'Bagels de Entropia' e outras estruturas complexas emergem de regras simples | Revista Quanta

A repetição nem sempre precisa ser monótona. Na matemática, é uma força poderosa, capaz de gerar uma complexidade desconcertante.

Mesmo depois de décadas de estudo, os matemáticos encontram-se incapazes de responder a questões sobre a execução repetida de regras muito simples – os “sistemas dinâmicos” mais básicos. Mas, ao tentarem fazê-lo, descobriram ligações profundas entre essas regras e outras áreas aparentemente distantes da matemática.

Por exemplo, o conjunto Mandelbrot, que eu escreveu sobre no mês passado, é um mapa de como uma família de funções - descrita pela equação f(x) = x² + c - se comporta como o valor de c percorre o chamado plano complexo. (Ao contrário dos números reais, que podem ser colocados numa reta, os números complexos têm duas componentes, que podem ser traçadas no gráfico. x- e y-eixos de um plano bidimensional.)

Não importa o quanto você amplie o conjunto de Mandelbrot, novos padrões sempre surgem, sem limites. “É completamente surpreendente para mim, mesmo agora, que esta estrutura tão complexa emerge de regras tão simples”, disse Mateus Baker do Instituto de Tecnologia da Geórgia. “É uma das descobertas realmente surpreendentes do século 20.”

A complexidade do conjunto de Mandelbrot surge em parte porque é definido em termos de números que são, eles próprios, complexos. Mas, talvez surpreendentemente, essa não é toda a história. Mesmo quando c é um número real direto como, digamos, –3/2, todos os tipos de fenômenos estranhos podem ocorrer. Ninguém sabe o que acontece quando você aplica repetidamente a equação f(x) = x² – 3/2, usando cada saída como a próxima entrada em um processo conhecido como iteração. Se você começar a iterar a partir de x = 0 (o “ponto crítico” de uma equação quadrática), não está claro se você produzirá uma sequência que eventualmente convirja para um ciclo repetido de valores ou uma que continue a oscilar indefinidamente em um padrão caótico.

Para valores de c menor que –2 ou maior que 1/4, a iteração rapidamente atinge o infinito. Mas dentro desse intervalo, existem infinitos valores de c conhecido por produzir comportamento caótico, e infinitos casos como –3/2, onde “não sabemos o que acontece, mesmo que seja superconcreto”, disse Giulio Tiozzo da Universidade de Toronto.

Mas na década de 1990, o matemático da Universidade Stony Brook Misha Lyubich, que teve um papel proeminente no meu relatório sobre o conjunto de Mandelbrot, provou que no intervalo entre –2 e 1/4, a grande maioria dos valores de c produzir um bom comportamento “hiperbólico”. (Os matemáticos Jacek Graczyk e Grzegorz Swiatek provado independentemente o resultado quase ao mesmo tempo.) Isso significa que as equações correspondentes, quando iteradas, convergem para um único valor ou para um ciclo repetido de números.

Uma década depois, um trio de matemáticos mostrou que a maioria dos valores de c são hiperbólicos não apenas para equações quadráticas, mas para qualquer família de polinômios reais (funções mais gerais que combinam variáveis ​​elevadas a potências, como x⁷ + 3x⁴ + 5x² +1). E agora um deles, Sebastian van Strien do Imperial College London, acredita ter uma prova dessa propriedade para uma classe ainda mais ampla de equações chamadas funções analíticas reais, que incluem funções seno, cosseno e exponencial. Van Strien espera anunciar o resultado em maio. Se isso se mantiver após a revisão por pares, marcará um grande avanço na caracterização de como os sistemas unidimensionais reais se comportam.

Intersecções improváveis ​​e bagels de entropia

Existem infinitas equações quadráticas reais que, quando iteradas a partir de zero, acabam produzindo um ciclo repetido de números. Mas se você restringir c para valores racionais — aqueles que podem ser escritos como frações — apenas três valores eventualmente geram sequências periódicas: 0, –1 e –2. “Esses sistemas dinâmicos são muito, muito especiais”, disse Clayton Petsche da Universidade Estadual de Oregon.

In um papel publicado no ano passado, Petsche e Chatchai Noytaptim da Universidade de Waterloo provaram que são ainda mais especiais do que parecem à primeira vista. Os matemáticos analisaram os números “totalmente reais”, que são mais restritivos que os números reais, mas menos restritivos que os racionais.

Se você inserir um número em um polinômio e obter uma saída zero, esse número será uma solução ou raiz do polinômio. Por exemplo, 2 é raiz de f(x) = x² - 4, f(x) = x³ - 10x² + 31x – 30, e infinitas outras equações. Esses polinômios podem ter raízes reais ou raízes complexas. (Por exemplo, as raízes de x² + 1 é a raiz quadrada de –1, escrita como i, e -i - ambos os números complexos.)

Um número é totalmente real se satisfaz uma equação polinomial com coeficientes inteiros que só possui raízes reais. Todos os números racionais são totalmente reais, mas alguns números irracionais também o são. Por exemplo, $latex sqrt{2}$ é totalmente real, porque é uma solução para f(x) = x² – 2, que possui apenas raízes reais ($latex sqrt{2}$ e sua raiz “irmã” $latex -sqrt{2}$). Mas a raiz cúbica de 2, $latex sqrt[3]{2}$, não é totalmente real. É uma solução para f(x) = x³ – 2, que possui duas raízes irmãs adicionais, também conhecidas como conjugadas de Galois, que são complexas.

Petsche e Noytaptim provaram que não existem números irracionais totalmente reais que eventualmente produzam ciclos periódicos. Em vez disso, 0, –1 e –2 são os únicos números totalmente reais que fazem isso. Eles representam uma intersecção improvável entre propriedades de dois mundos aparentemente diferentes – a teoria dos números (o estudo dos números inteiros) e os sistemas dinâmicos. Petsche e Noytaptim usaram resultados importantes da teoria dos números em suas provas, destacando a conexão entre os dois campos.

Os matemáticos Xavier Buff e Sarah Koch encontrado outro cruzamento improvável. Eles mostraram que apenas quatro valores totalmente reais de c — 1/4, –3/4, –5/4 e –7/4 — geram sequências de um tipo particular e bem compreendido chamado ciclo parabólico.

Os conjugados de Galois também abriram caminho para a descoberta de um objeto misterioso apelidado de “bagel de entropia”, um anel fractal brilhante no plano complexo. A entropia é uma medida de aleatoriedade; neste contexto, mede o quão difícil é prever a sequência de números gerada pela iteração x² + c. No último artigo que ele escreveu antes de morrer em 2012, o renomado topologista William Thurston representou graficamente o conjunto de valores de entropia correspondentes a quase um bilhão de valores reais diferentes de c — junto com os conjugados de Galois desses valores de entropia, que podem ser complexos. A noção de entropia “está apenas na linha real, mas de alguma forma ainda é possível ver esta sombra do mundo complexo”, disse Tiozzo.

“Você vê que isso está se organizando nesta incrível estrutura fractal rendada”, disse Koch. "É tão legal." O bagel de entropia é apenas um padrão muito complicado que emerge da iteração de equações quadráticas reais. “Ainda estamos aprendendo todas essas afirmações mágicas – pequenas joias – sobre polinômios quadráticos reais”, acrescentou ela. “Você sempre pode voltar e se surpreender com algo que você achava que conhecia muito bem.”