Introdução
Como muitas pessoas que se tornariam matemáticas, Wei Ho cresceu competindo em concursos de matemática. Na oitava série, ela venceu a competição estadual Mathcounts em Wisconsin, e sua equipe ficou em terceiro lugar nas nacionais.
Ao contrário de muitos futuros matemáticos, ela não tinha certeza se algum dia quis se tornar um.
“Eu queria fazer tudo, o tempo todo”, disse Ho. “Levei o balé muito a sério até o início do ensino médio. Editei a revista literária. Eu fiz debate e perícia. Joguei tênis, futebol, piano e violino.” Em contraste, muitos matemáticos bem-sucedidos pareciam ser obcecados pela matemática, excluindo todo o resto. Como ela, uma pessoa com inúmeras paixões, poderia competir com esse nível de foco?
Por fim, Ho foi atraído pelo rigor da matemática. Ela ainda gosta de balé, de ler romances e de fazer palavras cruzadas enigmáticas, mesmo quando ajuda a reinventar a maquinaria matemática que sustenta objetos matemáticos fundamentais, como equações polinomiais, que têm questões abertas perplexas e de longa data associadas a elas.
Ho estuda objetos geométricos familiares, mas reformula as questões para situá-los no reino dos números racionais — números que podem ser escritos como frações. “Então a teoria dos números começa a se misturar a tudo isso”, disse ela.
Ela está especialmente interessada em curvas elípticas, que são definidas por um tipo particular de equação polinomial que tem aplicações em diferentes ramos da matemática. As curvas elípticas aparecem na análise – em termos gerais, o estudo de coisas contínuas, como os números reais – e na álgebra, que trata de encontrar e definir estruturas matemáticas precisas. (Embora seu foco seja diferente, a análise e a álgebra são divididas mais pela sensibilidade do que por um limite estrito, pois há muita sobreposição entre elas.)
Introdução
Em uma pré-impressão inovadora lançada em 2018, Ho e seu colaborador Levent Alpöge da Universidade de Harvard descobriu um novo limite superior para o número de soluções inteiras para polinômios que definem curvas elípticas. Sua técnica baseia-se no trabalho de décadas de Louis Mordell, um matemático americano que emigrou para a Grã-Bretanha em 1906. Em seu artigo, Ho e Alpöge conseguiram obter novas informações sobre a distribuição dessas soluções inteiras que escaparam de outras equipes que estudavam problemas.
Ho está passando o ano (em licença de seu cargo de docente na Universidade de Michigan) como professora visitante no Instituto de Estudos Avançados, onde foi recentemente nomeada a primeira diretora do programa de Mulheres e Matemática da IAS. Ela também é bolsista de 2023 da American Mathematical Society e pesquisadora da Universidade de Princeton.
Ela espera que dirigir o programa Mulheres e Matemática “pelo menos ajude mais a comunidade, ajude mais pessoas, em vez de ficar apenas em meu escritório fazendo pesquisas matemáticas sozinha ou com colaboradores”, disse ela. “Eu posso provar teoremas, e talvez algum dia eu possa provar um teorema que em 100 anos fará diferença. Talvez talvez não. Mas senti que não estava causando impacto suficiente no mundo ou nas pessoas ao meu redor.”
Quanta falou com Ho em uma série de videoconferências. As entrevistas foram condensadas e editadas para maior clareza.
Como você descreveria a maneira como você faz matemática?
Às vezes, os matemáticos se dividem em pessoas algébricas e analíticas. A matemática que faço atinge os dois lados, mas, no fundo, sou um algebrista, embora seja geométrico na maneira como penso. Costumo ver a álgebra e a geometria como essencialmente a mesma coisa.
Não é bem assim, mas basicamente desde a obra de Descartes e principalmente no século passado, os dois assuntos se aproximaram muito. Existe um dicionário bastante preciso que pode, em algumas situações, ajudar a traduzir uma figura geométrica para consequências algébricas.
No meu caso, a imagem geométrica geralmente ajuda a formular declarações e conjecturas e dar intuição, mas depois as traduzimos para a álgebra ao escrever. É mais fácil detectar erros, pois a álgebra é tipicamente mais rigorosa. Também pode ser mais fácil usar a álgebra quando a geometria fica muito difícil de visualizar.
Em quais ideias você tem se concentrado em seu trabalho recente?
Grande parte do meu trabalho tem a ver com curvas elípticas, que são objetos muito naturais na teoria dos números e na geometria aritmética.
Deve ser difícil ter soluções inteiras de equações como essas. Esperamos, basicamente, que quase todas as curvas não tenham soluções inteiras. Mas é muito difícil provar isso.
Levent e eu estudamos essa distribuição do número de pontos integrais. Usamos uma construção clássica do livro de 1969 de Mordell Equações Diofantinas. Somos capazes de fornecer um limite superior para o número de pontos integrais em uma curva elíptica. Outras pessoas deram limites superiores. Encontramos um limite diferente que é simples de declarar.
Que papel o trabalho anterior de Mordell desempenhou em seu resultado recente?
Nossa questão envolve pontos integrais em curvas elípticas. Mordell tem uma maneira de relacioná-lo com outra coisa que podemos estudar.
Isso é algo que fazemos o tempo todo em matemática: queremos entender um objeto, mas precisamos encontrar um proxy para entendê-lo. Às vezes, esse proxy é muito preciso. Às vezes, ele perde informações. Mas na verdade é algo que podemos acessar.
Quando você decidiu se concentrar em matemática?
Eu não acho que houve um ponto de inflexão para mim. Estou feliz com minha vida e carreira agora, mas sinto que se as coisas tivessem sido um pouco diferentes, eu poderia ter sido feliz em muitas carreiras ou outros campos. Talvez isso seja algo que a maioria dos matemáticos não diria, porque eles gostam de falar sobre como são apaixonados pela matemática e como nunca poderiam pensar em outra coisa. Para mim, não acho que isso seja verdade.
Estou curioso sobre muitas coisas diferentes. Talvez eu tenha acabado sendo matemático porque estava frustrado com a falta de rigor em outras áreas. Quando criança, fui treinado para pensar como um matemático em alguns aspectos, porque era assim que fazíamos as coisas em casa. Meu pai jogava jogos de matemática comigo, o que significava que eu estava aprendendo raciocínio lógico desde muito jovem. Eu queria que as coisas fossem provadas.
Mas eu não tinha certeza se seria um bom matemático.
Por quê?
Quando eu era mais jovem, não conhecia tantos matemáticos que eram como eu de maneiras diferentes. Nós jogamos essas palavras sobre modelos. Não é só que eu não tenha visto mulheres suficientes ou asiáticas americanas.
O que quero dizer é que não vi muitas pessoas apaixonadas por outras coisas além da matemática. Isso me fez duvidar muito de mim mesmo. Como posso ter sucesso em matemática se não passo 100% do meu tempo pensando em matemática? Isso é o que eu vi ao meu redor. Tive a impressão de que outras pessoas abordavam a matemática de maneira diferente de mim, meus colegas e pessoas mais velhas do que eu. Eu pensei que era difícil seguir uma carreira onde eu não seria assim. Eu teria outros interesses.
O aspecto humano é algo que eu não via outras pessoas se preocupando tanto. Eu tinha medo de que parte de mim me tornasse ruim em me tornar um matemático.
Introdução
Você acabou de ser nomeada diretora do programa Mulheres e Matemática da IAS. O que esse programa oferece às mulheres matemáticas?
É um workshop de uma semana para mulheres em diferentes estágios de carreira, incluindo graduandos, pós-graduandos, pós-doutorandos e alguns professores juniores e seniores. É aprender matemática em um ambiente de apoio.
Estudantes de graduação que podem não saber que querem seguir matemática estão conhecendo matemáticos muito experientes e recebendo orientação durante todo o caminho. Eles podem ver muitas pessoas diferentes em diferentes estágios de carreira e conversar com as pessoas sobre suas experiências. Eu não acho que existam muitos outros programas que tenham todo esse alcance e sejam focados em um subcampo específico.
O programa 2023 é chamado de “Padrões em Números Inteiros”. Terá muita gente em combinatória aditiva e teoria analítica dos números. Trazemos pessoas de diferentes carreiras para que elas se conheçam.
Para os alunos de pós-graduação mais antigos que já trabalham nessa área, eles estão conhecendo pós-doutorados, professores juniores e seniores em suas áreas e tendo a chance de trabalhar ao lado deles por uma semana.
Você também está envolvido no Projeto Stacks, que é um extenso recurso online. O que há de único nisso?
O grande volume e acessibilidade do mesmo. É um projeto colaborativo online enorme – mais de 7,500 páginas se você imprimir. Mas, realisticamente, [o matemático da Universidade de Columbia] Aise Johan de Jong escreve quase tudo. É um recurso rigoroso e cuidadosamente escrito para geômetras algébricos. É uma coisa incrível que ele fez pela comunidade.
A cada uma ou duas semanas, ele cresce. É uma referência confiável para quase tudo. Abrange uma grande quantidade de geometria algébrica que você precisaria procurar em cerca de 20 livros didáticos.
É viver no sentido de que as coisas podem ser adicionadas e editadas. Se houver erros, eles serão pegos.
A outra coisa interessante é o sistema de tags. Mesmo que este documento esteja em constante crescimento, você ainda pode referenciar uma tag específica para sempre. Existem mais de 21,000 tags permanentes para resultados específicos que você pode querer citar. Pieter Belmans construiu todo o back-end, que também foi usado em outros projetos. Outras pessoas adaptaram a tecnologia dele.
O problema é - e Johan sabe disso - ele eventualmente não conseguirá continuar escrevendo isso. Algum dia, se quisermos que isso continue, é preciso que outras pessoas se envolvam mais.
Que papel suas oficinas desempenham no projeto Stacks?
O objetivo é começar a envolver os mais jovens. Estamos fazendo com que eles escrevam pedaços que podem eventualmente ser incorporados a ele. Existem algumas tensões aqui, porque para o site permanecer correto e de alta qualidade como recurso, ele precisa ser moderado com cuidado. Portanto, Johan ainda precisa fazer muito trabalho para colocar as coisas nele. Não pode ser como a Wikipedia, onde qualquer um pode tocá-la. Isso é um pouco lamentável, mas tem que acontecer se você quiser que isso funcione.
Estamos tentando descobrir maneiras de lentamente envolver mais pessoas no projeto Stacks. Estamos trazendo mentores para trabalhar em projetos com alunos de pós-graduação e pós-doutorandos. Eles aprendem um pouco de geometria algébrica. Então eles escrevem algo.
We acabou de publicar um volume com um monte de artigos expositivos que esperamos que acabem entrando no projeto Stacks.
O projeto Stacks pode continuar sendo extremamente impactante por centenas de anos se um número suficiente de pessoas se envolver e continuar.
