Colorir por números revela padrões aritméticos em frações

Um ano depois de começar seu Ph.D. em matemática na McGill University, Matt Bowen teve um problema. “Fiz meus exames de qualificação e fui absolutamente horrível neles”, disse ele. Bowen tinha certeza de que suas pontuações não refletiam suas habilidades matemáticas e resolveu prová-lo. No outono passado ele fez, quando ele e seu conselheiro, Marcin Sabok, postou um grande avanço na área conhecida como Teoria de Ramsey.

Por quase um século, os teóricos de Ramsey reuniram evidências de que a estrutura matemática persiste em circunstâncias hostis. Eles podem separar grandes conjuntos de números, como inteiros ou frações, ou dividir as conexões entre pontos em uma rede. Eles então encontram maneiras de provar que certas estruturas são inevitáveis, mesmo que você tente evitar criá-las quebrando ou fatiando de maneira inteligente.

Quando os teóricos de Ramsey falam sobre a divisão de um conjunto de números, eles costumam usar a linguagem da coloração. Escolha várias cores: vermelho, azul e amarelo, por exemplo. Agora atribua uma cor a cada número em uma coleção. Mesmo que você faça isso de maneira aleatória ou caótica, certos padrões inevitavelmente surgirão, desde que você use apenas um número finito de cores diferentes, mesmo que esse número seja muito grande. Os teóricos de Ramsey tentam encontrar esses padrões, procurando por conjuntos estruturados de números que são “monocromáticos”, o que significa que todos os seus elementos receberam a mesma cor.

Os primeiros resultados de coloração remontam ao final do século XIX. Em 19, Issai Schur provou que, independentemente de como você colore os números inteiros positivos (também conhecidos como números naturais), sempre haverá um par de números x e y de tal modo que x, y, e sua soma x+y são todos da mesma cor. Ao longo do século 20, os matemáticos continuaram trabalhando em problemas de coloração. Em 1974, Neil Hindman resultado estendido de Schur para incluir um subconjunto infinito dos inteiros. Como o teorema de Schur, o de Hindman se aplica independentemente de como os números naturais são coloridos (com um número finito de giz de cera). Não apenas esses inteiros no conjunto de Hindman são todos da mesma cor, mas se você somar qualquer coleção deles, o resultado também será dessa cor. Tais conjuntos se assemelham aos números pares no sentido de que, assim como qualquer soma de números pares é sempre par, também a soma de quaisquer números em um dos conjuntos de Hindman estaria contida naquele conjunto.

“O teorema de Hindman é uma peça incrível da matemática”, disse Sabok. “É uma história da qual podemos fazer um filme.”

Mas Hindman pensou que mais era possível. Ele acreditava que você poderia encontrar um conjunto monocromático arbitrariamente grande (mas finito) que continha não apenas as somas de seus membros, mas também os produtos. “Eu defendo há décadas que isso é um fato”, disse ele, acrescentando: “Não afirmo que posso provar isso”.

Conjectura de Hindman

Se você desistir da soma e quiser apenas garantir que os produtos sejam da mesma cor, é fácil adaptar o teorema de Hindman usando a exponenciação para transformar somas em produtos (da mesma forma que uma régua de cálculo faz).

Lutar com somas e produtos simultaneamente, no entanto, é muito mais difícil. “É muito difícil fazer esses dois conversarem”, disse Joel Moreira, um matemático da Universidade de Warwick. “Entender como a adição e a multiplicação se relacionam – isso é, de certa forma, quase a base de toda a teoria dos números.”

Mesmo uma versão mais simples que Hindman sugeriu pela primeira vez na década de 1970 provou ser um desafio. Ele conjecturou que qualquer coloração dos números naturais deve conter um conjunto monocromático da forma {x, y, xy, x+y} — dois números x e y, bem como sua soma e produto. “As pessoas realmente não fizeram nenhum progresso nesse problema por décadas”, disse Bowen. “E então, de repente, por volta de 2010, as pessoas começaram a provar mais e mais coisas sobre isso.”

Bowen aprendeu sobre o {x, y, xy, x+y} problema em 2016, seu segundo semestre de faculdade, quando um de seus professores da Carnegie Mellon University descreveu o problema em sala de aula. Bowen ficou impressionado com sua simplicidade. “É uma dessas coisas legais em que é como, bem, não sei muito de matemática, mas meio que consigo entender isso”, disse ele.

Em 2017, Moreira provou que Você pode sempre encontre um conjunto monocromático contendo três dos quatro elementos desejados: x, xy e x + y. Enquanto isso, Bowen começou a mexer casualmente com a questão durante seu último ano. “Na verdade, não consegui resolver o problema”, disse ele. “Mas eu voltaria a isso a cada seis meses ou mais.” Depois de sua fraca exibição em seu Ph.D. exames de qualificação em 2020, ele redobrou seus esforços. Alguns dias depois, ele provou o {x, y, xy, x+y} conjectura para o caso de duas cores, resultado que Ron Graham já havia provado na década de 1970 com o auxílio de um computador.

Com esse sucesso, Bowen trabalhou com Sabok para estender o resultado a qualquer número de cores. Mas eles rapidamente se envolveram em detalhes técnicos. “A complexidade do problema fica completamente fora de controle quando o número de cores é grande”, disse Sabok. Por 18 meses, eles tentaram se livrar, com pouca sorte. “Durante este ano e meio, tivemos cerca de um milhão de provas erradas”, disse Sabok.

Uma dificuldade em particular impediu que os dois matemáticos progredissem. Se você escolher dois inteiros aleatoriamente, provavelmente não conseguirá dividi-los. A divisão só funciona no caso raro em que o primeiro número é múltiplo do segundo. Isso acabou sendo extremamente limitante. Com essa percepção, Bowen e Sabok giraram para provar o {x, y, xy, x+y} conjetura nos números racionais (como os matemáticos chamam de frações). Lá, os números podem ser divididos com abandono.

A prova de Bowen e Sabok é mais elegante quando todas as cores envolvidas aparecem frequentemente ao longo dos números racionais. As cores podem aparecer “frequentemente” de várias maneiras diferentes. Cada um deles pode cobrir grandes partes da reta numérica. Ou pode significar que você não pode viajar muito ao longo da linha numérica sem ver todas as cores. Normalmente, porém, as cores não obedecem a tais regras. Nesses casos, você pode focar em pequenas regiões dentro dos números racionais onde as cores aparecem com mais frequência, explicou Sabok. “Foi aqui que veio a maior parte do trabalho”, disse ele.

Em outubro de 2022, Bowen e Sabok publicaram uma prova de que, se você colorir os números racionais com um número finito de cores, haverá um conjunto da forma {x, y, xy, x+y} cujos elementos têm todos a mesma cor. “É uma prova incrivelmente inteligente”, disse Líder Imre da Universidade de Cambridge. “Ele usa resultados conhecidos. Mas combina-os de uma forma absolutamente brilhante, muito original e muito inovadora.”

Muitas perguntas permanecem. Pode um terceiro número z ser adicionado à coleção, juntamente com as somas e produtos resultantes? Satisfazer as previsões mais ousadas de Hindman significaria adicionar um quarto, um quinto e, eventualmente, arbitrariamente muitos novos números à sequência. Também exigiria passar dos números racionais para os naturais e encontrar uma maneira de contornar o enigma da divisão que atrapalhava os esforços de Bowen e Sabok.

Leader acredita que com Moreira, Bowen e Sabok trabalhando no problema, essa prova pode não estar longe. “Esses caras parecem particularmente brilhantes em encontrar novas maneiras de fazer as coisas”, disse ele. “Portanto, estou meio otimista de que eles ou alguns de seus colegas possam encontrá-lo.”

Sabok é mais cauteloso em suas previsões. Mas ele não descarta nada. “Um dos encantos da matemática é que, antes de obter uma prova, tudo é possível”, disse ele.