Uma velha conjectura cai, tornando as esferas muito mais complicadas | Revista Quanta

No início de junho, o burburinho aumentou quando os matemáticos pousaram no aeroporto de Heathrow, em Londres. O destino deles era a Universidade de Oxford e um conferência em homenagem ao 65º aniversário de michael hopkins, um matemático da Universidade de Harvard que serviu como mentor para muitos dos participantes.

Hopkins ganhou fama no final da década de 1980 por trabalhar em sete conjecturas que Douglas Ravenel da Universidade de Rochester havia formulado uma década antes. Eles tinham a ver com técnicas para determinar quando duas formas, ou espaços, que poderiam parecer diferentes são realmente iguais. Hopkins e seus colaboradores provaram todas as conjecturas de Ravenel, exceto uma, um problema com um nome sugestivo, mas misterioso, chamado conjectura do telescópio.

Na época, Hopkins encerrou seu trabalho com base nas conjecturas de Ravenel. Durante décadas depois, a conjectura do telescópio parecia quase impossível de resolver.

“Você não poderia tocar em um teorema como esse”, disse Hopkins.

Mas quando os matemáticos desembarcaram em Londres, correram rumores de que isso tinha sido feito – por um grupo de quatro matemáticos ligados ao Instituto de Tecnologia de Massachusetts, três dos quais tinham sido aconselhados por Hopkins na pós-graduação. O mais novo dos quatro, um estudante de pós-graduação chamado Ishan Levy, estava programado para dar uma palestra na terça-feira, segundo dia da conferência, que parecia ser o momento em que uma prova poderia ser anunciada.

“Eu tinha ouvido rumores de que isso estava por vir e não sabia exatamente o que esperar”, disse Vesna Stojanoska, um matemático da Universidade de Illinois, Urbana-Champaign, que participou da conferência.

Logo ficou claro que os rumores eram verdadeiros. A partir de terça-feira e ao longo dos próximos três dias, Levy e seus coautores — Robert Burklund, Jeremy Hahn e Tomer Schlank — explicou à multidão de cerca de 200 matemáticos como eles provaram que a conjectura do telescópio era falsa, tornando-a a única das conjecturas originais de Ravenel que não era verdadeira.

A refutação da conjectura do telescópio tem implicações abrangentes, mas uma das mais simples e profundas é esta: significa que em dimensões muito elevadas (pense numa esfera de 100 dimensões), o universo de diferentes formas é muito mais complicado do que os matemáticos anteciparam.

Mapeando os Mapas

Para classificar formas, ou espaços topológicos, os matemáticos distinguem entre diferenças que importam e aquelas que não importam. A teoria da homotopia é uma perspectiva a partir da qual se podem fazer essas distinções. Ele considera que uma bola e um ovo são fundamentalmente o mesmo espaço topológico, porque você pode dobrar e esticar um no outro sem rasgar nenhum deles. Da mesma forma, a teoria da homotopia considera que uma bola e um tubo interno são fundamentalmente diferentes porque é necessário abrir um buraco na bola para deformá-la no tubo interno.

A homotopia é útil para classificar espaços topológicos – criando um gráfico de todos os tipos de formas possíveis. Também é importante para compreender outra coisa que interessa aos matemáticos: mapas entre espaços. Se você tiver dois espaços topológicos, uma maneira de testar suas propriedades é procurar funções que convertam, ou mapeiem, pontos de um para pontos do outro - insira um ponto no espaço A, obtenha um ponto no espaço B como saída, e faça isso para todos os pontos de A.

Para ver como estes mapas funcionam e por que iluminam as propriedades dos espaços envolvidos, comece com um círculo. Agora mapeie-o na esfera bidimensional, que é a superfície de uma bola. Existem infinitas maneiras de fazer isso. Se você imaginar a esfera como a superfície da Terra, poderá colocar seu círculo em qualquer linha de latitude, por exemplo. Do ponto de vista da teoria da homotopia, todos eles são equivalentes, ou homotópicos, porque todos podem encolher até um ponto no pólo norte ou no pólo sul.

Em seguida, mapeie o círculo na superfície bidimensional de um tubo interno (um toro de um furo). Novamente, existem infinitas maneiras de fazer isso, e a maioria é homotópica. Mas nem todos eles. Você pode colocar um círculo horizontal ou verticalmente ao redor do toro, e nenhum deles pode ser deformado suavemente no outro. Estas são duas (de muitas) maneiras de mapear um círculo no toro, embora haja apenas uma maneira de mapeá-lo em uma esfera, refletindo uma diferença fundamental entre os dois espaços: o toro tem um buraco, enquanto a esfera não tem nenhum.

É fácil contar as maneiras pelas quais podemos mapear do círculo para a esfera ou toro bidimensional. São espaços familiares e fáceis de visualizar. Mas contar mapas é muito mais difícil quando estão envolvidos espaços de dimensões superiores.

Diferenças Dimensionais

Se duas esferas têm a mesma dimensão, há sempre infinitos mapas entre elas. E se o espaço do qual você está mapeando for de dimensão inferior ao espaço para o qual você está mapeando (como em nosso exemplo do círculo unidimensional mapeado em uma esfera bidimensional), sempre haverá apenas um mapa.

Em parte por esse motivo, contar mapas é mais interessante quando o espaço a partir do qual você está mapeando tem uma dimensão maior do que o espaço para o qual você está mapeando, como quando você mapeia uma esfera de sete dimensões em uma esfera tridimensional. Em casos como esses, o número de mapas é sempre finito.

“Os mapas entre esferas em geral tendem a ser mais interessantes quando a fonte tem uma dimensão maior”, disse Hahn.

Além disso, o número de mapas depende apenas da diferença no número de dimensões (uma vez que as dimensões sejam grandes o suficiente em comparação com a diferença). Ou seja, o número de mapas de uma esfera de 73 dimensões para uma esfera de 53 dimensões é o mesmo que o número de mapas de uma esfera de 225 dimensões para uma esfera de 205 dimensões, porque em ambos os casos, a diferença de dimensão é 20.

Os matemáticos gostariam de saber o número de mapas entre espaços de qualquer diferença de dimensão. Eles conseguiram calcular o número de mapas para quase todas as diferenças de dimensão até 100: existem 24 mapas entre esferas quando a diferença é 20 e 3,144,960 quando é 23.

Mas calcular o número de mapas para qualquer diferença maior que 100 esgota o poder da computação moderna. E, ao mesmo tempo, os matemáticos não detectaram padrões suficientes no número de mapas para extrapolar ainda mais. O objetivo deles é preencher uma tabela que especifique o número de mapas para qualquer diferença de dimensão, mas esse objetivo parece muito distante.

“Esta não é uma questão para a qual espero uma solução completa durante a vida dos meus netos”, disse Ravenel, de 76 anos.

A conjectura do telescópio faz uma previsão sobre como o número de mapas cresce à medida que a diferença na dimensão aumenta. Com efeito, prevê que o número cresça lentamente. Se fosse verdade, teria facilitado um pouco o problema de preenchimento daquela tabela.

Dúvida em descrença

A conjectura do telescópio recebeu esse nome de uma forma improvável.

Começou com o fato de que em dimensões muito altas, a intuição geométrica formada em dimensões inferiores muitas vezes falha e é difícil contar mapas entre esferas. Mas ao formular sua conjectura, Ravenel entendeu que não é necessário. Em vez de contar mapas entre esferas, você pode fazer uma contagem proxy mais fácil de mapas entre esferas e objetos chamados telescópios.

Os telescópios envolvem uma série de cópias de uma curva fechada de dimensões superiores, cada uma uma versão reduzida daquela que veio antes dela. A série de curvas lembra os tubos interligados de um telescópio dobrável real. “Por mais bizarro que este telescópio pareça quando você o descreve, na verdade é um objeto mais fácil de lidar do que a própria esfera”, disse Ravenel.

Mesmo assim, as esferas podem ser mapeadas em telescópios de muitas maneiras diferentes, e o desafio é saber quando esses mapas são genuinamente distintos.

Determinar se dois espaços são homotópicos requer um teste matemático conhecido como invariante, que é um cálculo baseado nas propriedades dos espaços. Se o cálculo produzir um valor diferente para cada espaço, você sabe que eles são únicos do ponto de vista da homotopia.

Existem muitos tipos de invariantes, e alguns podem perceber diferenças que outros invariantes ignoram. A conjectura do telescópio prevê que um invariante chamado Morava E-a teoria (e suas simetrias) pode distinguir perfeitamente todos os mapas entre esferas e telescópios até a homotopia - isto é, se Morava E-a teoria diz que os mapas são distintos, são distintos, e se diz que são iguais, são iguais.

Mas em 1989 Ravenel começou a duvidar que isso fosse verdade. Seu ceticismo emergiu dos cálculos que realizou e que não pareciam ser consistentes com a conjectura. Mas foi só em outubro daquele ano, quando um enorme terremoto atingiu a Bay Area enquanto ele estava em Berkeley, que essas dúvidas se transformaram em descrença total.

“Cheguei a esta conclusão um ou dois dias após o terremoto, então gosto de pensar que algo aconteceu que me fez pensar que não era verdade”, disse Ravenel.

Refutar a conjectura do telescópio exigiria encontrar um invariante mais poderoso que pudesse ver as coisas que Morava E-a teoria não pode. Durante décadas, tal invariante parecia não estar disponível, colocando a conjectura firmemente fora de alcance. Mas o progresso nos últimos anos mudou isso – e Burklund, Hahn, Levy e Schlank capitalizaram-no.

O exótico explosivo

Sua prova depende de um conjunto de ferramentas chamadas algébricas K-teoria, que foi estabelecida na década de 1950 por Alexander Grothendieck e se desenvolveu rapidamente na última década. Tem aplicações em matemática, inclusive em geometria, onde tem a capacidade de sobrecarregar um invariante.

Os quatro autores usam algébrica K-teoria como um gadget: eles inserem Morava E-teoria, e sua saída é um novo invariante que eles chamam de algébrico K-teoria dos pontos fixos de Morava E-teoria. Eles então aplicam esse novo invariante a mapas de esferas a telescópios e provam que ele pode ver mapas que Morava E-a teoria não pode.

E não é só que esta nova invariante vê mais alguns mapas. Ele vê muito mais, até infinitamente mais. Tantos mais que é justo dizer Morava E-a teoria mal estava arranhando a superfície quando se tratava de identificar mapas de esferas a telescópios.

Infinitamente mais mapas de esferas para telescópios significam infinitamente mais mapas entre as próprias esferas. O número de tais mapas é finito para qualquer diferença de dimensão, mas a nova prova mostra que o número cresce rápida e inexoravelmente.

O fato de existirem tantos mapas aponta para uma realidade geométrica perturbadora: existem tantas esferas.

Em 1956, John Milnor identificou os primeiros exemplos do que chamamos de esferas “exóticas”. Estes são espaços que podem ser deformados na esfera real a partir da perspectiva da homotopia, mas são diferentes da esfera num certo sentido preciso. Esferas exóticas não existem nas dimensões um, dois ou três, e ninguém descobriu exemplos delas abaixo da dimensão sete – a dimensão onde Milnor as encontrou pela primeira vez. Mas à medida que a dimensão cresce, o número de esferas exóticas explode. Existem 16,256 na dimensão 15 e 523,264 na dimensão 19.

E, no entanto, por maiores que sejam esses números, a refutação da conjectura do telescópio significa que há muitos, muitos mais. A refutação significa que há mais mapas entre esferas do que o previsto quando Ravenel declarou a conjectura, e a única maneira de obter mais mapas é ter uma variedade maior de esferas para mapear entre elas.

Existem diferentes tipos de progresso em matemática e ciências. Um tipo traz ordem ao caos. Mas outro intensifica o caos ao dissipar suposições esperançosas que não eram verdadeiras. A refutação da conjectura do telescópio é assim. Isso aprofunda a complexidade da geometria e aumenta as chances de que muitas gerações de netos venham e vão antes que alguém entenda totalmente os mapas entre as esferas.

“Cada grande avanço no assunto parece nos dizer que a resposta é muito mais complicada do que pensávamos antes”, disse Ravenel.