Wprowadzenie
W 2012 roku matematyk Shinichi Mochizuki stwierdził, że rozwiązał zagadkę ABC przypuszczenie, główne otwarte pytanie w teorii liczb dotyczące związku między dodawaniem i mnożeniem. Był tylko jeden problem: jego dowód, liczący ponad 500 stron, był całkowicie nieprzenikniony. Opierał się na zbiorze nowych definicji, zapisów i teorii, których prawie wszyscy matematycy nie mogli zrozumieć. Wiele lat później, kiedy dwóch matematyków przełożyło znaczną część dowodu na bardziej znane terminy, wskazali na coś, co jeden z nich nazwał „poważna, niemożliwa do naprawienia luka” w swojej logice – tylko po to, by Mochizuki odrzucił ich argument na tej podstawie, że po prostu nie zrozumieli jego pracy.
To wydarzenie rodzi fundamentalne pytanie: czym jest dowód matematyczny? Zwykle myślimy o tym jako o objawieniu jakiejś wiecznej prawdy, ale być może lepiej jest to rozumieć jako coś w rodzaju konstruktu społecznego.
Andrzej Granville, matematyk z Uniwersytetu w Montrealu, ostatnio dużo o tym myślał. Po skontaktowaniu się z filozofem w sprawie niektórych jego pism „zacząłem się zastanawiać, w jaki sposób dochodzimy do naszych prawd” – powiedział. „A kiedy zaczniesz naciskać na te drzwi, okazuje się, że jest to obszerny temat”.
Granville od najmłodszych lat lubił arytmetykę, ale nigdy nie rozważał kariery w badaniach matematycznych, ponieważ nie wiedział, że coś takiego istnieje. „Mój ojciec rzucił szkołę w wieku 14 lat, moja matka w wieku 15 lub 16 lat” – powiedział. „Urodzili się w ówczesnej robotniczej dzielnicy Londynu, a uniwersytet wykraczał poza to, co ich zdaniem było możliwe. Nie mieliśmy więc pojęcia.
Po ukończeniu Uniwersytetu w Cambridge, gdzie studiował matematykę, zaczął się adaptować Dokumenty Rachel, powieść Martina Amisa, na scenariusz. Pracując nad projektem i starając się o fundusze na jego realizację, chciał uniknąć pracy za biurkiem — pracował w firmie ubezpieczeniowej podczas roku przerwy między szkołą średnią a studiami i nie chciał do tego wracać — „więc poszedłem do szkoły średniej” – powiedział. Film nigdy nie powstał (na podstawie powieści powstał później niezależny film), ale Granville uzyskał tytuł magistra matematyki, a następnie przeniósł się do Kanady, aby dokończyć doktorat. Nigdy nie oglądał się za siebie.
Wprowadzenie
„To była naprawdę przygoda” – powiedział. „Tak naprawdę nie spodziewałem się zbyt wiele. Tak naprawdę nie wiedziałem, co to jest doktorat. był."
W ciągu następnych dziesięcioleci był autorem ponad 175 artykułów, głównie z teorii liczb. Zasłynął także z pisania o matematyce dla popularnej publiczności: w 2019 r. był współautorem książki Powieść graficzna o liczbach pierwszych i związanych z nimi pojęciach ze swoją starszą siostrą Jennifer, scenarzystką. W zeszłym miesiącu ukazał się jeden z jego artykułów na temat „jak dochodzimy do naszych prawd”. opublikowany w Rocznikach Matematyki i Filozofii. I wraz z innymi matematykami, informatykami i filozofami planuje opublikować zbiór artykułów w przyszłorocznym numerze Biuletyn Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego o tym, jak maszyny mogą zmienić matematykę.
Quanta rozmawiał z Granvillem o naturze dowodu matematycznego — od tego, jak dowody działają w praktyce, przez popularne błędne przekonania na ich temat, po to, jak korekta może ewoluować w epoce sztucznej inteligencji. Wywiad został zredagowany i skrócony dla przejrzystości.
Niedawno opublikowałeś artykuł na temat natury dowodu matematycznego. Dlaczego zdecydowałeś, że warto o tym pisać?
Popularne media na ogół nie przedstawiają dobrze sposobu, w jaki matematycy zajmują się badaniami. Ludzie mają tendencję do postrzegania matematyki jako czystych poszukiwań, podczas których dochodzimy do wielkich prawd wyłącznie za pomocą czystej myśli. Ale matematyka opiera się na domysłach – często błędnych. To proces eksperymentalny. Uczymy się etapami.
Na przykład, kiedy hipoteza Riemanna po raz pierwszy pojawiła się w artykule w 1859 r., było to jak magia: oto zdumiewające przypuszczenie, nie wiadomo skąd. Przez 70 lat ludzie mówili o tym, czego wielki myśliciel może dokonać dzięki samej czystej myśli. Następnie matematyk Carl Siegel znalazł notatki Riemanna w archiwach Getyngi. Riemann faktycznie wykonał strony obliczeń zer funkcji zeta Riemanna. Słynne słowa Siegela brzmiały: „To tyle, jeśli chodzi o samą myśl”.
Zatem w sposobie, w jaki ludzie piszą o matematyce, jest napięcie – zwłaszcza niektórzy filozofowie i historycy. Wydaje się, że myślą, że jesteśmy jakimś czysto magicznym stworzeniem, jakimś jednorożcem nauki. Ale zazwyczaj tak nie jest. Rzadko jest to sama czysta myśl.
Wprowadzenie
Jak scharakteryzowałbyś to, czym zajmują się matematycy?
Kultura matematyki opiera się na dowodach. Siedzimy i myślimy, a 95% tego, co robimy, to dowody. Duża część zrozumienia, jaką zdobywamy, wynika z zmagania się z dowodami i interpretowania problemów, które pojawiają się, gdy się z nimi zmagamy.
Często myślimy o dowodzie jako o argumencie matematycznym. Poprzez serię logicznych kroków wykazuje, że dane stwierdzenie jest prawdziwe. Ale piszesz, że nie należy tego mylić z czystą, obiektywną prawdą. Co przez to rozumiesz?
Głównym celem dowodu jest przekonanie czytelnika o prawdziwości twierdzenia. Oznacza to, że weryfikacja jest kluczowa. Najlepszy system weryfikacji, jaki mamy w matematyce, polega na tym, że wiele osób patrzy na dowód z różnych perspektyw i dobrze pasuje on do kontekstu, który znają i w który wierzą. W pewnym sensie nie mówimy, że wiemy, że to prawda. Mówimy, że mamy nadzieję, że jest to prawidłowe, ponieważ wiele osób próbowało tego z różnych perspektyw. Dowody są akceptowane przez te standardy społeczne.
Do tego dochodzi pojęcie obiektywności – pewność, że to, co się twierdzi, jest słuszne, poczucie, że znasz ostateczną prawdę. Ale skąd możemy wiedzieć, że jesteśmy obiektywni? Trudno wyrwać się z kontekstu, w którym wypowiedziałeś się, aby mieć perspektywę wykraczającą poza paradygmat ustanowiony przez społeczeństwo. Odnosi się to tak samo do idei naukowych, jak i do wszystkiego innego.
Można też zadać pytanie, co jest obiektywnie interesujące lub ważne w matematyce. Ale jest to również wyraźnie subiektywne. Dlaczego uważamy Szekspira za dobrego pisarza? Szekspir nie był w swoim czasie tak popularny jak dzisiaj. Oczywiście istnieją społeczne konwencje dotyczące tego, co jest interesujące i ważne. A to zależy od obecnego paradygmatu.
Wprowadzenie
Jak to wygląda w matematyce?
Jednym z najbardziej znanych przykładów zmiany paradygmatu jest rachunek różniczkowy. Kiedy wynaleziono rachunek różniczkowy, polegał on na podzieleniu czegoś, co zmierza do zera, przez coś innego, co zmierza do zera — co prowadzi do zera podzielonego przez zero, co nie ma żadnego znaczenia. Początkowo Newton i Leibniz wymyślili obiekty zwane nieskończenie małymi. Dzięki temu ich równania zadziałały, ale według dzisiejszych standardów nie było to rozsądne ani rygorystyczne.
Obecnie mamy formułę epsilon-delta, która została wprowadzona pod koniec XIX wieku. Ta nowoczesna formuła jest tak zdumiewająca i oczywiście dobra do prawidłowego urzeczywistnienia tych koncepcji, że kiedy patrzysz na stare formuły, zastanawiasz się, co oni myśleli? Ale wtedy uważano, że to jedyny sposób, w jaki można to zrobić. Aby być uczciwym wobec Leibniza i Newtona, prawdopodobnie pokochaliby nowoczesny sposób. Nie pomyśleli o tym ze względu na paradygmaty swojej epoki. Więc dotarcie tam zajęło strasznie dużo czasu.
Problem w tym, że nie wiemy, kiedy się tak zachowujemy. Jesteśmy uwięzieni w społeczeństwie, w którym żyjemy. Nie mamy perspektywy zewnętrznej, aby powiedzieć, jakie przyjmujemy założenia. Jednym z niebezpieczeństw w matematyce jest to, że możesz uważać coś za nieistotne, ponieważ nie da się tego łatwo wyrazić ani omówić w wybranym przez ciebie języku. To nie znaczy, że masz rację.
Bardzo podoba mi się ten cytat Kartezjusza, w którym zasadniczo mówi: „Myślę, że wiem wszystko o trójkącie, ale kto może powiedzieć, że tak jest? Mam na myśli to, że ktoś w przyszłości może zaproponować radykalnie inną perspektywę, co doprowadzi do znacznie lepszego sposobu myślenia o trójkącie. I myślę, że ma rację. Widać to w matematyce.
Jak napisałeś w swoim artykule, dowód można traktować jako umowę społeczną — rodzaj wzajemnego porozumienia między autorem a jego społecznością matematyczną. Widzieliśmy skrajny przykład tego, że to nie działa, z dowodem na to, jak twierdził Mochizuki ABC przypuszczenie.
To ekstremalne, ponieważ Mochizuki nie chciał grać w tę grę w sposób, w jaki się ją gra. Dokonał tego wyboru, aby pozostać niejasnym. Kiedy ludzie dokonują wielkich przełomów, wprowadzając naprawdę nowe i trudne pomysły, uważam, że ich obowiązkiem jest spróbować włączyć innych ludzi, wyjaśniając swoje pomysły w możliwie przystępny sposób. A on na to raczej powiedział: „No cóż, jeśli nie chcesz czytać tego tak, jak to napisałem, to nie mój problem”. Ma prawo grać w taką grę, w jaką chce. Ale to nie ma nic wspólnego ze społecznością. Nie ma to nic wspólnego ze sposobem, w jaki osiągamy postęp.
Wprowadzenie
Jeśli dowody istnieją w kontekście społecznym, jak zmieniły się na przestrzeni czasu?
Wszystko zaczyna się od Arystotelesa. Powiedział, że potrzebny jest jakiś system dedukcyjny – że nowe rzeczy można udowodnić jedynie opierając je na rzeczach, które już znasz i których jesteś pewien, wracając do pewnych „prymitywnych twierdzeń” lub aksjomatów.
Zatem pytanie brzmi: Jakie są te podstawowe rzeczy, o których wiesz, że są prawdziwe? Przez bardzo długi czas ludzie po prostu mówili: cóż, linia to linia, okrąg to okrąg; jest kilka rzeczy prostych i oczywistych i od takich powinniśmy zacząć.
Ta perspektywa pozostała na zawsze. W dużej mierze jest to nadal aktualne. Jednak rozwinięty euklidesowy system aksjomatyczny – „linia to linia” – miał swoje problemy. Bertrand Russell odkrył takie paradoksy w oparciu o pojęcie zbioru. Co więcej, można bawić się językiem matematycznym w gry słowne, tworząc problematyczne stwierdzenia typu „to stwierdzenie jest fałszywe” (jeśli jest prawdziwe, to jest fałszywe; jeśli jest fałszywe, to jest prawdziwe), które wskazywałyby na problemy z systemem aksjomatycznym.
Dlatego Russell i Alfred Whitehead próbowali stworzyć nowy system matematyki, który pozwoliłby uniknąć wszystkich tych problemów. Ale było to absurdalnie skomplikowane i trudno było uwierzyć, że to są właściwe elementy pierwotne, od których można zacząć. Nikt nie czuł się z tym komfortowo. Coś w rodzaju udowodnienia 2 + 2 = 4 wymagało od punktu wyjścia ogromnej ilości miejsca. Jaki jest sens takiego systemu?
Potem pojawił się David Hilbert i wpadł na niesamowity pomysł: może w ogóle nie powinniśmy nikomu mówić, od czego najlepiej zacząć. Zamiast tego warto zbadać wszystko, co działa – punkt wyjścia jest prosty, spójny i konsekwentny. Nie da się wydedukować dwóch rzeczy ze swoich aksjomatów, które są ze sobą sprzeczne i powinieneś być w stanie opisać większość matematyki w kategoriach wybranych aksjomatów. Ale nie powinieneś a priori mówić, czym one są.
To również wydaje się pasować do naszej wcześniejszej dyskusji na temat prawdy obiektywnej w matematyce. Zatem na przełomie XIX i XX wieku matematycy zdali sobie sprawę, że może istnieć wiele systemów aksjomatycznych — że jednego zestawu aksjomatów nie należy uważać za uniwersalną lub oczywistą prawdę?
Prawidłowy. I powinienem powiedzieć, że Hilbert nie zaczął tego robić z abstrakcyjnych powodów. Bardzo interesowały go różne pojęcia geometrii: geometria nieeuklidesowa. Było to bardzo kontrowersyjne. Ludzie w tamtych czasach mówili: „Jeśli podasz mi taką definicję linii biegnącej wokół rogów pudełka, to dlaczego, do cholery, mam cię słuchać?”. Hilbert powiedział, że jeśli uda mu się uczynić to spójnym i konsekwentnym, należy posłuchać, ponieważ może to być kolejna geometria, którą musimy zrozumieć. I ta zmiana punktu widzenia – którą można dopuścić w dowolnym systemie aksjomatycznym – nie dotyczyła tylko geometrii; dotyczyło to całej matematyki.
Ale oczywiście niektóre rzeczy są bardziej przydatne niż inne. Zatem większość z nas pracuje z tymi samymi 10 aksjomatami, systemem zwanym ZFC.
Co prowadzi do pytania, co można, a czego nie można z tego wywnioskować. Istnieją stwierdzenia, takie jak hipoteza kontinuum, których nie można udowodnić za pomocą ZFC. Musi istnieć jedenasty aksjomat. Można to rozwiązać w dowolny sposób, ponieważ możesz wybrać swój system aksjomatyczny. To całkiem fajne. Kontynuujemy ten rodzaj mnogości. Nie jest jasne, co jest dobre, a co złe. Zdaniem Kurta Gödla nadal musimy dokonywać wyborów kierując się gustem, a mamy nadzieję, że mamy dobry gust. Powinniśmy robić rzeczy, które mają sens. I tak robimy.
Jeśli mowa o Gödlu, on też odgrywa tutaj dość dużą rolę.
Aby rozmawiać o matematyce, potrzebny jest język i zbiór zasad, których należy przestrzegać w tym języku. W latach trzydziestych Gödel udowodnił, że niezależnie od tego, jak wybierzesz język, zawsze istnieją w nim stwierdzenia, które są prawdziwe, ale których nie można udowodnić na podstawie początkowych aksjomatów. W rzeczywistości jest to bardziej skomplikowane, ale mimo to od razu pojawia się filozoficzny dylemat: czym jest prawdziwe stwierdzenie, jeśli nie można go uzasadnić? To jest szalone.
Jest więc duży bałagan. Jesteśmy ograniczeni w tym, co możemy zrobić.
Zawodowi matematycy w dużej mierze to ignorują. Koncentrujemy się na tym, co jest wykonalne. Jak lubi mawiać Peter Sarnak: „Jesteśmy ludźmi pracy”. Kontynuujemy grę i staramy się udowodnić, że potrafimy.
Wprowadzenie
Jak zmienia się pojęcie dowodu, korzystając nie tylko z komputerów, ale nawet sztucznej inteligencji?
Przenieśliśmy się w inne miejsce, gdzie komputery mogą robić szalone rzeczy. Teraz ludzie mówią: „Och, mamy ten komputer, może robić rzeczy, których ludzie nie potrafią”. Ale czy to możliwe? Czy rzeczywiście może robić rzeczy, których ludzie nie potrafią? W latach pięćdziesiątych Alan Turing powiedział, że komputer zaprojektowano tak, aby robił to, co potrafią ludzie, tylko szybciej. Niewiele się zmieniło.
Od dziesięcioleci matematycy używają komputerów – na przykład do wykonywania obliczeń, które mogą pomóc w zrozumieniu. Nowością, jaką może zrobić sztuczna inteligencja, jest weryfikacja tego, co uważamy za prawdę. Weryfikacja dowódowa zaowocowała niesamowitymi zmianami. Podobnie jak [asystent dowodu] Lean, który umożliwił matematykom weryfikację wielu dowodów, a jednocześnie pomógł autorom lepiej zrozumieć ich własną pracę, ponieważ muszą rozbić niektóre swoje pomysły na prostsze kroki, aby wprowadzić je do Lean w celu weryfikacji.
Ale czy to jest niezawodne? Czy dowód jest dowodem tylko dlatego, że Lean się na to zgodzi? W pewnym sensie jest tak dobry, jak ludzie, którzy przekształcają dowody w dane wejściowe dla Lean. Co brzmi bardzo podobnie do tego, jak postępujemy w tradycyjnej matematyce. Nie twierdzę więc, że uważam, że coś takiego jak Lean popełni wiele błędów. Po prostu nie jestem pewien, czy jest to bezpieczniejsze niż większość rzeczy wykonywanych przez ludzi.
Obawiam się, że mam duży sceptycyzm co do roli komputerów. Mogą być bardzo cennym narzędziem do prawidłowego rozwiązywania problemów — szczególnie do weryfikowania matematyki, która w dużej mierze opiera się na nowych definicjach, które na pierwszy rzut oka nie są łatwe do analizy. Nie ma dyskusji, że posiadanie w naszym arsenale nowych perspektyw, nowych narzędzi i nowych technologii jest pomocne. Jednak unikam koncepcji, że będziemy teraz mieli doskonałe maszyny logiczne, które będą formułować poprawne twierdzenia.
Musisz przyznać, że nie możemy być pewni, że z komputerami wszystko jest w porządku. Nasza przyszłość musi opierać się na poczuciu wspólnoty, na którym polegaliśmy przez całą historię nauki: na tym, że odbijamy się od siebie. Że rozmawiamy z ludźmi, którzy patrzą na tę samą rzecz z zupełnie innej perspektywy. I tak dalej.
Jak jednak według Ciebie będzie to wyglądać w przyszłości, w miarę jak technologie te będą coraz bardziej wyrafinowane?
Być może pomogłoby to w stworzeniu dowodu. Być może za pięć lat powiem modelowi sztucznej inteligencji, takiemu jak ChatGPT: „Jestem prawie pewien, że gdzieś to widziałem. Sprawdziłbyś to?” I wróci z podobnym, prawidłowym stwierdzeniem.
A kiedy już będzie w tym bardzo, bardzo dobry, być może mógłbyś pójść o krok dalej i powiedzieć: „Nie wiem, jak to zrobić, ale czy jest ktoś, kto zrobił coś takiego?” Być może w końcu model sztucznej inteligencji mógłby znaleźć umiejętne sposoby przeszukiwania literatury w celu wykorzystania narzędzi, które były używane gdzie indziej – w sposób, którego matematyk mógłby nie przewidzieć.
Nie rozumiem jednak, jak ChatGPT może wyjść poza pewien poziom i robić dowody w sposób, który nas przewyższa. ChatGPT i inne programy do uczenia maszynowego nie myślą. Używają skojarzeń słownych na podstawie wielu przykładów. Wydaje się więc mało prawdopodobne, że przekroczą swoje dane treningowe. Ale gdyby tak się stało, co zrobią matematycy? Wiele z tego, co robimy, to dowody. Jeśli zabierzesz nam dowody, nie jestem pewien, kim się staniemy.
Niezależnie od tego, kiedy myślimy o tym, gdzie skorzystamy z pomocy komputerowej, musimy wziąć pod uwagę wszystkie wnioski, jakie wyciągnęliśmy z ludzkich wysiłków: znaczenie używania różnych języków, wspólnej pracy, noszenia różnych perspektyw. W tym, jak różne społeczności spotykają się, aby pracować nad dowodem i go zrozumieć, kryje się siła i zdrowie. Jeśli chcemy mieć komputerową pomoc w matematyce, musimy ją wzbogacić w ten sam sposób.
- Dystrybucja treści i PR oparta na SEO. Uzyskaj wzmocnienie już dziś.
- PlatoData.Network Pionowe generatywne AI. Wzmocnij się. Dostęp tutaj.
- PlatoAiStream. Inteligencja Web3. Wiedza wzmocniona. Dostęp tutaj.
- PlatonESG. Motoryzacja / pojazdy elektryczne, Węgiel Czysta technologia, Energia, Środowisko, Słoneczny, Gospodarowanie odpadami. Dostęp tutaj.
- Platon Zdrowie. Inteligencja w zakresie biotechnologii i badań klinicznych. Dostęp tutaj.
- ChartPrime. Podnieś poziom swojej gry handlowej dzięki ChartPrime. Dostęp tutaj.
- Przesunięcia bloków. Modernizacja własności offsetu środowiskowego. Dostęp tutaj.
- Źródło: https://www.quantamagazine.org/why-mathematical-proof-is-a-social-compact-20230831/
- :ma
- :Jest
- :nie
- :Gdzie
- ][P
- $W GÓRĘ
- 10
- 14
- 15%
- 16
- 2012
- 2019
- 500
- 70
- 95%
- a
- Zdolny
- O nas
- ABSTRACT
- zaakceptowany
- dostępny
- Stosownie
- Konto
- uznać
- faktycznie
- dodatek
- Szosowe
- boi
- Po
- wiek
- Umowa
- AI
- Alan
- Alan Turing
- Wszystkie kategorie
- dopuszczać
- dozwolony
- sam
- wzdłuż
- już
- również
- zawsze
- zdumiewający
- Amazonka
- amerykański
- ilość
- an
- w czasie rzeczywistym sprawiają,
- i
- Inne
- każdy
- ktoś
- wszystko
- pojawił się
- stosowany
- Aplikuj
- archiwum
- SĄ
- POWIERZCHNIA
- argument
- na około
- towary
- sztuczny
- sztuczna inteligencja
- AS
- pomagać
- Wsparcie
- Asystent
- stowarzyszenia
- Założenia
- At
- publiczność
- autor
- autor
- Autorzy
- uniknąć
- z dala
- z powrotem
- na podstawie
- podstawowy
- podstawa
- BE
- Niedźwiedź
- bo
- stają się
- być
- jest
- uwierzyć
- Bertrand
- BEST
- Ulepsz Swój
- pomiędzy
- Poza
- Duży
- urodzony
- Odbić się
- Pudełko
- przerwa
- przełomy
- przynieść
- ale
- by
- Obliczenia
- nazywa
- cambridge
- oprawa ołowiana witrażu
- CAN
- Kanada
- nie może
- Kariera
- Carl
- noszenie
- Wiek
- pewien
- zmiana
- zmieniony
- wymiana pieniędzy
- charakteryzować
- ChatGPT
- ZOBACZ
- wybór
- wybory
- Dodaj
- wybrany
- Okrągłe
- twierdził,
- klarowność
- jasny
- wyraźnie
- ZGODNY
- kolekcja
- Studentki
- jak
- wygodny
- społeczności
- społeczność
- kompaktowy
- sukcesy firma
- kompletny
- całkowicie
- skomplikowane
- komputer
- komputery
- pojęcie
- Koncepcje
- przypuszczenie
- Rozważać
- za
- zgodny
- skonstruować
- kontekst
- kontynuować
- Kontinuum
- kontrowersyjny
- konwertować
- Chłodny
- rogi
- skorygowania
- mógłby
- Kurs
- zwariowany
- Stwórz
- Tworzenie
- stworzenie
- kultura
- Aktualny
- Niebezpieczeństwa
- dane
- David
- debata
- lat
- zdecydować
- definicja
- definicje
- Stopień
- demonstruje
- zależy
- opisać
- zaprojektowany
- biurko
- rozwinięty
- wydarzenia
- ZROBIŁ
- różne
- trudny
- odkryty
- dyskutować
- omówione
- dyskusja
- podzielony
- do
- robi
- Nie
- robi
- zrobić
- nie
- Drzwi
- na dół
- podczas
- każdy
- Wcześniej
- Wcześnie
- Ziemia
- z łatwością
- łatwo
- bądź
- więcej
- gdzie indziej
- zakończenia
- starać się
- wzbogacać
- równania
- Era
- Błędy
- istotnie
- Parzyste
- ostatecznie
- wszystko
- ewoluuje
- przykład
- przykłady
- istnieć
- oczekując
- eksperymentalny
- wyjaśniając
- Exploring
- wyrażone
- skrajny
- Failed
- sprawiedliwy
- fałszywy
- znajomy
- sławny
- szybciej
- czuć
- kilka
- Film
- Znajdź
- i terminów, a
- dopasować
- pięć
- Skupiać
- obserwuj
- W razie zamówieenia projektu
- przewidywać
- na zawsze
- znaleziono
- od
- funkcjonować
- fundamentalny
- Finansowanie
- dalej
- przyszłość
- Wzrost
- gra
- Games
- szczelina
- ogólnie
- otrzymać
- miejsce
- Dać
- dany
- Go
- Goes
- będzie
- dobry
- wspaniały
- Ziemia
- poprowadzi
- miał
- zdarzyć
- się
- Ciężko
- Have
- he
- Zdrowie
- ciężko
- pomoc
- pomocny
- pomoc
- tutaj
- Wysoki
- jego
- historia
- nadzieję
- Ufnie
- W jaki sposób
- How To
- HTTPS
- człowiek
- Ludzie
- i
- CHORY
- pomysł
- pomysły
- if
- natychmiast
- znaczenie
- ważny
- niemożliwy
- in
- incydent
- zawierać
- Beneficjant
- niezależnie
- wskazany
- początkowo
- Wejścia
- przykład
- zamiast
- ubezpieczenie
- Inteligencja
- zainteresowany
- ciekawy
- Wywiad
- najnowszych
- wprowadzono
- Zmyślony
- zaangażowany
- problemy
- IT
- JEGO
- Jennifer
- Praca
- właśnie
- tylko jeden
- Klawisz
- Wiedzieć
- znany
- Kurt
- język
- Języki
- duży
- w dużej mierze
- Nazwisko
- później
- prowadzący
- Wyprowadzenia
- UCZYĆ SIĘ
- dowiedziałem
- nauka
- lewo
- Lekcje
- poziom
- lubić
- lubi
- Ograniczony
- Linia
- literatura
- logika
- logiczny
- Londyn
- długo
- długi czas
- Popatrz
- wygląda jak
- wyglądał
- Partia
- "kochanym"
- maszyna
- uczenie maszynowe
- maszyny
- zrobiony
- magazyn
- magia
- Główny
- poważny
- robić
- Dokonywanie
- wiele
- Martin
- mistrzowski
- matematyka
- matematyczny
- matematyka
- Materia
- Może..
- może
- me
- oznaczać
- znaczenie
- znaczy
- Media
- może
- Błędne wyobrażenia
- model
- Nowoczesne technologie
- Miesiąc
- jeszcze
- Ponadto
- większość
- przeważnie
- mama
- przeniósł
- film
- dużo
- musi
- wzajemny
- my
- Natura
- prawie
- Potrzebować
- wymagania
- nigdy
- Nowości
- niuton
- Następny
- Nie
- Uwagi
- nic
- Pojęcie
- powieść
- już dziś
- numer
- z naszej
- cel
- obiektywnie
- obiekty
- oczywista
- of
- poza
- często
- oh
- Stary
- on
- pewnego razu
- ONE
- tylko
- koncepcja
- or
- Inne
- Pozostałe
- ludzkiej,
- na zewnątrz
- zewnętrzne
- wyprzedza
- koniec
- własny
- stron
- Papier
- Papiery
- paradygmat
- szczególny
- szczególnie
- strony
- Ludzie
- doskonały
- może
- perspektywa
- perspektywy
- Piotr
- filozofia
- PHP
- Miejsce
- planowanie
- plato
- Analiza danych Platona
- PlatoDane
- Grać
- grał
- odgrywa
- punkt
- Popularny
- możliwy
- praktyka
- bardzo
- premia
- prawdopodobnie
- Problem
- problemy
- wygląda tak
- produkować
- Programy
- Postęp
- projekt
- dowód
- dowody
- Udowodnij
- okazały
- publikować
- opublikowany
- Popychanie
- położyć
- Magazyn ilościowy
- poszukiwanie
- pytanie
- zacytować
- radykalnie
- podnosi
- rzadko
- Czytaj
- Czytelnik
- zrealizowanie
- naprawdę
- Przyczyny
- niedawno
- związane z
- związek
- polegać
- Badania naukowe
- powrót
- prawo
- rygorystyczny
- krzepkość
- Rola
- reguły
- Powiedział
- taki sam
- zobaczył
- powiedzieć
- powiedzenie
- mówią
- Szkoła
- nauka
- naukowy
- Naukowcy
- zadraśnięcie
- Szukaj
- bezpieczne
- widzieć
- poszukuje
- wydać się
- wydaje
- widziany
- wybrany
- rozsądek
- Serie
- zestaw
- powinien
- nieśmiała
- Widok
- podobny
- Prosty
- prostsze
- po prostu
- ponieważ
- siostra
- siedzieć
- Sceptycyzm
- wykwalifikowany
- So
- Obserwuj Nas
- Społeczeństwo
- kilka
- coś
- gdzieś
- wyrafinowany
- Typ przestrzeni
- etapy
- standardy
- początek
- rozpoczęty
- Startowy
- rozpocznie
- Zestawienie sprzedaży
- oświadczenia
- Ewolucja krok po kroku
- Cel
- Nadal
- Walka
- Walka
- Studiował
- przedmiot
- taki
- pewnie
- system
- systemy
- Brać
- Zadania
- biorąc
- Mówić
- klucze
- Technologies
- Technologia
- REGULAMIN
- niż
- że
- Połączenia
- Przyszłość
- ich
- Im
- następnie
- teoria
- Tam.
- Te
- one
- rzecz
- rzeczy
- myśleć
- myśliciel
- Myślący
- to
- tych
- chociaż?
- myśl
- Przez
- poprzez
- czas
- do
- już dziś
- dzisiaj
- razem
- także
- wziął
- narzędzie
- narzędzia
- w kierunku
- tradycyjny
- Trening
- wypróbowany
- prawdziwy
- Prawda
- próbować
- Turinga
- SKRĘCAĆ
- drugiej
- zazwyczaj
- ostateczny
- zrozumieć
- zrozumienie
- zrozumiany
- jednorożec
- uniwersalny
- uniwersytet
- Uniwersytet Cambridge
- mało prawdopodobne,
- us
- posługiwać się
- używany
- za pomocą
- Cenny
- Naprawiono
- Weryfikacja
- zweryfikować
- weryfikacja
- początku.
- chcieć
- poszukiwany
- chce
- była
- Droga..
- sposoby
- we
- webp
- DOBRZE
- poszedł
- były
- Co
- Co to jest
- jeśli chodzi o komunikację i motywację
- który
- Podczas
- KIM
- dlaczego
- Dziki
- będzie
- w
- słowo
- słowa
- Praca
- pracował
- pracujący
- działa
- wartość
- by
- napisać
- pisarz
- pisanie
- Źle
- napisał
- rok
- lat
- You
- Twój
- siebie
- zefirnet
- zero
- Zeta