Prawdopodobieństwo i teoria liczb zderzają się — za chwilę

Ich ambicje zawsze były wysokie. Kiedy Will Sawin i Melanie Matchett Wood po raz pierwszy rozpoczęli współpracę latem 2020 roku, postanowili przemyśleć na nowo kluczowe elementy niektórych z najbardziej kuszących przypuszczeń w teorii liczb. Przedmioty ich zainteresowania, grupy klas, są ściśle związane z podstawowymi pytaniami o to, jak działa arytmetyka, gdy liczby są rozszerzane poza liczby całkowite. Sawina, na Uniwersytecie Columbia i Drewno, na Harvardzie, chciał przewidywać struktury, które są jeszcze bardziej ogólne i matematycznie zastraszające niż grupa klasowa.

Jeszcze zanim skończyli formułować swoje przewidywania, w październiku udowodnili nowy wynik pozwala matematykom zastosować jedno z najbardziej użytecznych narzędzi teorii prawdopodobieństwa nie tylko do grup klas, ale także do zbiorów liczb, sieci i wielu innych obiektów matematycznych.

„To będzie po prostu podstawowy dokument, do którego wszyscy się zwrócą, gdy zaczną myśleć o tych problemach” – powiedział Davida Zureick-Browna, matematyk z Emory University. „Nie wydaje się już, że trzeba wymyślać rzeczy od podstaw”.

Akt klasowy

Grupa klas jest przykładem ustrukturyzowanego zestawu matematycznego zwanego grupą. Grupy obejmują wiele znanych zestawów, takich jak liczby całkowite. Tym, co sprawia, że ​​liczby całkowite są grupą, a nie tylko zbiorem liczb, jest to, że możesz dodać ich elementy do siebie i otrzymać kolejną liczbę całkowitą. Ogólnie rzecz biorąc, zbiór jest grupą, jeśli zawiera jakąś operację, która, na przykład dodawanie, łączy dwa elementy w trzeci element w sposób spełniający pewne podstawowe wymagania. Na przykład powinna istnieć wersja zero, element, który nie zmienia żadnego z pozostałych.

Liczby całkowite, które matematycy zwykle nazywają $latex mathbb{Z}$, są nieskończone. Ale wiele grup ma skończoną liczbę elementów. Na przykład, aby utworzyć grupę składającą się z czterech elementów, rozważ zbiór {0, 1, 2, 3}. Zamiast wykonywać regularne dodawanie, podziel sumę dowolnych dwóch liczb przez 4 i weź resztę. (Zgodnie z tymi regułami 2 + 2 = 0 i 2 + 3 = 1.) Ta grupa nazywa się $latex mathbb{Z}/4mathbb{Z}$.

Ogólnie rzecz biorąc, jeśli chcesz utworzyć grupę z elementami $latex n$, możesz przejść przez liczby od zera n – 1 i weź pod uwagę resztę przy dzieleniu przez n. Wynikowa grupa nosi nazwę $latex mathbb{Z}/nmathbb{Z}$, choć nie zawsze jest to jedyna grupa n elementy.

Grupa klasowa pojawia się, gdy teoretycy liczb badają strukturę liczb poza liczbami całkowitymi. Aby to zrobić, dodają nowe liczby do liczb całkowitych, takich jak i (pierwiastek kwadratowy z −1), $latex sqrt{5}$, a nawet $latex sqrt{–5}$.

„Rzeczy, do których jesteśmy przyzwyczajeni w liczbach, nie są już prawdziwe w tym kontekście. A przynajmniej niekoniecznie muszą być prawdziwe” – powiedział Jordan ellenberg, matematyk z University of Wisconsin w Madison.

W szczególności faktoring działa inaczej w rozszerzeniach liczb całkowitych. Jeśli trzymasz się tylko liczb całkowitych, liczby można rozłożyć na liczby pierwsze (liczby, które można podzielić tylko przez siebie i 1) tylko w jeden sposób. Na przykład 6 to 2 × 3 i nie można jej rozłożyć na inne liczby pierwsze. Właściwość ta nazywana jest faktoryzacją jednoznaczną.

Ale jeśli dodasz $latex sqrt{–5}$ do swojego systemu liczbowego, nie będziesz już mieć unikalnego rozkładu na czynniki. Możesz rozłożyć 6 na liczby pierwsze na dwa różne sposoby. Nadal jest to 2 × 3, ale jest to również $latex (1 + sqrt{–5})$ × $latex (1 – sqrt{–5})$.

Grupy klas są tworzone z takich rozszerzeń do liczb całkowitych. „Grupy klasowe są niezwykle ważne” — powiedział Wood. „Dlatego naturalne jest zastanawianie się: jakie są zwykle?”

Wielkość grupy klas związanej z jakimkolwiek rozszerzeniem liczb całkowitych jest barometrem tego, jak bardzo rozkłada się unikalna faktoryzacja. Chociaż matematycy udowodnili, że grupy klas są zawsze skończone, ustalenie ich struktury i rozmiaru jest skomplikowane. Dlatego w 1984 roku Henri Cohen i Hendrik Lenstra zaryzykował kilka domysłów. Ich hipotezy, zwane obecnie heurystykami Cohena-Lenstry, dotyczyły wszystkich grup klas, które pojawiają się, gdy do liczb całkowitych doda się nowe pierwiastki kwadratowe. Gdyby zebrać wszystkie te grupy klasowe, Cohen i Lenstra zasugerowali odpowiedzi na pytania typu: Jaka część z nich zawiera grupę $latex mathbb{Z}/3mathbb{Z}$? Lub $latex mathbb{Z}/7mathbb{Z}$? Lub jakiś inny znany typ grupy skończonej?

Cohen i Lenstra skłonili teoretyków liczb do rozważenia nie tylko pojedynczych przykładów grup klasowych, ale także statystyk leżących u podstaw grup klasowych jako całości. Ich przewidywania nawiązywały do ​​wizji matematyki jako wszechświata z wzorami do odkrycia na każdym poziomie.

Prawie 40 lat później powszechnie uważa się, że heurystyka Cohena-Lenstry jest prawdziwa, chociaż nikt nie zbliżył się do jej udowodnienia. Ich wpływ na matematykę był namacalny, powiedział Nigel Boston, emerytowany profesor na Uniwersytecie Wisconsin w Madison. „To, co zostało odkryte, to ta niesamowita sieć” – powiedział. „Istnieje ogromna infrastruktura sposobu, w jaki myślimy, że świat jest złożony”.

Jedyna gra w mieście

Nie mogąc bezpośrednio zająć się heurystyką, matematycy wymyślili łatwiejsze do rozwiązania problemy, które, jak mieli nadzieję, rozjaśniłyby sytuację. Z tej pracy wyłonił się użyteczny zestaw wielkości, które matematycy zaczęli nazywać momentami, od terminu używanego w teorii prawdopodobieństwa.

Najprawdopodobniej momenty mogą pomóc w ustaleniu rozkładów liczb losowych. Rozważmy na przykład rozkład dziennej wysokiej temperatury 1 stycznia w Nowym Jorku — prawdopodobieństwo, że 1 stycznia przyszłego roku będzie to 10 stopni Fahrenheita, czyli 40 stopni, 70 lub 120. Wszystko, co musisz zrobić, to pracować z danymi przeszłymi: historią dziennego maksimum 1 stycznia każdego roku od początku zarejestrowanej historii.

Jeśli obliczysz średnią z tych temperatur, dowiesz się trochę, ale nie wszystkiego. Średnia wysoka temperatura 40 stopni nie mówi ci, jakie są szanse, że temperatura będzie wyższa niż 50 stopni lub niższa niż 20.

Ale to się zmienia, jeśli otrzymasz więcej informacji. W szczególności możesz poznać średnią kwadratową temperatury, wielkość znaną jako drugi moment rozkładu. (Średnia to pierwsza chwila.) Możesz też nauczyć się średniej sześcianów, która jest znana jako trzeci moment, lub średniej czwartej potęgi — czwartej chwili.

W latach dwudziestych matematycy doszli do wniosku, że jeśli momenty w tym szeregu rosną wystarczająco wolno, to znajomość wszystkich momentów pozwala wywnioskować, że istnieje tylko jeden możliwy rozkład tych momentów. (Chociaż niekoniecznie pozwala to bezpośrednio obliczyć ten rozkład).

„To naprawdę nieintuicyjne” — powiedział Wood. „Jeśli myślisz o ciągłej dystrybucji, ma ona pewien kształt. Wydaje się, że ma więcej niż można uchwycić w sekwencji liczb.

Matematycy zainteresowani heurystyką Cohena-Lenstry doszli do wniosku, że tak jak momenty w teorii prawdopodobieństwa można wykorzystać do uzyskania rozkładu prawdopodobieństwa, momenty określone w określony sposób dla grup klas mogą być soczewką, przez którą możemy zobaczyć ich wielkość i strukturę . Jacob Tsimerman, matematyk z University of Toronto, powiedział, że nie może sobie wyobrazić, jak można bezpośrednio obliczyć rozkład liczebności klas. Wykorzystanie chwil, powiedział, jest „więcej niż łatwiejsze. To jedyna gra w mieście.

Ten magiczny moment

Podczas gdy każdy moment prawdopodobieństwa jest powiązany z liczbą całkowitą — trzecią potęgą, czwartą potęgą itd. — każda z nowych wielkości wprowadzonych przez teoretyków liczb odpowiada grupie. Te nowe momenty zależą od tego, że często możesz zredukować grupę do mniejszej grupy, składając razem różne elementy.

Aby obliczyć moment związany z grupą G, weź wszystkie możliwe grupy klas — po jednej dla każdego nowego pierwiastka kwadratowego dodanego do liczb całkowitych. Dla każdej grupy klas policz liczbę różnych sposobów, w jakie możesz ją zwinąć G. Następnie weź średnią z tych liczb. Ten proces może wydawać się zawiły, ale jest o wiele łatwiejszy w obsłudze niż rzeczywista dystrybucja kryjąca się za przewidywaniami Cohena i Lenstry. Chociaż same heurystyki Cohena-Lenstry są skomplikowane do określenia, wszystkie przewidywane przez nie momenty rozkładu wynoszą 1.

„To sprawia, że ​​​​myślisz, wow, może momenty są naturalnym sposobem podejścia do tego” – powiedział Ellenberg. „Wydaje się, że bardziej wiarygodna jest możliwość udowodnienia, że ​​coś jest równe 1, niż udowodnienie, że jest równe jakiemuś szalonemu iloczynowi nieskończonemu”.

Kiedy matematycy badają rozkłady w grupach (grupach klasowych lub w inny sposób), kończą z równaniem dla każdej grupy G, gdzie prawdopodobieństwa reprezentują teraz, powiedzmy, odsetek grup klas, które wyglądają jak $latex mathbb{Z}/3mathbb{Z}$. Przy nieskończenie wielu równaniach i nieskończenie wielu możliwych grupach klas trudno jest rozwiązać prawdopodobieństwo. Nie jest oczywiste, czy w ogóle ma to sens.

„Kiedy masz nieskończone sumy, wszystko może pójść nie tak” – powiedział Wood.

Jednak matematycy, wciąż nie mogąc znaleźć innej drogi badania rozkładów, wciąż wracali do problemu momentu. W pracy opublikowanej w r Roczniki matematyki w 2016 roku Ellenberg wraz z Akshayem Venkateshem i Craigiem Westerlandem wykorzystane chwile przestudiować statystyki grup klasowych w nieco innym układzie niż rozważali Cohen i Lenstra. Ten pomysł był Ponownie użyte kilka czasy. Ale za każdym razem, gdy naukowcy wykorzystywali te momenty, opierali się na dziwactwach swojego konkretnego problemu, aby udowodnić, że nieskończony zestaw równań ma rozwiązanie. Oznaczało to, że ich techniki nie były zbywalne. Następny matematyk, który musiałby wykorzystać momenty, musiałby rozwiązać problem momentu od nowa.

Na początku współpracy Sawin i Wood również planowali pójść tą drogą. Wykorzystali momenty, aby przewidzieć, w jaki sposób dystrybuowane są bardziej skomplikowane wersje grup klasowych. Ale po około roku od rozpoczęcia projektu skupili się na samym problemie.

Zboczenie z drogi

Koledzy opisują Sawina i Wooda jako niezwykle pasjonujących się swoją pracą. „Oboje są bardzo mądrzy. Ale jest wielu mądrych ludzi” – powiedział Zureick-Brown. „Mają po prostu pozytywne nastawienie do matematyki”.

Początkowo Sawin i Wood chcieli wykorzystać momenty, aby rozszerzyć prognozy Cohena-Lenstry na nowe ustawienia. Ale wkrótce stali się niezadowoleni z ich chwilowego problemu. „Mieliśmy potrzebę wielokrotnego pisania podobnych argumentów” – wspomina Sawin. Co więcej, dodał, język matematyczny, którego używali, „wydawał się nie docierać do sedna tego, o co spierali się… Pomysły były, ale po prostu nie znaleźliśmy odpowiedniego sposobu ich wyrażenia”.

Sawin i Wood zagłębili się w swój dowód, próbując dowiedzieć się, co tak naprawdę kryje się pod tym wszystkim. Otrzymali dowód, który rozwiązał problem momentu nie tylko dla ich konkretnego zastosowania, ale dla dowolnego rozkładu grup — i dla wszelkiego rodzaju innych struktur matematycznych.

Podzielili problem na małe, wykonalne kroki. Zamiast próbować rozwiązać cały rozkład prawdopodobieństwa za jednym razem, skupili się tylko na małym wycinku momentów.

Na przykład, aby rozwiązać problem momentu dla rozkładu prawdopodobieństwa w grupach, każdy moment byłby powiązany z grupą G. Na początku Sawin i Wood przyjrzeli się układowi równań, który zawierał tylko momenty dla ograniczonej listy grup. Następnie powoli dodawali grupy do listy, za każdym razem oglądając coraz więcej momentów. Stopniowo czyniąc problem bardziej złożonym, uczynili z każdego kroku problem możliwy do rozwiązania. Kawałek po kawałku doszli do pełnego rozwiązania aktualnego problemu.

„Ta ustalona lista jest trochę jak okulary, które zakładasz, a im więcej grup chcesz wziąć pod uwagę, tym lepsze są twoje okulary” — wyjaśnił Wood.

Kiedy w końcu odkurzyli ostatnie zbędne szczegóły, znaleźli się w sporze, którego macki sięgały całej matematyki. Ich wynik sprawdził się w przypadku grup klasowych, grup związanych z kształtami geometrycznymi, sieci kropek i linii, a także innych zestawów o większej zawiłości matematycznej. We wszystkich tych sytuacjach Sawin i Wood znaleźli formułę, która uwzględnia zestaw momentów i wypluwa rozkład, który ma te momenty (o ile momenty nie rosną zbyt szybko, między innymi).

„To bardzo w stylu Melanie” — powiedział Ellenberg. „Być jak:„ Udowodnijmy bardzo ogólne twierdzenie, które w sposób jednolity i elegancki obsługuje wiele różnych przypadków ”.

Sawin i Wood wracają teraz do swojego pierwotnego celu. Na początku stycznia podzielili się nowy papier to koryguje błędne przewidywania Cohena-Lenstry wykonane pod koniec lat 1980. przez Cohena i jego kolegę Jacquesa Martineta. Poza tym mają jeszcze więcej wyników w kolejce, z planami rozszerzenia heurystyki na jeszcze więcej nowych sytuacji. „Nie wiem, czy ten projekt kiedykolwiek się skończy” – powiedział Sawin.

Chwilowy problem, który rozwiązali Sawin i Wood, był „czymś w rodzaju ciernia z tyłu głowy dla wielu różnych pytań” – powiedział Tsimerman. „Myślę, że wielu matematyków odetchnie z ulgą”.