Um século depois, nova matemática suaviza a relatividade geral | Revista Quanta

A teoria geral da relatividade de Albert Einstein teve grande sucesso na descrição de como a gravidade funciona e como ela molda a estrutura em grande escala do universo. Está resumido num ditado do físico John Wheeler: “O espaço-tempo diz à matéria como se mover; a matéria diz ao espaço-tempo como se curvar.” No entanto, a matemática da relatividade geral também é profundamente contra-intuitiva.

Como suas equações básicas são tão complicadas, mesmo as afirmações que parecem mais simples são difíceis de provar. Por exemplo, foi só por volta de 1980 que os matemáticos provaram, como parte de um importante teorema da relatividade geral, que um sistema físico isolado, ou espaço, sem qualquer massa deve ser plano.

Isto deixou sem solução a questão de como seria um espaço se fosse quase um vácuo, tendo apenas uma pequena quantidade de massa. É necessariamente quase plano?

Embora possa parecer óbvio que uma massa menor levaria a uma curvatura menor, as coisas não são tão simples quando se trata da relatividade geral. De acordo com a teoria, concentrações densas de matéria podem “deformar” uma porção do espaço, tornando-o altamente curvo. Em alguns casos, esta curvatura pode ser extrema, possivelmente levando à formação de buracos negros. Isto pode ocorrer mesmo num espaço com pequenas quantidades de matéria, se esta estiver concentrada com força suficiente.

Em uma recente papel, Conghan Dong, estudante de pós-graduação na Stony Brook University, e Canção de Antônio, professor assistente do Instituto de Tecnologia da Califórnia, provou que uma sequência de espaços curvos com quantidades cada vez menores de massa acabará por convergir para um espaço plano com curvatura zero.

Este resultado é um avanço notável na exploração matemática da relatividade geral — uma busca que continua a render dividendos mais de um século depois de Einstein ter concebido a sua teoria. Dan Lee, um matemático do Queens College que estuda matemática da relatividade geral, mas não esteve envolvido nesta pesquisa, disse que a prova de Dong e Song reflete uma compreensão profunda de como a curvatura e a massa interagem.

O que eles provaram

A prova de Dong e Song diz respeito a espaços tridimensionais, mas primeiro consideremos um exemplo bidimensional para fins de ilustração. Imagine um espaço plano sem massa como uma folha de papel comum e lisa. Um espaço com pequena massa, neste caso, pode parecer semelhante à distância – ou seja, quase totalmente plano. No entanto, uma inspeção mais detalhada pode revelar alguns picos agudos ou bolhas surgindo aqui e ali – consequências do agrupamento da matéria. Esses afloramentos aleatórios fariam o papel parecer um gramado bem cuidado, com ocasionais cogumelos ou talos saindo da superfície.

Dong e Song provaram ser um conjetura que foi formulado em 2001 pelos matemáticos Gerhard Huisken e Tom Ilmanen. A conjectura afirma que à medida que a massa de um espaço se aproxima de zero, o mesmo ocorre com a sua curvatura. Huisken e Ilmanen reconheceram, no entanto, que este cenário é complicado pela presença de bolhas e picos (que são matematicamente distintos uns dos outros). Eles levantaram a hipótese de que as bolhas e pontas poderiam ser cortadas de tal forma que a área limite deixada para trás na superfície do espaço por cada excisão fosse pequena. Eles sugeriram, mas não conseguiram provar, que o espaço que restava após a remoção desses incômodos apêndices seria quase plano. Eles também não tinham certeza de como tais cortes deveriam ser feitos.

“Essas questões eram difíceis e eu não esperava ver uma solução para a conjectura de Huisken-Ilmanen”, disse Lee.

No centro da conjectura está uma medida de curvatura. O espaço pode curvar-se de diferentes maneiras, em diferentes quantidades e em diferentes direções - como uma sela (em duas dimensões) que se curva para cima, indo para frente e para trás, mas para baixo, indo para a esquerda e para a direita. Dong e Song ignoram esses detalhes. Eles usam um conceito chamado curvatura escalar, que representa a curvatura como um número único que resume a curvatura completa em todas as direções.

O novo trabalho de Dong e Song, disse Daniel severo da Universidade Cornell, é “um dos resultados mais fortes que temos até agora, que nos mostra como a curvatura escalar controla [a] geometria” do espaço como um todo. O seu artigo ilustra que “se tivermos uma curvatura escalar não negativa e uma massa pequena, compreendemos muito bem a estrutura do espaço”.

A Prova

A conjectura de Huisken-Ilmanen diz respeito à geometria de espaços com massa decrescente constantemente. Ele prescreve um método específico para dizer o quão próximo um espaço com pequena massa está de um espaço plano. Essa medida é chamada de distância de Gromov-Hausdorff, em homenagem aos matemáticos Mikhail Gromov e Félix Hausdorff. O cálculo da distância Gromov-Hausdorff é um processo de duas etapas.

O primeiro passo é encontrar a distância de Hausdorff. Suponha que você tenha dois círculos, A e B. Comece com qualquer ponto em A e descubra a que distância ele está do ponto mais próximo em B.

Repita isso para cada ponto de A. A maior distância encontrada é a distância de Hausdorff entre os círculos.

Depois de obter a distância Hausdorff, você pode calcular a distância Gromov-Hausdorff. Para isso, coloque seus objetos em um espaço maior para minimizar a distância Hausdorff entre eles. No caso de dois círculos idênticos, como você poderia colocá-los literalmente um em cima do outro, a distância de Gromov-Hausdorff entre eles é zero. Objetos geometricamente idênticos como esses são chamados de “isométricos”.

Medir distâncias é mais difícil, é claro, quando os objetos ou espaços comparados são semelhantes, mas não iguais. A distância Gromov-Hausdorff fornece uma medida precisa das semelhanças (ou diferenças) entre as formas de dois objetos que inicialmente se encontram em espaços diferentes. “A distância de Gromov-Hausdorff é uma das melhores maneiras que temos de dizer que dois espaços são quase isométricos e dá um número a esse 'quase'”, disse Stern.

Antes que Dong e Song pudessem fazer comparações entre um espaço com uma massa pequena e um espaço perfeitamente plano, eles tiveram que cortar as protuberâncias incômodas - as pontas estreitas onde a matéria está compactada e bolhas ainda mais densas que podem abrigar pequenos buracos negros. “Nós os cortamos de modo que a área limite [onde a fatia foi feita] fosse pequena”, disse Song, “e mostramos que a área fica menor à medida que a massa diminui”.

Embora essa tática possa parecer uma trapaça, Stern disse que é permitido, para provar a conjectura, fazer uma espécie de pré-processamento, cortando bolhas e pontas cuja área diminui para zero à medida que a massa diminui.

Como substituto para um espaço com pequena massa, sugeriu ele, poderíamos imaginar uma folha de papel amassada que, depois de ser alisada novamente, ainda apresenta vincos e dobras acentuadas. Você pode usar um furador para remover as irregularidades mais proeminentes, deixando um pedaço de papel ligeiramente irregular e com alguns furos. À medida que o tamanho desses buracos diminui, também diminui a irregularidade do terreno do papel. No limite, pode-se dizer, os buracos encolheriam até zero, os montes e as cristas desapareceriam e você ficaria com um pedaço de papel uniformemente liso – um verdadeiro substituto para o espaço plano.

Foi isso que Dong e Song procuraram provar. O próximo passo foi ver como esses espaços desnudados – despojados de suas características ásperas – se comparavam ao padrão de planicidade absoluta. A estratégia que seguiram utilizou um tipo especial de mapa, que é uma forma de comparar dois espaços associando pontos de um espaço com pontos de outro. O mapa que eles usaram foi desenvolvido em um papel escrito por Stern e três colegas – Hubert Bray, Demetre Kazaras e Marcus Khuri. Este procedimento pode determinar exatamente o quão próximos dois espaços estão.

Para simplificar a tarefa, Dong e Song adotaram outro truque matemático de Stern e seus coautores, que mostrou que um espaço tridimensional pode ser dividido em infinitas fatias bidimensionais chamadas conjuntos de níveis, da mesma forma que um ovo cozido pode ser dividido em um número infinito de fatias bidimensionais chamadas conjuntos de níveis. ser segmentado em folhas estreitas pelos fios esticados de um cortador de ovos.

Os conjuntos de níveis herdam a curvatura do espaço tridimensional que compõem. Ao concentrar sua atenção em conjuntos de níveis, em vez de no espaço tridimensional maior, Dong e Song conseguiram reduzir a dimensionalidade do problema de três para dois. Isso é muito benéfico, disse Song, porque “sabemos muito sobre objetos bidimensionais… e temos muitas ferramentas para estudá-los”.

Se conseguissem mostrar com sucesso que cada conjunto de níveis é “meio plano”, disse Song, isso permitir-lhes-ia atingir o seu objectivo geral de mostrar que um espaço tridimensional com pouca massa é quase plano. Felizmente, essa estratégia deu certo.

Próximos Passos

Olhando para o futuro, Song disse que um dos próximos desafios do campo é tornar a prova mais explícita, estabelecendo um procedimento preciso para eliminar bolhas e picos e descrevendo melhor as regiões que foram cortadas. Mas, por enquanto, admitiu, “não temos uma estratégia clara para conseguir isso”.

 Outro caminho promissor, disse Song, seria explorar um conjectura separada que foi formulado em 2011 por Lee e Cristina Sormani, um matemático da City University de Nova York. A conjectura de Lee-Sormani faz uma pergunta semelhante à colocada por Huisken e Ilmanen, mas depende de uma forma diferente de medir a diferença entre as formas. Em vez de considerar a distância máxima entre duas formas, como faz a distância de Gromov-Hausdorff, a abordagem de Lee-Sormani pergunta sobre a volume do espaço entre eles. Quanto menor for o volume, mais próximos eles estarão.

Enquanto isso, Song espera analisar questões básicas sobre a curvatura escalar que não são motivadas pela física. “Na relatividade geral”, disse ele, “lidamos com espaços muito especiais que são quase planos no infinito, mas na geometria nos preocupamos com todos os tipos de espaços”.

“Há esperança de que estas técnicas possam ser valiosas noutros contextos” não relacionados com a relatividade geral, disse Stern. “Há uma grande família de problemas relacionados”, disse ele, que está esperando para ser explorada.

Quanta está realizando uma série de pesquisas para melhor atender nosso público. Pegue nosso pesquisa com leitores de matemática e você estará inscrito para ganhar de graça Quanta mercadoria.