Jeśli chodzi o zrozumienie kształtu skupisk bąbelków, matematycy od tysiącleci nadrabiają zaległości w naszych fizycznych intuicjach. Klastry baniek mydlanych w naturze często wydają się natychmiast przeskakiwać do stanu o najniższej energii, który minimalizuje całkowitą powierzchnię ich ścian (w tym ścian między bańkami). Ale sprawdzenie, czy bańki mydlane wykonują to zadanie prawidłowo – lub po prostu przewidzenie, jak powinny wyglądać duże skupiska baniek – jest jednym z najtrudniejszych problemów w geometrii. Dopiero pod koniec XIX wieku matematycy udowodnili, że kula jest najlepszą pojedynczą bańką, mimo że grecki matematyk Zenodorus twierdził to ponad 19 lat wcześniej.
Problem z bąbelkami jest dość prosty, aby stwierdzić: zaczynasz od listy liczb dla objętości, a następnie pytasz, jak osobno zamknąć te objętości powietrza przy użyciu najmniejszej powierzchni. Ale aby rozwiązać ten problem, matematycy muszą rozważyć szeroki zakres różnych możliwych kształtów ścian pęcherzyków. A jeśli zadaniem jest zamknięcie, powiedzmy, pięciu tomów, nie mamy nawet luksusu ograniczania naszej uwagi do skupisk pięciu bąbelków — być może najlepszym sposobem na zminimalizowanie pola powierzchni jest podzielenie jednej z objętości na wiele bąbelków.
Nawet w prostszym ustawieniu płaszczyzny dwuwymiarowej (gdzie próbujesz objąć zbiór obszarów przy minimalizacji obwodu), nikt nie zna najlepszego sposobu objęcia, powiedzmy, dziewięciu lub dziesięciu obszarów. Wraz ze wzrostem liczby bąbelków „szybko, nie można nawet uzyskać żadnych wiarygodnych przypuszczeń”, powiedział Emanuela Milmana Technion w Hajfie w Izraelu.
Ale ponad ćwierć wieku temu John Sullivan, obecnie z Politechniki Berlińskiej, zdał sobie sprawę, że w niektórych przypadkach istnieje przypuszczenie przewodnie mieć. Problemy z bąbelkami mają sens w każdym wymiarze, a Sullivan odkrył, że dopóki liczba tomów, które próbujesz objąć, jest co najwyżej o jeden większa niż wymiar, istnieje szczególny sposób objęcia tomów, które w pewnym sensie piękniejszy niż jakikolwiek inny — rodzaj cienia idealnie symetrycznej gromady bąbelków na kuli. Przypuszczał, że ta gromada cieni powinna być tą, która minimalizuje powierzchnię.
W ciągu następnej dekady matematycy napisali serię przełomowych artykułów potwierdzających przypuszczenie Sullivana, gdy próbujesz zamieścić tylko dwa tomy. Tutaj rozwiązaniem jest znajoma podwójna bańka, którą mogłeś wydmuchać w parku w słoneczny dzień, złożona z dwóch kulistych kawałków z płaską lub kulistą ścianą między nimi (w zależności od tego, czy dwie bańki mają taką samą lub różną objętość).
Ale udowadniając hipotezę Sullivana dotyczącą trzech tomów, matematyk… Franka Morgana Williams College spekulować w 2007 roku „może zająć kolejne sto lat”.
Teraz matematykom oszczędzono tak długiego oczekiwania – i otrzymali znacznie więcej niż tylko rozwiązanie problemu potrójnej bańki. W papier opublikowane online w maju, Milman i Joe Neemanaz University of Texas w Austin udowodnili hipotezę Sullivana dotyczącą potrójnych bąbelków w wymiarze trzecim i wyższym oraz poczwórnych bąbelków w wymiarze czwartym i wyższym, wraz z kolejnym artykułem na temat pięciokrotnych bąbelków w wymiarze piątym i wyższym.
A jeśli chodzi o sześć lub więcej baniek, Milman i Neeman pokazali, że najlepsza gromada musi mieć wiele kluczowych atrybutów kandydata Sullivana, potencjalnie otwierając matematyków na drodze do udowodnienia hipotezy również w tych przypadkach. „Mam wrażenie, że zrozumieli podstawową strukturę hipotezy Sullivana” — powiedział Francesca Maggiego Uniwersytetu Teksańskiego w Austin.
Główne twierdzenie Milmana i Neemana jest „monumentalne”, napisał Morgan w e-mailu. „To wspaniałe osiągnięcie z wieloma nowymi pomysłami”.
Bąbelki Cienia
Nasze doświadczenia z prawdziwymi bańkami mydlanymi oferują kuszące intuicje dotyczące tego, jak powinny wyglądać optymalne skupiska baniek, przynajmniej jeśli chodzi o małe skupiska. Potrójne lub poczwórne bąbelki, które wydmuchujemy przez mydlane różdżki, wydają się mieć sferyczne ściany (czasem płaskie) i mają tendencję do tworzenia ciasnych grudek, a nie, powiedzmy, długiego łańcucha bąbelków.
Ale nie jest tak łatwo udowodnić, że są to naprawdę cechy optymalnych klasterów pęcherzyków. Na przykład matematycy nie wiedzą, czy ściany w minimalizującej się grupie bąbelków są zawsze kuliste czy płaskie — wiedzą tylko, że ściany mają „stałą średnią krzywiznę”, co oznacza, że średnia krzywizna pozostaje taka sama od jednego punktu do drugiego. Sfery i płaskie powierzchnie mają tę właściwość, podobnie jak wiele innych powierzchni, takich jak cylindry i faliste kształty zwane unduloidami. Powierzchnie o stałej średniej krzywiźnie to „kompletne zoo”, powiedział Milman.
Ale w latach 1990. Sullivan zauważył, że gdy liczba tomów, które chcesz objąć, jest co najwyżej o jeden większa niż wymiar, istnieje klaster kandydujący, który wydaje się przyćmić resztę — jeden (i tylko jeden) klaster, który ma cechy, do których dążymy. zobaczyć w małych skupiskach prawdziwych baniek mydlanych.
Aby poczuć, jak taki kandydat jest zbudowany, wykorzystajmy podejście Sullivana do stworzenia trójpęcherzykowego skupiska na płaskiej płaszczyźnie (więc nasze „pęcherzyki” będą regionami na płaszczyźnie, a nie trójwymiarowymi obiektami). Zaczynamy od wybrania czterech punktów na kuli, które znajdują się w tej samej odległości od siebie. Teraz wyobraź sobie, że każdy z tych czterech punktów jest środkiem małego bąbelka, żyjącego tylko na powierzchni kuli (tak, że każdy bąbelek jest małym dyskiem). Napompuj cztery bąbelki na kuli, aż zaczną wpadać na siebie, a następnie napompuj, aż wspólnie wypełnią całą powierzchnię. Kończymy z symetrycznym skupiskiem czterech bąbelków, które sprawia, że kula wygląda jak rozdęty czworościan.
Następnie umieszczamy tę kulę na nieskończonej płaskiej płaszczyźnie, tak jakby kula była kulą spoczywającą na nieskończonej podłodze. Wyobraź sobie, że kula jest przezroczysta, a na biegunie północnym znajduje się latarnia. Ściany czterech bąbelków będą rzucać cienie na podłogę, tworząc tam ściany skupiska bąbelków. Z czterech bąbelków na sferze trzy będą rzutować w dół, tworząc cień bąbelków na podłodze; czwarta bańka (ta zawierająca biegun północny) będzie wystawać w dół do nieskończonej przestrzeni podłogi poza skupiskiem trzech baniek cienia.
Konkretna gromada trzech bąbelków, którą otrzymamy, zależy od tego, w jaki sposób umieściliśmy kulę, gdy kładziemy ją na podłodze. Jeśli obrócimy kulę tak, aby inny punkt przesunął się na latarnię na biegunie północnym, zazwyczaj otrzymamy inny cień, a trzy bąbelki na podłodze będą miały różne obszary. Matematycy mają okazały że dla dowolnych trzech liczb, które wybierzesz dla obszarów, istnieje zasadniczo jeden sposób umieszczenia kuli, aby trzy bąbelki cienia miały dokładnie te obszary.
Możemy przeprowadzić ten proces w dowolnym wymiarze (chociaż cienie w wyższych wymiarach są trudniejsze do wizualizacji). Ale istnieje limit liczby bąbelków, które możemy mieć w naszej gromady cieni. W powyższym przykładzie nie moglibyśmy stworzyć gromady składającej się z czterech bąbelków w samolocie. Wymagałoby to rozpoczęcia od pięciu punktów na sferze, które są w tej samej odległości od siebie — ale niemożliwe jest umieszczenie tylu równoodległych punktów na sferze (chociaż można to zrobić z sferami o wyższych wymiarach). Procedura Sullivana działa tylko przy tworzeniu skupisk do trzech bąbelków w przestrzeni dwuwymiarowej, czterech bąbelków w przestrzeni trójwymiarowej, pięciu bąbelków w przestrzeni czterowymiarowej i tak dalej. Poza tymi zakresami parametrów, klastry bąbelkowe w stylu Sullivana po prostu nie istnieją.
Ale w ramach tych parametrów procedura Sullivana daje nam skupiska bąbelków w warunkach znacznie wykraczających poza to, co nasza fizyczna intuicja może pojąć. „Nie da się zwizualizować tego, co jest 15-bańką w [23-wymiarowej przestrzeni]” – powiedział Maggi. „Jak marzysz o opisaniu takiego przedmiotu?”
Jednak kandydaci Sullivana na bańki dziedziczą po swoich kulistych przodkach unikalny zbiór właściwości przypominających bańki, które widzimy w naturze. Wszystkie ich ściany są kuliste lub płaskie, a gdziekolwiek spotykają się trzy ściany, tworzą kąty 120 stopni, jak w symetrycznym kształcie Y. Każdy z woluminów, które próbujesz objąć, znajduje się w jednym regionie, a nie w wielu regionach. I każda bańka dotyka się nawzajem (i na zewnątrz), tworząc zwartą gromadę. Matematycy wykazali, że bańki Sullivana są jedynymi skupiskami, które spełniają wszystkie te właściwości.
Kiedy Sullivan postawił hipotezę, że powinny to być gromady, które minimalizują powierzchnię, zasadniczo powiedział: „Załóżmy piękno”, powiedziała Maggi.
Ale badacze baniek mają powody, by nie chcieć zakładać, że tylko dlatego, że proponowane rozwiązanie jest piękne, jest poprawne. „Istnieją bardzo znane problemy… gdzie można by oczekiwać symetrii dla minimalizatorów, a symetria spektakularnie zawodzi” – powiedział Maggi.
Na przykład istnieje ściśle powiązany problem wypełniania nieskończonej przestrzeni bąbelkami o równej objętości w sposób minimalizujący powierzchnię. W 1887 roku brytyjski matematyk i fizyk Lord Kelvin zasugerował, że rozwiązaniem może być elegancka struktura przypominająca plaster miodu. Przez ponad sto lat wielu matematyków wierzyło, że jest to prawdopodobna odpowiedź — aż do 1993 roku, kiedy para fizyków zidentyfikował lepszy, choć mniej symetryczna, opcja. „Matematyka jest pełna… przykładów, w których zdarzają się takie dziwne rzeczy” – powiedziała Maggi.
Ciemna sztuka
Kiedy Sullivan ogłosił swoje przypuszczenie w 1995 roku, jego część z dwoma pęcherzykami krążyła już od stulecia. Matematycy rozwiązali Problem podwójnego bąbelka 2D dwa lata wcześniej, a w kolejnej dekadzie rozwiązali go w: trójwymiarowa przestrzeń a następnie w wyższy Wymiary. Ale kiedy doszło do kolejnego przypadku hipotezy Sullivana — potrójnych baniek — mogli… udowodnić przypuszczenie tylko w płaszczyźnie dwuwymiarowej, gdzie interfejsy między bąbelkami są szczególnie proste.
Następnie w 2018 roku Milman i Neeman udowodnili analogiczną wersję przypuszczenia Sullivana w sytuacji znanej jako problem bańki Gaussa. W tym ustawieniu możesz myśleć o każdym punkcie w przestrzeni jako o wartości pieniężnej: punkt początkowy jest najdroższym miejscem, a im dalej od punktu początkowego, tym tańsza staje się ziemia, tworząca krzywą dzwonową. Celem jest tworzenie obudów z predefiniowanymi cenami (zamiast predefiniowanych objętości), w sposób minimalizujący koszt granic obudów (zamiast powierzchni granic). Ten problem z bańką Gaussa ma zastosowanie w informatyce do zaokrąglania schematów i kwestii wrażliwości na hałas.
Milman i Neeman złożyli swoje dowód do Roczniki matematyki, prawdopodobnie najbardziej prestiżowe czasopismo matematyczne (gdzie zostało później przyjęte). Ale para nie miała zamiaru nazywać tego dniem. Ich metody wydawały się obiecujące również w przypadku klasycznego problemu bańki.
Przez kilka lat rzucali pomysłami tam iz powrotem. „Mieliśmy 200-stronicowy dokument z notatkami” – powiedział Milman. Na początku wydawało się, że robią postępy. „Ale potem szybko zmieniło się w: „Próbowaliśmy tego kierunku – nie. Próbowaliśmy [w tym] kierunku – nie”. Aby zabezpieczyć swoje zakłady, obaj matematycy realizowali również inne projekty.
Jesienią ubiegłego roku Milman przyszedł na urlop i postanowił odwiedzić Neemana, aby para mogła skoncentrować się na problemie bubble. „Podczas urlopu to dobry czas, aby spróbować rzeczy o wysokim ryzyku i wysokim zysku” – powiedział Milman.
Przez pierwsze kilka miesięcy nie osiągnęli niczego. W końcu postanowili dać sobie nieco łatwiejsze zadanie niż pełne przypuszczenie Sullivana. Jeśli dasz swoim bąbelkom dodatkowy wymiar przestrzeni do oddychania, dostaniesz premię: najlepsze skupisko bąbelków będzie miało lustrzaną symetrię w płaszczyźnie centralnej.
Przypuszczenie Sullivana dotyczy potrójnych bąbelków w wymiarze drugim i wyższym, poczwórnych bąbelków w wymiarze trzecim i wyższym i tak dalej. Aby uzyskać dodatkową symetrię, Milman i Neeman ograniczyli swoją uwagę do potrójnych bąbelków w wymiarze trzecim i wyższym, poczwórnych bąbelków w wymiarze czwartym i wyższym i tak dalej. „Tak naprawdę dopiero wtedy, gdy zrezygnowaliśmy z uzyskiwania go dla pełnego zakresu parametrów, naprawdę poczyniliśmy postępy” – powiedział Neeman.
Mając do dyspozycji tę lustrzaną symetrię, Milman i Neeman wymyślili argument dotyczący perturbacji, który polega na lekkim napompowaniu połowy gromady bąbelków, która znajduje się nad lustrem, i opróżnieniu połowy znajdującej się pod nim. Ta perturbacja nie zmieni objętości bąbelków, ale może zmienić ich powierzchnię. Milman i Neeman wykazali, że jeśli optymalna gromada pęcherzyków ma jakiekolwiek ściany, które nie są sferyczne ani płaskie, będzie sposób na dobranie tej perturbacji w taki sposób, aby zmniejszała powierzchnię gromady — sprzeczność, ponieważ optymalna gromada ma już najmniejszą powierzchnię obszar możliwy.
Wykorzystanie perturbacji do badania bąbelków nie jest nowym pomysłem, ale ustalenie, które perturbacje wykryją ważne cechy gromady bąbelków, jest „trochę mroczną sztuką” – powiedział Neeman.
Z perspektywy czasu „kiedy zobaczysz [perturbacje Milmana i Neemana], wyglądają one całkiem naturalnie” – powiedział. Joela Hassa Uniwersytetu Kalifornijskiego w Davis.
Ale rozpoznanie perturbacji jako naturalnych jest znacznie łatwiejsze niż wymyślenie ich od samego początku, powiedział Maggi. „To zdecydowanie nie jest coś, co można powiedzieć:„ W końcu ludzie by to znaleźli ”- powiedział. „To naprawdę genialne na bardzo niezwykłym poziomie”.
Milman i Neeman byli w stanie wykorzystać swoje perturbacje, aby pokazać, że optymalna gromada bąbelków musi spełniać wszystkie podstawowe cechy gromad Sullivana, z wyjątkiem być może jednej: warunku, że każdy bąbel musi stykać się ze sobą. Ten ostatni wymóg zmusił Milmana i Neemana do zmagania się ze wszystkimi sposobami, w jakie bąbelki mogą łączyć się w gromadę. Jeśli chodzi o tylko trzy lub cztery bańki, nie ma zbyt wielu możliwości do rozważenia. Ale wraz ze wzrostem liczby bąbelków liczba różnych możliwych wzorców połączeń rośnie, nawet szybciej niż wykładniczo.
Milman i Neeman początkowo mieli nadzieję znaleźć nadrzędną zasadę, która obejmowałaby wszystkie te przypadki. Ale po spędzeniu kilku miesięcy na „łamaniu sobie głów”, powiedział Milman, postanowili na razie zadowolić się bardziej doraźnym podejściem, które pozwoliło im poradzić sobie z potrójnymi i poczwórnymi bańkami. Ogłosili również nieopublikowany dowód na to, że pięciokrotna bańka Sullivana jest optymalna, chociaż nie ustalili jeszcze, że jest to jedyna optymalna gromada.
Praca Milmana i Neemana to „całkowicie nowe podejście, a nie rozszerzenie poprzednich metod”, napisał Morgan w e-mailu. Jest prawdopodobne, jak przewidział Maggi, że to podejście można popchnąć jeszcze dalej — być może do skupisk więcej niż pięciu bąbelków lub do przypadków hipotezy Sullivana, które nie mają symetrii lustrzanej.
Nikt nie oczekuje, że dalszy postęp przyjdzie łatwo; ale to nigdy nie odstraszyło Milmana i Neemana. „Z mojego doświadczenia” – powiedział Milman – „wszystkie najważniejsze rzeczy, które miałem szczęście zrobić, wymagały po prostu niepoddawania się”.
