Quão Grande é o Infinito?

No final do blockbuster da Marvel Vingadores: Endgame, um holograma pré-gravado de Tony Stark se despede de sua filha dizendo: “Eu te amo 3,000”. O momento comovente ecoa uma cena anterior em que os dois estão envolvidos no divertido ritual da hora de dormir para quantificar seu amor um pelo outro. Segundo Robert Downey Jr., ator que interpreta Stark, a fala foi inspirada em conversas semelhantes com seus próprios filhos.

O jogo pode ser uma maneira divertida de explorar grandes números:

“Eu te amo 10.”

“Mas eu te amo 100.”

“Bem, eu te amo 101!”

Foi exatamente assim que “googolplex” se tornou uma palavra popular em minha casa. Mas todos nós sabemos aonde esse argumento leva:

"Eu te amo infinitamente!"

"Oh sim? Eu te amo infinito mais 1!”

Seja no parquinho ou na hora de dormir, as crianças encontram o conceito de infinito muito antes da aula de matemática e, compreensivelmente, desenvolvem um fascínio por esse conceito misterioso, complicado e importante. Algumas dessas crianças crescem e se tornam matemáticos fascinados pelo infinito, e alguns desses matemáticos estão descobrindo coisas novas e surpreendentes sobre o infinito.

Você deve saber que alguns conjuntos de números são infinitamente grandes, mas você sabia que alguns infinitos são maiores que outros? E que não temos certeza se existem outros infinitos imprensados ​​entre os dois que conhecemos melhor? Os matemáticos têm ponderado esta segunda questão há pelo menos um século, e alguns trabalhos recentes mudaram a forma como as pessoas pensam sobre a questão.

Para responder a questões sobre o tamanho de conjuntos infinitos, vamos começar com conjuntos que são mais fáceis de contar. Um conjunto é uma coleção de objetos ou elementos, e um conjunto finito é apenas um conjunto que contém um número finito de objetos.

Determinar o tamanho de um conjunto finito é fácil: basta contar o número de elementos que ele contém. Como o conjunto é finito, você sabe que eventualmente irá parar de contar e, quando terminar, saberá o tamanho do seu conjunto.

Esta estratégia não funciona com conjuntos infinitos. Aqui está o conjunto dos números naturais, denotado por ℕ. (Alguns podem argumentar que zero não é um número natural, mas esse debate não afecta as nossas investigações sobre o infinito.)

$latexmathbb{N} = {0,1,2,3,4,5,…}$

Qual é o tamanho deste conjunto? Como não existe o maior número natural, tentar contar o número de elementos não funcionará. Uma solução é simplesmente declarar que o tamanho desse conjunto infinito é “infinito”, o que não é errado, mas quando você começa a explorar outros conjuntos infinitos, percebe que também não está certo.

Considere o conjunto de números reais, que são todos os números expressáveis ​​em uma expansão decimal, como 7, 3.2, −8.015, ou uma expansão infinita como $latexsqrt{2} = 1.414213…$. Como todo número natural também é um número real, o conjunto dos reais é pelo menos tão grande quanto o conjunto dos números naturais e, portanto, também deve ser infinito.

Mas há algo de insatisfatório em declarar que o tamanho do conjunto dos números reais é o mesmo “infinito” usado para descrever o tamanho dos números naturais. Para ver por quê, escolha dois números quaisquer, como 3 e 7. Entre esses dois números sempre haverá um número finito de números naturais: aqui estão os números 4, 5 e 6. Mas sempre haverá um número infinito de números reais entre eles, números como 3.001, 3.01, π, 4.01023, 5.666… e assim por diante.

Curiosamente, não importa quão próximos dois números reais distintos estejam um do outro, sempre haverá um número infinito de números reais entre eles. Por si só, isto não significa que os conjuntos de números reais e de números naturais tenham tamanhos diferentes, mas sugere que há algo fundamentalmente diferente nestes dois conjuntos infinitos que merece uma investigação mais aprofundada.

O matemático Georg Cantor investigou isso no final do século XIX. Ele mostrou que estes dois conjuntos infinitos realmente têm tamanhos diferentes. Para compreender e apreciar como ele fez isso, primeiro temos de compreender como comparar conjuntos infinitos. O segredo é um elemento básico das aulas de matemática em todos os lugares: funções.

Existem muitas maneiras diferentes de pensar sobre funções — notação de função como $latex f(x) = x^2 +1$, gráficos de parábolas no plano cartesiano, regras como “pegue a entrada e adicione 3 a ela” — mas aqui pensaremos em uma função como uma forma de combinar os elementos de um conjunto com os elementos de outro.

Vamos considerar um desses conjuntos como ℕ, o conjunto dos números naturais. Para o outro conjunto, que chamaremos S, pegaremos todos os números naturais pares. Aqui estão nossos dois conjuntos:

$latexmathbb{N} = {0,1,2,3,4,…}$ $látex S= {0,2,4,6,8,…}$

Existe uma função simples que transforma os elementos de ℕ nos elementos de S: $látex f(x) = 2x$. Esta função simplesmente duplica suas entradas, então se pensarmos nos elementos de ℕ como as entradas de $latex f(x)$ (chamamos o conjunto de entradas de uma função de “domínio”), as saídas sempre serão elementos de S. Por exemplo, $látex f(0)=0$, $látex f(1) = 2$, $látex f(2) = 4$, $látex f(3) = 6$ e assim por diante.

Você pode visualizar isso alinhando os elementos dos dois conjuntos lado a lado e usando setas para indicar como a função $latex f$ transforma entradas de ℕ em saídas em S.

Observe como $latex f(x)$ atribui exatamente um elemento de S para cada elemento de ℕ. Isso é o que as funções fazem, mas $latex f(x)$ faz isso de uma maneira especial. Primeiro, $latex f$ atribui tudo em S para algo em ℕ. Usando a terminologia de função, dizemos que todo elemento de S é a “imagem” de um elemento de ℕ na função $latex f$. Por exemplo, o número par 3,472 está em S, e podemos encontrar um x em ℕ tal que $látex f(x) = 3,472$ (ou seja, 1,736). Nesta situação dizemos que a função $latex f(x)$ mapeia ℕ em S. Uma maneira mais sofisticada de dizer isso é que a função $latex f(x)$ é “sobrejetiva”. Seja qual for a sua descrição, o que é importante é o seguinte: como a função $latex f(x)$ transforma entradas de ℕ em saídas em S, nada em S fica perdido no processo.

A segunda coisa especial sobre como $latex f(x)$ atribui saídas a entradas é que dois elementos em ℕ não são transformados no mesmo elemento em S. Se dois números são diferentes, então seus duplos são diferentes; 5 e 11 são números naturais diferentes em ℕ e suas saídas em S também são diferentes: 10 e 22. Neste caso dizemos que $latex f(x)$ é “1 para 1” (também escrito “1-1”), e descrevemos $latex f(x)$ como “injetivo”. A chave aqui é que nada em S é usado duas vezes: cada elemento em S está emparelhado com apenas um elemento em ℕ.

Esses dois recursos do $latex f(x)$ combinam-se de uma forma poderosa. A função $latex f(x)$ cria uma correspondência perfeita entre os elementos de ℕ e os elementos de S. O fato de $latex f(x)$ estar “em” significa que tudo em S tem um parceiro em ℕ, e o fato de $latex f(x)$ ser 1 para 1 significa que nada em S tem dois sócios em ℕ. Resumindo, a função $latex f(x)$ emparelha cada elemento de ℕ com exatamente um elemento de S.

Uma função que é injetiva e sobrejetiva é chamada de bijeção, e uma bijeção cria uma correspondência 1 para 1 entre os dois conjuntos. Isto significa que cada elemento de um conjunto tem exatamente um parceiro no outro conjunto, e esta é uma forma de mostrar que dois conjuntos infinitos têm o mesmo tamanho.

Como nossa função $latex f(x)$ é uma bijeção, isso mostra que os dois conjuntos infinitos ℕ e S são do mesmo tamanho. Isso pode parecer surpreendente: afinal, todo número natural par é em si um número natural, então ℕ contém tudo em S e mais. Isso não deveria tornar ℕ maior que S? Se estivéssemos lidando com conjuntos finitos, a resposta seria sim. Mas um conjunto infinito pode conter completamente outro e eles ainda podem ter o mesmo tamanho, mais ou menos da mesma forma que “infinito mais 1” não é na verdade uma quantidade maior de amor do que o velho “infinito”. Esta é apenas uma das muitas propriedades surpreendentes dos conjuntos infinitos.

Uma surpresa ainda maior pode ser que existam infinitos conjuntos de tamanhos diferentes. Anteriormente, exploramos as diferentes naturezas dos conjuntos infinitos de números reais e naturais, e Cantor provou que esses dois conjuntos infinitos têm tamanhos diferentes. Ele fez isso com seu brilhante e famoso argumento diagonal.

Como existem infinitos números reais entre quaisquer dois reais distintos, vamos nos concentrar por enquanto nos infinitos números reais entre zero e 1. Cada um desses números pode ser pensado como uma expansão decimal (possivelmente infinita), como esta.

Aqui $latex a_1, a_2, a_3$ e assim por diante são apenas os dígitos do número, mas exigiremos que nem todos os dígitos sejam zero, então não incluímos o próprio número zero em nosso conjunto.

O argumento diagonal começa essencialmente com a questão: O que aconteceria se existisse uma bijeção entre os números naturais e estes números reais? Se tal função existisse, os dois conjuntos teriam o mesmo tamanho, e você poderia usar a função para combinar cada número real entre zero e 1 com um número natural. Você poderia imaginar uma lista ordenada de correspondências, como esta.

A genialidade do argumento diagonal é que você pode usar essa lista para construir um número real que não pode estar na lista. Comece a construir um número real dígito por dígito da seguinte maneira: Faça do primeiro dígito após a vírgula algo diferente de $latex a_1$, faça do segundo dígito algo diferente de $latex b_2$, faça do terceiro dígito algo diferente de $latex c_3$ e assim por diante.

Este número real é definido pela sua relação com a diagonal da lista. Está na lista? Não pode ser o primeiro número da lista, pois possui um primeiro dígito diferente. Também não pode ser o segundo número da lista, pois possui um segundo dígito diferente. Na verdade, não pode ser o nº número desta lista, porque tem um diferente no dígito. E isso é verdade para todos n, então esse novo número, que está entre zero e 1, não pode estar na lista.

Mas todos os números reais entre zero e 1 deveriam estar na lista! Esta contradição surge da suposição de que existe uma bijeção entre os números naturais e os reais entre zero e 1 e, portanto, tal bijeção não pode existir. Isso significa que esses conjuntos infinitos têm tamanhos diferentes. Um pouco mais de trabalho com funções (veja os exercícios) pode mostrar que o conjunto de todos os números reais tem o mesmo tamanho que o conjunto de todos os reais entre zero e 1 e, portanto, os reais, que contêm os números naturais, devem ser um conjunto infinito maior.

O termo técnico para o tamanho de um conjunto infinito é a sua “cardinalidade”. O argumento diagonal mostra que a cardinalidade dos reais é maior que a cardinalidade dos números naturais. A cardinalidade dos números naturais é escrita $latex aleph_0$, pronunciada “aleph nada”. Numa visão padrão da matemática, este é o menor cardinal infinito.

O próximo cardeal infinito é $latex aleph_1$ (“aleph um”), e uma pergunta simples tem confundido os matemáticos por mais de um século: $latex aleph_1$ é a cardinalidade dos números reais? Em outras palavras, existem outros infinitos entre os números naturais e os números reais? Cantor achou que a resposta era não – uma afirmação que veio a ser conhecida como a hipótese do contínuo - mas ele não foi capaz de provar isso. No início dos anos 1900, esta questão era considerada tão importante que, quando David Hilbert elaborou a sua famosa lista de 23 problemas abertos importantes em matemática, a hipótese do contínuo era a número um.

Cem anos depois, muito progresso foi feito, mas esse progresso levou a novos mistérios. Em 1940, o famoso lógico Kurt Gödel provou que, sob as regras comumente aceitas da teoria dos conjuntos, é impossível provar que existe um infinito entre o dos números naturais e o dos reais. Isto pode parecer um grande passo para provar que a hipótese do contínuo é verdadeira, mas duas décadas depois o matemático Paul Cohen provou que é impossível provar que tal infinito não existe! Acontece que a hipótese do continuum não pode ser provada de uma forma ou de outra.

Juntos, esses resultados estabeleceram a “independência” da hipótese do contínuo. Isso significa que as regras de conjuntos comumente aceitas simplesmente não dizem o suficiente para nos dizer se existe ou não um infinito entre os números naturais e os reais. Mas, em vez de desencorajar os matemáticos na sua busca pela compreensão do infinito, conduziu-os em novas direções. Os matemáticos procuram agora novas regras fundamentais para conjuntos infinitos que possam explicar o que já se sabe sobre o infinito e ajudar a preencher as lacunas.

Dizer “Meu amor por você é independente dos axiomas” pode não ser tão divertido quanto dizer “Eu te amo infinito mais 1”, mas talvez ajude a próxima geração de matemáticos amantes do infinito a ter uma boa noite de sono.

Exercícios

1. Seja $latex T = {1,3,5,7,…}$, o conjunto dos números naturais ímpares positivos. É T maior, menor ou do mesmo tamanho que ℕ, o conjunto dos números naturais?

2. Encontre uma correspondência 1 para 1 entre o conjunto de números naturais, ℕ, e o conjunto de inteiros $latexmathbb{Z}={…,-3,-2,-1,0,1,2,3, …}$.

3. Encontre uma função $latex f(x)$ que seja uma bijeção entre o conjunto dos números reais entre zero e 1 e o conjunto dos números reais maiores que zero.

4. Encontre uma função que seja uma bijeção entre o conjunto dos números reais entre zero e 1 e o conjunto de todos os números reais.

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