Wprowadzenie
Teoria węzłów powstała jako próba zrozumienia fundamentalnej budowy wszechświata. W 1867 roku, kiedy naukowcy z zapałem próbowali ustalić, co może odpowiadać za różne rodzaje materii, szkocki matematyk i fizyk Peter Guthrie Tait pokazał swojemu przyjacielowi i rodakowi Sir Williamowi Thomsonowi swoje urządzenie do generowania pierścieni dymu. Thomson — późniejszy Lord Kelvin (imiennik skali temperatury) — był urzeczony urzekającymi kształtami pierścieni, ich stabilnością i interakcjami. Jego inspiracja poprowadziła go w zaskakującym kierunku: być może, pomyślał, tak jak pierścienie dymu są wirami w powietrzu, tak atomy są zawęźlonymi pierścieniami wirowymi w świetlistym eterze, niewidzialnym ośrodku, przez który, jak wierzyli fizycy, rozprzestrzeniało się światło.
Chociaż ten pomysł z epoki wiktoriańskiej może teraz brzmieć śmiesznie, nie było to śledztwo błahe. Ta teoria wirów miała wiele do zaoferowania: sama różnorodność węzłów, każdy nieco inny, wydawała się odzwierciedlać różne właściwości wielu pierwiastków chemicznych. Stabilność pierścieni wirowych może również zapewnić trwałość wymaganą przez atomy.
Teoria wirów zyskała popularność w społeczności naukowej i zainspirowała Taita do rozpoczęcia zestawiania wszystkich węzłów, tworząc coś, co, jak miał nadzieję, będzie równoważne tabeli elementów. Oczywiście atomy nie są węzłami i nie ma eteru. Pod koniec lat 1880. XIX wieku Thomson stopniowo porzucał swoją teorię wirów, ale do tego czasu Tait był urzeczony matematyczną elegancją swoich węzłów i kontynuował swój projekt tabulacji. W tym procesie ustanowił matematyczną dziedzinę teorii węzłów.
Wszyscy znamy węzły — utrzymują buty na nogach, łodzie przytwierdzone do doków i wspinacze górscy na skałach poniżej. Ale te węzły nie są dokładnie tym, co matematycy (w tym Tait) nazwaliby węzłem. Chociaż splątany przedłużacz może wyglądać na zawiązany, zawsze można go rozplątać. Aby uzyskać matematyczny węzeł, musisz połączyć wolne końce sznurka, aby utworzyć zamkniętą pętlę.
Ponieważ pasma węzła są elastyczne jak struna, matematycy postrzegają teorię węzłów jako poddziedzinę topologia, badanie kształtów plastycznych. Czasami udaje się rozplątać węzeł tak, aby powstał prosty okrąg, który nazywamy „rozwiąziem”. Częściej jednak rozplątanie węzła jest niemożliwe.
Węzły można również łączyć, tworząc nowe węzły. Na przykład połączenie prostego węzła znanego jako koniczyna z jego lustrzanym odbiciem tworzy węzeł kwadratowy. (A jeśli połączysz dwa identyczne węzły koniczyny, zrobisz węzeł babci.)
Posługując się terminologią ze świata liczb, matematycy twierdzą, że koniczyna jest węzłem pierwszym, węzeł kwadratowy jest złożony i, podobnie jak liczba 1, węzeł nie jest ani jednym, ani drugim. Ta analogia została dodatkowo potwierdzona w 1949 r., Kiedy Horst Schubert udowodnił, że każdy węzeł jest albo pierwszy, albo może być jednoznacznie rozłożony na węzły pierwsze.
Innym sposobem tworzenia nowych węzłów jest przeplatanie dwóch lub więcej węzłów, tworząc połączenie. Pierścienie boromejskie, nazwane tak, ponieważ pojawiają się na herbie włoskiego domu Borromeo, są prostym przykładem.
Thomson i Tate nie byli pierwszymi, którzy widzieli węzły w sposób matematyczny. Już w 1794 roku Carl Friedrich Gauss pisał i rysował przykłady węzłów w swoim osobistym notatniku. A uczeń Gaussa Johann Listing pisał o węzłach w swojej monografii z 1847 r. Sprawdź topologie („Preliminary Studies of Topology”) — stąd też pochodzi termin topologia.
Ale Tait był pierwszym uczonym, który pracował nad tym, co stało się podstawowym problemem w teorii węzłów: klasyfikacją i zestawieniem wszystkich możliwych węzłów. Przez lata żmudnej pracy, wykorzystując wyłącznie swoją geometryczną intuicję, znalazł i sklasyfikował wszystkie węzły pierwotne, które rzutowane na płaszczyznę mają co najwyżej siedem skrzyżowań.
Pod koniec XIX wieku Tait dowiedział się, że dwie inne osoby — wielebny Thomas Kirkman i amerykański matematyk Charles Little — również badały ten problem. Dzięki wspólnym wysiłkom sklasyfikowali wszystkie najlepsze węzły z maksymalnie 19 skrzyżowaniami, a wiele z 10 skrzyżowaniami. Co zaskakujące, ich tabele do 11 były kompletne: nie przegapili żadnych węzłów.
To niezwykłe, że Tait, Kirkman i Little osiągnęli tak wiele bez twierdzeń i technik, które zostaną odkryte w nadchodzących latach. Ale jedną rzeczą, która działała na ich korzyść, był fakt, że większość małych węzłów jest „naprzemiennych”, co oznacza, że mają projekcję, w której skrzyżowania wykazują spójny wzór „nad-pod-nad-pod”.
Węzły naprzemienne mają właściwości, które ułatwiają ich klasyfikację niż węzły nieprzemienne. Na przykład znalezienie minimalnej liczby skrzyżowań dla dowolnego rzutu węzła jest trudne. Ale Tait, który przez lata błędnie zakładał, że wszystkie węzły są naprzemienne, wymyślił sposób na stwierdzenie, czy znalazłeś tę minimalną liczbę: jeśli naprzemienny rzut nie ma skrzyżowań, które można usunąć, odwracając część węzła, to musi być rzut z minimalną liczbą przejść.
To i dwa inne przypuszczenia Taita o naprzemiennych węzłach okazały się prawdą. Jednak te słynne przypuszczenia zostały udowodnione dopiero pod koniec lat 1980. i na początku lat 90. przy użyciu narzędzia matematycznego opracowanego w 1984 r. przez Vaughana Jonesa, który zdobył Medal Fieldsa za pracę z zakresu teorii węzłów.
Niestety, naprzemienne sęki prowadzą tylko tak daleko. Gdy już zawiążemy węzły z ośmioma lub więcej skrzyżowaniami, liczba nienaprzemiennych węzłów szybko rośnie, przez co techniki Tait są mniej przydatne.
Oryginalna tabela wszystkich węzłów z 10 skrzyżowaniami była kompletna, ale Tait, Kirkman i Little liczyli podwójnie. Dopiero w latach 1970. Kenneth Perko, prawnik, który studiował teorię węzłów w Princeton, zauważył, że dwa węzły są swoimi lustrzanymi odbiciami. Są teraz znani jako para Perko na jego cześć.
W ciągu ostatniego stulecia matematycy znaleźli wiele sprytnych sposobów na ustalenie, czy węzły są naprawdę różne. Zasadniczo chodzi o: zidentyfikować niezmiennik — właściwość, ilość lub jednostka algebraiczna, która jest powiązana z węzłem i często można ją łatwo obliczyć. (Te właściwości mają nazwy, takie jak kolorowalność, numer mostka lub wicie). Uzbrojeni w te etykiety matematycy mogą teraz łatwo porównać dwa węzły: jeśli różnią się jakimkolwiek atrybutem, to nie są tym samym węzłem. Żadna z tych właściwości nie jest jednak tym, co matematycy nazywają całkowitym niezmiennikiem, co oznacza, że dwa różne węzły mogą mieć tę samą właściwość.
Z powodu całej tej złożoności nie może dziwić, że zestawienie węzłów wciąż trwa. Ostatnio, w 2020 roku, Benjamin Burton sklasyfikowano wszystkie pierwsze węzły do 19 przepraw (z czego prawie 300 milionów).
Tradycyjna teoria węzłów ma sens tylko w trzech wymiarach: w dwóch wymiarach możliwy jest tylko węzeł, aw czterech wymiarach dodatkowe miejsce pozwala na samorozwiązanie węzłów, więc każdy węzeł jest taki sam jak węzeł.
Natomiast w przestrzeni czterowymiarowej możemy zawiązać kule. Aby zrozumieć, co to oznacza, wyobraź sobie cięcie zwykłej kuli w regularnych odstępach czasu. W ten sposób powstają koła, jak linie szerokości geograficznej. Jednakże, gdybyśmy mieli dodatkowy wymiar, moglibyśmy zawiązać sferę, tak aby plasterki, teraz trójwymiarowe, a nie dwa, mogły być węzłami.
Ten pomysł stał za jednym z największych ostatnich wyników w teorii węzłów. W 2018 roku ówczesna absolwentka Lisa Piccirillo rozwiązał problem 50-latka o 11-krzyżowym węźle odkrytym przez Johna Conwaya. Pytanie dotyczyło właściwości zwanej „sliceness”. Jak widzieliśmy, kiedy przetniemy zawiązaną kulę w czterech wymiarach, otrzymujemy węzeł lub ogniwo w trzech wymiarach. Czasami dany węzeł możemy uzyskać z ładnej, gładko zawiązanej kuli, ale w przypadku innych węzłów kulka musi być zawiązana i pomarszczona jak kartka makulatury. Piccirillo dowiódł w istocie, że węzeł Conwaya był tego drugiego typu. W żargonie technicznym udowodniła, że nie jest to „gładkie kromki”.
Teoria węzłów na przestrzeni wieków przecinała matematyczny krajobraz. Zaczęło się od stosowanej dziedziny matematyki, a Thomson próbował wykorzystać węzły do zrozumienia budowy materii. Gdy idea ta zanikła, stała się dziedziną czystej matematyki, gałęzią intrygującej i wciąż niepraktycznej dziedziny topologii. Ale w ostatnich latach teoria węzłów ponownie stała się stosowaną dziedziną matematyki, ponieważ naukowcy wykorzystują pomysły z teorii węzłów do badania dynamika płynów, elektrodynamika, zawiązane cząsteczki, takie jak DNA i tak dalej. Na szczęście, podczas gdy naukowcy byli zajęci studiowaniem innych rzeczy, matematycy budowali katalogi węzłów i narzędzia do rozwikłania ich sekretów.
