Ladrilhos de Einstein – a incrível forma de “chapéu” que nunca se repete!

A matemática é um campo complexo e esotérico que sustenta a ciência e a engenharia, incluindo principalmente as disciplinas de criptografia e segurança cibernética.

(Aí… adicionamos uma menção à segurança cibernética, justificando assim o restante deste artigo.)

O tópico da matemática tem sido extensa e fervorosamente estudado pelo menos desde os tempos antigos da Babilônia, e os nomes de muitos matemáticos famosos entraram em nosso vocabulário cotidiano, em frases como pitagórico triângulos (aqueles que têm um ângulo reto neles), cartesiano geometria (trabalhando com formas em superfícies planas), computador algoritmos (sequências de instrução que funcionam de forma iterativa ou recursiva para calcular um resultado) e Penrose ladrilhos.

Os ladrilhos de Penrose, se você já os conheceu, foram descobertos por Sir Roger Penrose na década de 1970 e lidavam com formas fascinantes e incomuns de cobrir superfícies em combinações de formas.

Caso você esteja se perguntando por que a palavra algoritmo não tem letra maiúscula como as outras, porque não é uma tradução precisa de um nome original, mas uma palavra derivada de Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi, um influente matemático, geógrafo e astrônomo que viveu há cerca de 1200 anos em uma área a leste do Mar Cáspio e ao sul do Mar de Aral, uma região agora dividida entre o Uzbequistão e o Turcomenistão.

Ladrilhos feitos descolado

Superfícies de azulejos, é claro, são comuns, por exemplo, em banheiros, cozinhas e passarelas.

E em telhados, é claro, mas vamos ignorar as telhas neste artigo porque elas são projetadas para se sobrepor, de modo que evitam a entrada de chuva sem a necessidade de serem vedadas individualmente umas contra as outras.

Mesmo as áreas acarpetadas costumam ser ladrilhadas, especialmente em escritórios, para que partes do piso possam ser repintadas sem rasgar e substituir o carpete levemente usado em torno das partes desgastadas.

Se você já visitou a sede da Sophos no Reino Unido, por exemplo, saberá que é uma área amplamente aberta coberta por carpetes quadrados em vários tons suaves de azul e verde claro:

Como você pode ver, os ladrilhos quadrados formam o que é conhecido como padrão periódico, o que significa que o padrão se repete de vez em quando.

No exemplo acima, a grade precisa usada no layout garante que o padrão se repita em ambas as dimensões depois de mover apenas um quadrado para cima, para baixo, para a esquerda ou para a direita.

Padrões mais complexos e visualmente atraentes, mas que são ladrilhos periódicos porque se repetem, podem ser feitos com combinações regulares de formas simples, como o hepta-pentágono:

Ou o losango-tri-hexágono:

Ladrilhos de Penrose

Isso nos leva às telhas de Penrose.

Embora Sir Roger Penrose seja provavelmente mais famoso como o vencedor do Prêmio Nobel de Física em 2020, ele também é conhecido por seu trabalho em uma classe especial de padrões de ladrilhos conhecida como conhecida ladrilhos aperiódicos.

Ao contrário dos ladrilhos periódicos, que se repetem de vez em quando, os ladrilhos aperiódicos nunca se repetem, não importa o quão cuidadosamente você escolha a próxima peça a colocar e onde colocá-la…

…mesmo que os ladrilhos sejam baseados em um número finito de formas e cubram uma superfície infinita sem lacunas ou sobreposições.

Ladrilhos periódicos são um pouco como números racionais (frações baseadas em um número inteiro dividido por outro), pois, eventualmente, eles se repetem, não importa o que você faça.

Se você dividir 22 por 7, por exemplo, obterá cerca de 3.142..., convenientemente próximo ao valor de Pi, que é cerca de 3.14159...

Mas 22/7 na verdade sai como 3.142857142857142857… e esse padrão 142857 continua se repetindo para sempre, porque o número é a razão (portanto, a descrição número racional) de dois números inteiros.

Em contraste, o verdadeiro valor de Pi é irracional: não pode ser reduzido a uma proporção e seu valor em decimal nunca cai em um padrão de repetição.

Que tal um tipo semelhante de sequência sem repetição baseada não em valores numéricos, mas em formas?

Você precisaria de um número infinito de formas diferentes para garantir um padrão que nunca se repetisse, ou poderia fazer seu (reconhecidamente interminável) trabalho de ladrilhos com um conjunto finito de ladrilhos?

Penrose conseguiu o número de formas diferentes necessárias para garantir ladrilhos não repetidos para apenas dois, mas a questão persiste desde então: Você consegue encontrar uma única forma, um único ladrilho, que possa ser colocado repetidamente para cobrir uma superfície infinita sem nunca se repetir?

No que passa por um trocadilho matemático, esse Santo Graal de ladrilhos é conhecido como einstein, que significa “uma forma” em alemão, mas também ecoa o nome Albert Einstein, de E=mc² fama.

Apresentando… o Chapéu

Bem, um quarteto matemático liderado por um pesquisador de formas britânico chamado David Smith, afirma que einsteins existem e revelou um triskaidecagon (uma figura de 13 lados) que eles apelidaram de Chapéu.

Eles afirmam ter provado que o Chapéu gera o tão esperado resultado de um padrão aperiódico, por conta própria:

Simplificando, se você ladrilhar o chão, a varanda, a entrada da garagem ou mesmo o campo de futebol local com um suprimento de ladrilhos Hat…

…você eventualmente cobrirá toda a superfície com um padrão que nunca se repete.

Apesar de exibir vários “subdesigns” e aparentes autossimilaridades à medida que você constrói sua arte baseada em chapéu, este é o Pi dos pisos: por mais que tente, você nunca obterá um padrão regular e periódico de isto.

O que fazer?

Não vamos nem tentar uma descrição do prova aqui - com toda a franqueza, ainda não conseguimos digeri-lo nós mesmos - então vamos apenas sugerir que você Estude-o em seu próprio tempo. (Talvez reserve um fim de semana prolongado para a tarefa?

Mas se você quiser brincar com o conceito de ladrilhos aperiódicos, por que não assar alguns biscoitos de chapéu ou biscoitos se você for da América do Norte?

Se você tem uma impressora 3D, pode baixar um projeto para fazer seu próprio cortador de massa em forma de chapéu!

*Colocando o chapéu do GinderBread Instruments CSO*.

Os instrumentos GinderBread orgulhosamente apresentam um cortador de biscoitos aperiódico impresso em 3D. Baseado no monótolo aperiódico de Smith, Myers, Kaplan e Goodman-Strauss.https://t.co/hEdtNCXX1d pic.twitter.com/FoyedYcDM9

- Nikolay Tumanov (@ntumanov_Xray) 28 de março de 2023

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• Fonte: https://nakedsecurity.sophos.com/2023/04/04/einstein-tilings-the-amazing-hat-shape-that-never-repeats/