No início da década de 1950, um grupo de pesquisadores do Instituto de Estudos Avançados embarcou em um projeto de alta tecnologia. No ordenar de John von Neumann e Herman Goldstine, o físico Hedvig Selberg programou o computador de 1,700 tubos de vácuo do IAS para calcular curiosas somas matemáticas cujas origens remontam ao século XVIII.
As somas estavam relacionadas a somas de Gauss quadráticas, nomeadas em homenagem ao famoso matemático Carl Friedrich Gauss. Gauss escolheria algum número primo p, então some os números da forma $latex e^{frac{2iπn^2}{p}}$. Desde a sua criação, as somas quadráticas de Gauss provaram ser inestimáveis para tarefas como contar soluções para certos tipos de equações. “Acontece que as somas de Gauss são mágicas, elas apenas fazem coisas maravilhosas por Deus sabe por que razão”, disse Jeffrey Hoffstein, um matemático da Brown University.
Em meados do século 19, o matemático alemão Ernst Eduard Kummer estava brincando com um parente próximo a essas somas de Gauss quadráticas, onde a n2 no expoente é substituído por um n3. Kummer notou que eles tendiam a coletar valores próximos a particulares em um grau surpreendente – uma observação perspicaz que levaria a séculos de investigação na teoria dos números.
Se as somas cúbicas de Gauss não forem retrabalhadas em uma fórmula mais simples, seus valores serão difíceis de inferir. Na falta de tal fórmula, Kummer começou a calcular somas cúbicas de Gauss – e calcular, e calcular. “Era muito comum que eles fizessem esse tipo de computação heróica à mão naquela época”, disse Matthew Young, um matemático da Texas A&M University. Depois de passar por 45 somas, correspondentes aos primeiros 45 números primos não triviais, Kummer finalmente desistiu.
Examinando seus resultados, Kummer notou algo interessante. Em teoria, as somas podem ser qualquer coisa entre -1 e 1 (depois de serem “normalizadas” – divididas por uma constante adequada). Mas quando ele fez os cálculos, descobriu que eles estavam distribuídos de maneira estranha. Metade dos resultados ficou entre ½ e 1, e apenas um sexto deles ficou entre −1 e −½. Eles pareciam se agrupar em torno de 1.
Kummer expôs suas observações, juntamente com uma conjectura: se você de alguma forma conseguisse traçar todas as infinitas somas cúbicas de Gauss, veria a maioria delas entre ½ e 1; menos entre −½ e ½; e ainda menos entre -1 e -½.
Selberg, von Neumann e Goldstine decidiram testar isso em seu computador inicial. Selberg o programou para calcular as somas cúbicas de Gauss para todos os primos não triviais menores que 10,000 – cerca de 600 somas no total. (Goldstine e von Neumann continuariam a escrever o artigo; suas contribuições acabariam relegadas a uma linha de agradecimento no final.) Eles descobriram que, à medida que os primos aumentavam, as somas normalizadas se tornavam menos inclinadas a se agrupar perto de 1. Com evidências convincentes de que a conjectura de Kummer estava errada, os matemáticos começaram a tentar entender as somas cúbicas de Gauss de uma maneira mais profunda que ia além da mera computação.
Esse processo agora está completo. Em 1978, o matemático Samuel Paterson arriscou uma solução para o mistério matemático de Kummer, mas não conseguiu provar. Então, no outono passado, dois matemáticos do Instituto de Tecnologia da Califórnia provaram a conjectura de Patterson, finalmente encerrando as reflexões de Kummer de 1846.
Patterson ficou viciado no problema pela primeira vez como estudante de pós-graduação na Universidade de Cambridge na década de 1970. Sua conjectura foi motivada pelo que acontece quando os números são colocados aleatoriamente em qualquer lugar entre -1 e 1. Se você somar N desses números aleatórios, o tamanho típico da soma será $latexsqrt{N}$ (pode ser positivo ou negativo). Da mesma forma, se as somas cúbicas de Gauss fossem espalhadas uniformemente de -1 a 1, você esperaria N deles para somar aproximadamente $latexsqrt{N}$.
Com isso em mente, Patterson somou N somas cúbicas de Gauss, ignorando (no momento) a exigência de manter os números primos. Ele descobriu que a soma estava em torno de N5/6 — maior que $latexsqrt{N}$ (que pode ser escrito como N1/2), mas inferior a N. Esse valor implicava que as somas se comportavam como números aleatórios, mas com uma força fraca pressionando-os em direção a valores positivos, chamado de viés. Como N ficasse cada vez maior, a aleatoriedade começaria a superar o viés e, portanto, se você de alguma forma olhasse para todas as infinitas somas de Gauss cúbicas de uma só vez, elas apareceriam uniformemente distribuídas.
Isso aparentemente explicava tudo: os cálculos de Kummer mostrando um viés, bem como os cálculos do IAS refutando um.
Mas Patterson não foi capaz de fazer os mesmos cálculos para números primos, então em 1978, ele escreveu oficialmente como um conjetura: Se você somar as somas cúbicas de Gauss para números primos, deverá obter o mesmo N5/6 comportamento.
Logo após dar uma palestra sobre seu trabalho no problema de Kummer, Patterson foi contatado por um estudante de pós-graduação chamado Roger Heath-Brown, que sugeriu incorporar técnicas da teoria dos números primos. Os dois se uniram e logo publicado um avanço sobre o problema, mas eles ainda não conseguiram mostrar que a previsão de Patterson N5/6 viés foi preciso para primos.
Nas décadas seguintes, houve pouco progresso. Finalmente, na virada do milênio, Heath-Brown fez outra avanço, na qual uma ferramenta que ele desenvolveu, chamada de peneira cúbica grande, desempenhou um papel essencial.
Para usar a peneira cúbica grande, Heath-Brown usou uma série de cálculos para relacionar a soma das somas cúbicas de Gauss a uma soma diferente. Com esta ferramenta, Heath-Brown foi capaz de mostrar que se você somar as somas cúbicas de Gauss para primos menores que N, o resultado não pode ser muito maior do que N5/6. Mas ele pensou que poderia fazer melhor – que a própria peneira poderia ser melhorada. Se pudesse, diminuiria o limite para N5/6 exatamente, provando assim a conjectura de Patterson. Em uma pequena linha de texto, ele esboçou o que achava que seria a melhor fórmula possível para a peneira.
Mesmo com essa nova ferramenta em mãos, os matemáticos não conseguiram avançar mais. Duas décadas depois, um encontro de sorte entre o pós-doutorando da Caltech Alexandre Dunn e seu supervisor Maksym Radziwiłł marcou o início do fim. Antes de Dunn começar sua posição em setembro de 2020, Radziwiłł propôs que eles trabalhassem juntos na conjectura de Patterson. Mas com a pandemia de Covid-19 ainda em fúria, a pesquisa e o ensino continuaram remotamente. Finalmente, em janeiro de 2021, o acaso – ou destino – interveio quando os dois matemáticos se encontraram inesperadamente em um estacionamento de Pasadena. “Conversamos cordialmente e concordamos que deveríamos começar a nos encontrar e conversar sobre matemática”, escreveu Dunn em um e-mail. Em março, eles estavam trabalhando diligentemente em uma prova da conjectura de Patterson.
“Foi emocionante trabalhar, mas de risco extremamente alto”, disse Dunn. “Quero dizer, eu me lembro de ir ao meu escritório às 5 da manhã todas as manhãs por quatro ou cinco meses.”
Dunn e Radziwiłł, como Heath-Brown antes deles, acharam a peneira cúbica grande indispensável para sua prova. Mas quando eles usaram a fórmula que Heath-Brown havia escrito em seu artigo de 2000 – aquela que ele acreditava ser a melhor peneira possível, uma conjectura que a comunidade da teoria dos números passou a acreditar que era verdade – eles perceberam que algo não estava certo. . “Conseguimos provar que 1 = 2, após um trabalho muito, muito complicado”, disse Radziwiłł.
Nesse ponto, Radziwiłł tinha certeza de que o erro era deles. “Eu estava meio convencido de que basicamente temos um erro em nossa prova.” Dunn o convenceu do contrário. A peneira cúbica grande, ao contrário das expectativas, não poderia ser melhorada.
Armados com a precisão da grande peneira cúbica, Dunn e Radziwiłł recalibraram sua abordagem à conjectura de Patterson. Desta vez, eles conseguiram.
“Acho que essa foi a principal razão pela qual ninguém fez isso, porque essa conjectura [de Heath-Brown] estava enganando a todos”, disse Radziwiłł. “Acho que se eu dissesse a Heath-Brown que sua conjectura está errada, ele provavelmente descobriria como fazê-lo.”
Dunn e Radziwiłł publicaram seu artigo em 15 de setembro de 2021. No final, sua prova se baseou na hipótese generalizada de Riemann, uma conjectura não comprovada em matemática. Mas outros matemáticos vêem isso apenas como uma pequena desvantagem. “Gostaríamos de nos livrar da hipótese. Mas estamos felizes por ter um resultado condicional de qualquer maneira”, disse Heath-Marrom, que agora é professor emérito da Universidade de Oxford.
Para Heath-Brown, o trabalho de Dunn e Radziwiłł é mais do que apenas uma prova da conjectura de Patterson. Com sua visão inesperada da grande peneira cúbica, o artigo trouxe um final surpreendente para uma história da qual ele faz parte há décadas. “Fico feliz por não ter escrito no meu artigo: 'Tenho certeza de que podemos nos livrar disso'”, disse ele, referindo-se ao pedaço da peneira que Dunn e Radziwiłł descobriram ser essencial. “Eu apenas disse: 'Seria bom se alguém pudesse se livrar disso. Parece possível que você seja capaz. E eu estava errado – não pela primeira vez.”
