkong
- W jaki sposób
- Jednak
- HTML
- http
- HTTPS
- olbrzymi
- i
- ICE
- pomysły
- if
- obraz
- in
- W innych
- Włącznie z
- Zwiększać
- niezależność
- niezależny
- zakaźny
- Choroba zakaźna
- Informacja
- wewnątrz
- wgląd
- przykład
- zamiast
- Instytut
- ciekawy
- najnowszych
- wprowadzono
- nieoceniony
- niezmiennie
- irracjonalny
- IT
- JEGO
- samo
- Golf
- przystąpić
- Dołączył
- podróż
- właśnie
- trzymane
- Klawisz
- Uprzejmy
- rodzaje
- Wiedzieć
- wiedza
- znany
- wie
- Kong
- duży
- większe
- największym
- Nazwisko
- kłaść
- Pozostawiać
- pozostawiając
- lewo
- Długość
- mniej
- kłamstwo
- Wzniesiony
- lekki
- lubić
- LINK
- Ciecz
- zablokować
- długo
- poszukuje
- stracić
- Partia
- niższy
- zrobiony
- magazyn
- robić
- Dokonywanie
- Maski
- massachusetts
- Instytut Technologii w Massachusetts
- masywny
- matematyka
- matematyczny
- matematyka
- może
- oznaczać
- znaczenie
- mechanika
- Poznaj nasz
- wzmiankowany
- może
- miliony
- MIT
- model
- modele
- miernie
- miesięcy
- jeszcze
- większość
- przeniósł
- dużo
- wielokrotność
- musi
- Nazwa
- narodowy
- Naturalny
- Natura
- Blisko
- potrzebne
- sąsiedzi
- Ani
- nigdy
- Nowości
- New Jersey
- I Love New York
- aktualności
- Następny
- miło
- Nie
- nic
- już dziś
- numer
- Szansa
- of
- często
- Olej
- on
- ONE
- te
- tylko
- koncepcja
- otwierany
- otwiera
- or
- oryginalny
- Inne
- Pozostałe
- na zewnątrz
- koniec
- đôi
- pandemiczny
- Papier
- Papiery
- szczególnie
- ścieżka
- ścieżki
- Pensylwania
- Piotr
- fizyk
- Miejsca
- samolot
- planowany
- plato
- Analiza danych Platona
- PlatoDane
- kieszenie
- punkt
- zwrotnica
- stwarzane
- position
- możliwy
- napisali
- Praktyczny
- poprzedzający
- Przewiduje
- przepowiednia
- Przewidywania
- Princeton
- prawdopodobnie
- Problem
- Profesor
- rentowny
- Postęp
- projekt
- dowód
- niska zabudowa
- własność
- dumny
- okazały
- Magazyn ilościowy
- ilość
- Kwant
- pytanie
- pytania
- szybko
- całkiem
- przypadkowy
- generowane losowo
- raczej
- Osiąga
- naprawdę
- przedefiniowane
- , o którym mowa
- rafinacja
- związane z
- wymaganie
- Badania naukowe
- Badacze
- Ograniczenia
- dalsze
- ujawnia
- skała
- Korzenie
- okrągły
- Powiedział
- taki sam
- powiedzieć
- scenariusz
- naukowy
- poszukiwania
- widzieć
- wydaje
- wysłany
- oddzielny
- kilka
- Shape
- kształty
- ona
- Short
- pokazał
- bok
- Prosty
- upraszcza
- symulacje
- siedzieć
- Witryny
- Rozmiar
- sceptyczny
- mały
- mniejszy
- So
- solidny
- rozwiązanie
- kilka
- coś
- czasami
- wkrótce
- poszukiwany
- Typ przestrzeni
- specjalny
- Spędzanie
- spędził
- rozwalony
- rozpiętość
- Kwadratowa
- Startowy
- Stan
- statystyczny
- Ewolucja krok po kroku
- Nadal
- Stop
- zatrzymany
- Strategia
- strumień
- Struktura
- student
- Studiował
- badania naukowe
- Badanie
- Studiowanie
- w zasadzie
- osiągnąć sukces
- taki
- nagły
- lato
- Niedz
- pewnie
- Powierzchnia
- zaskakujący
- otaczający
- Podejrzanie
- Brać
- Techniczny
- technika
- Techniki
- Technologia
- niż
- że
- Połączenia
- Wykres
- Państwo
- ich
- Im
- następnie
- Tam.
- Te
- one
- cienki
- rzeczy
- myśleć
- Myśli
- to
- tych
- chociaż?
- myśl
- Przez
- czas
- do
- razem
- także
- wziął
- Topy
- Wyśledzić
- przejście
- tłumaczyć
- podróżować
- ogromnie
- wypróbowany
- prawdziwy
- stara
- Obrócony
- drugiej
- rodzaj
- pod
- wyjątkowy
- Wszechświat
- uniwersytet
- Uniwersytet Cambridge
- odblokować
- aż do
- posługiwać się
- używany
- użyteczny
- za pomocą
- wartość
- początku.
- vincent
- Odwiedzić
- poszukiwany
- była
- Waszyngton
- Uzdatnianie wody
- Droga..
- sposoby
- we
- sieć
- webp
- Strona internetowa
- DOBRZE
- były
- Co
- jeśli chodzi o komunikację i motywację
- czy
- który
- Podczas
- KIM
- którego
- będzie
- w
- w ciągu
- bez
- Praca
- pracujący
- by
- dałbym
- napisany
- napisał
- rok
- lat
- york
- You
- Twój
- zefirnet
- zero
- Zuckerberg