Zaskakująco prosta matematyka kryjąca się za zagadkowymi pojedynkami | Magazyn Quanta

To mecz o mistrzostwo Imaginary Math League, w którym drużyna Atlanta Algebras zmierzy się z drużyną Carolina Cross Products. Obie drużyny nie grały ze sobą w tym sezonie, ale na początku tego roku Atlanta pokonała Brooklyn Bisectors wynikiem 10 do 5, a Brooklyn pokonała Karolinę wynikiem 7 do 3. Czy to daje nam wgląd w to, kto zdobędzie tytuł?

Oto jeden tok myślenia. Jeśli Atlanta pokona Brooklyn, to Atlanta będzie lepsza od Brooklynu, a jeśli Brooklyn pokona Karolinę, to Brooklyn będzie lepszy od Karoliny. Zatem jeśli Atlanta jest lepsza od Brooklynu, a Brooklyn jest lepsza od Karoliny, to Atlanta powinna być lepsza od Karoliny i zdobyć mistrzostwo.

Jeśli grasz w konkurencyjne gry lub sport, wiesz, że przewidzenie wyniku meczu nigdy nie jest tak proste. Jednak z czysto matematycznego punktu widzenia argument ten ma pewne uzasadnienie. Wykorzystuje ważną ideę matematyczną znaną jako przechodniość, znaną właściwość, która pozwala nam konstruować ciągi porównań między relacjami. Przechodniość to jedna z tych właściwości matematycznych, które są tak fundamentalne, że możesz nawet ich nie zauważyć.

Na przykład równość liczb jest przechodnia. Oznacza to, że jeśli o tym wiemy a = b i b = c, możemy stwierdzić, że a = c. Relacja „większego niż” jest również przechodnia: dla liczb rzeczywistych, jeśli a > b i b > c, następnie a > c. Kiedy relacje są przechodnie, możemy je porównywać i łączyć, tworząc porządek obiektów. Jeśli Anna jest wyższa od Benjiego, a Benji jest wyższy od Carla, wówczas możemy uporządkować tę trójkę według ich wzrostu: A, B, C. Za naszym naiwnym argumentem, że jeśli, stoi także przechodniość A jest lepszy niż B i B jest lepszy niż C, następnie A jest lepszy niż C.

Przechodniość występuje w równości, zgodności, podobieństwie, a nawet równoległości. Jest to część całej podstawowej matematyki, którą wykonujemy, co czyni ją szczególnie interesującą matematycznie, gdy jej nie ma. Kiedy analitycy oceniają zespoły, ekonomiści badają preferencje konsumentów lub obywatele głosują na preferowanych kandydatów, brak przechodniości może prowadzić do zaskakujących wyników. Aby lepiej zrozumieć tego rodzaju systemy, matematycy badają „kości nieprzechodnie” od ponad 50 lat, a Ostatni artykuł z internetowego zespołu matematycznego znanego jako projekt Polymath pogłębił tę wiedzę. Aby przekonać się, jak wygląda i jak wygląda nieprzechodniość, stwórzmy własną ligę i pobawmy się.

W naszej nowej lidze matematycznej gracze rywalizują, rzucając niestandardowymi monetami i porównując wyniki. powiedzmy gracz A ma monetę z liczbą 10 po jednej stronie i liczbą 6 po drugiej oraz gracz Bmoneta ma cyfry 8 i 3. Założymy, że monety są uczciwe — co oznacza, że ​​każda strona pojawi się z równym prawdopodobieństwem przy rzucie monetami — i przedstawimy liczby na monetach w ten sposób.

W grze gracze rzucają monetami, a zwycięzcą zostaje osoba, której moneta pokazuje wyższą liczbę. Kto i kiedy wygra A odgrywa B?

Oczywiście, to zależy. Czasami A czasami wygra B wygra. Ale nie trudno to zauważyć A jest faworytem do wygrania B. Gra może się potoczyć na cztery sposoby A wygrywa w trzech z nich.

Zatem w grze A przeciwko B, A ma 75% szans na wygraną.

Teraz C przychodzi i rzuca wyzwania B do gry. Cmoneta ma cyfrę 5 po jednej stronie i cyfrę 4 po drugiej. Znów istnieją cztery możliwości.

Tutaj B i C każdy z nich wygra dwa z czterech pojedynków, więc każdy z nich wygra 50% gier. B i C są równomiernie dopasowane.

A teraz, czego byś się spodziewał, kiedy to nastąpi A i C grać? Dobrze, A zwykle bije B, B jest równomiernie dopasowane C, więc wydaje się rozsądne, aby się tego spodziewać A prawdopodobnie będzie faworyzowany C.

Ale A to coś więcej niż ulubieniec. A dominuje C, wygrywając w 100% przypadków.

Może się to wydawać zaskakujące, ale matematycznie nie jest trudno zrozumieć, dlaczego tak się dzieje. Cnumery są pomiędzy Bjest, więc C wygrywa w każdej chwili B odwraca ich niższą liczbę. Ale CObydwa numery znajdują się poniżej Ajest, więc C nigdy nie wygra tego pojedynku. Ten przykład nie narusza idei przechodniości, ale pokazuje, że sprawy mogą być bardziej skomplikowane niż tylko A > B > C. Niewielka zmiana w naszej grze pokazuje, jak bardzo może to być bardziej skomplikowane.

Naszym konkurentom szybko nudzi się gra w rzucanie monetą dwustronną, ponieważ jest ona łatwa do całkowitego zrozumienia matematycznego (więcej szczegółów można znaleźć w ćwiczeniach na końcu kolumny), więc liga decyduje się na przejście na grę w rzucanie monetą trójstronną. (Jedną z korzyści płynących z gry w wyimaginowanej lidze matematycznej jest to, że wszystko jest możliwe.)

Oto A i Bmonety:

Kto jest faworytem w grze pomiędzy A i B? Cóż, są trzy wyniki Arzut monetą i trzy za B, co prowadzi do dziewięciu możliwych wyników gry, które możemy łatwo wykreślić.

Zakładając ponownie, że wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne, A uderzeń B w pięciu z dziewięciu wyników. To znaczy A powinien wygrać $latex frac{5}{9} w około 55% przypadków, więc A jest faworyzowany B.

Czując się nieco przygnębieni perspektywami, B wyzwania C do gry. Cnumery są pokazane poniżej. Czy lubisz Bszanse?

Ponownie, istnieje dziewięć możliwych wyników w grze B przeciwko C, więc możemy je po prostu wymienić.

Widzimy to B na tle wygląda całkiem nieźle C. W pięciu z dziewięciu możliwych wyników, B wygrywa. Więc B jest faworyzowany C.

Słaby C teraz musi grać A. Z A faworyzowany przeciwko B i B faworyzowany przeciwko C, co czyni przypadek C musisz wygrać? Całkiem niezły, jak się okazuje.

W pięciu z dziewięciu możliwych wyników tutaj, C uderzeń A. To znaczy że C jest faworyzowany A, nawet jeśli Ajest faworyzowany B i B jest faworyzowany C.

To jest przykład systemu nieprzechodniego. Mówiąc bardziej technicznie, relacja „być faworyzowanym” w naszej grze nie jest przechodnia: A jest faworyzowany B, B jest faworyzowany C, ale A niekoniecznie jest przeciwny C.

Nieczęsto widzimy to w matematyce, ale tego rodzaju zachowanie nie zdziwiłoby fanów sportu. Jeśli Giganci pokonają Orły, a Orły pokonają Kowbojów, Kowboje nadal mogliby pokonać Gigantów. Na wynik indywidualnego meczu składa się wiele czynników. Zespoły mogą stać się lepsze dzięki ćwiczeniom lub mogą popaść w stagnację, jeśli nie wprowadzą innowacji. Gracze mogą zmieniać drużyny. Szczegóły, takie jak lokalizacja meczu – u siebie czy na wyjeździe – lub jak ostatnio drużyny grały, mogą mieć wpływ na to, kto wygra, a kto przegra.

Ale ten prosty przykład pokazuje, że tego rodzaju nieprzechodniość ma również podłoże czysto matematyczne. To czysto matematyczne rozważanie ma coś wspólnego z ograniczeniami konkurencji w świecie rzeczywistym: pojedynkami.

Oto liczby dot A, B i C.

Kiedy spojrzymy na nie obok siebie, łatwiej będzie zrozumieć, dlaczego w tej sytuacji występuje nieprzechodniość. Chociaż B jest faworytem do wygrania C, Cdwie średnio-wysokie liczby – 7 i 6 – dają im przewagę A że B nie ma. Mimo że A jest faworyzowany B i B jest faworyzowany C, C pasuje do A lepiej B robi. Przypomina to sytuację, w której słabsza drużyna sportowa może dobrze przeciwstawić się lepszemu przeciwnikowi, ponieważ jej styl gry jest trudny do opanowania lub dlatego, że zawodnik lub trener daje jej przewagę nad tym konkretnym przeciwnikiem.

Fakt, że sport jest nieprzechodni, jest częścią tego, co czyni go zabawnym i fascynującym. Przecież jeśli A uderzeń B i B uderzeń C, C nie zamierza tak po prostu zrezygnować z powodu przechodniości, kiedy się zmierzą A. Na zawodach wszystko może się zdarzyć. Jak wielu komentatorów powiedziało po zdenerwowaniu: „Dlatego tak grają”.

I dlatego bawimy się matematyką. Aby znaleźć to, co zabawne, fascynujące i zaskakujące. Wszystko może się zdarzyć.

ćwiczenia

1. Załóżmy, że dwóch graczy gra w grę dwustronną monetą i wszystkie cztery liczby na obu monetach są różne. Zasadniczo istnieje tylko sześć możliwych scenariuszy dotyczących tego, kto wygra i jak często. Czym oni są?

2. W opisanym powyżej scenariuszu gry trójstronnej znajdź inną trójstronną monetę C tak, że B jest nadal faworyzowany C i C jest nadal faworyzowany A.

3. Udowodnij, że w grze dwustronnej monety nie jest możliwe, aby grało trzech graczy A, B, C takie A jest faworyzowany B, B jest faworyzowany C, C jest faworyzowany A.