Isaac Newton não era conhecido por sua generosidade de espírito, e seu desdém por seus rivais era lendário. Mas em uma carta ao seu concorrente Gottfried Leibniz, agora conhecido como o Epístola Posterior, Newton parece nostálgico e quase amigável. Nele, ele conta uma história de seus dias de estudante, quando estava apenas começando a aprender matemática. Ele conta como fez uma grande descoberta ao igualar áreas sob curvas com somas infinitas por um processo de adivinhação e verificação. Seu raciocínio na carta é tão encantador e acessível que me lembra os jogos de adivinhação de padrões que as crianças gostam de jogar.
Tudo começou quando o jovem Newton leu John Wallis Aritmética Infinitorum, uma obra seminal da matemática do século XVII. Wallis incluiu um método novo e indutivo para determinar o valor de pi, e Newton queria inventar algo semelhante. Ele começou com o problema de encontrar a área de um “segmento circular” de largura ajustável $látex x$. Esta é a região sob o círculo unitário, definida por $latex y=sqrt{1-x^2}$, que fica acima da porção do eixo horizontal de 0 a $látex x$. Aqui $látex x$ pode ser qualquer número de 0 a 1, e 1 é o raio do círculo. A área de um círculo unitário é pi, como Newton bem sabia, então quando $látex x=1$, a área sob a curva é um quarto do círculo unitário, $latexfrac{π}{4}$. Mas para outros valores de $látex x$, nada se sabia.
Se Newton pudesse encontrar uma maneira de determinar a área sob a curva para cada valor possível de $látex x$, poderia dar-lhe um meio sem precedentes de aproximar pi. Esse era originalmente seu grande plano. Mas ao longo do caminho ele encontrou algo ainda melhor: um método para substituir curvas complicadas por somas infinitas de blocos de construção mais simples feitos de potências de $látex x$.
O primeiro passo de Newton foi raciocinar por analogia. Em vez de apontar diretamente para a área do segmento circular, ele investigou as áreas de segmentos análogos limitados pelas seguintes curvas:
$latex y_0=(1-x^2)^frac{0}{2}$,
$latex y_1=(1-x^2)^frac{1}{2}$,
$latex y_2=(1-x^2)^frac{2}{2}$,
$latex y_3=(1-x^2)^frac{3}{2}$,
$latex y_4=(1-x^2)^frac{4}{2}$,
$latex y_5=(1-x^2)^frac{5}{2}$,
$latex y_6=(1-x^2)^frac{6}{2}$.
Newton sabia que as áreas sob as curvas na lista com potências de números inteiros (como $latex frac{0}{2}=0$ e $latex frac{2}{2} = 1$) seriam fáceis de calcular, porque eles simplificam algebricamente. Por exemplo,
$latex y_0=(1-x^2)^frac{0}{2}=(1-x^2)^0=1$.
Do mesmo modo,
Mas nenhuma simplificação está disponível para a equação do círculo — $latex y_1 = sqrt {1-x^2}=(1-x^2)^frac{1}{2}$— ou as outras curvas com meias potências. Na época, ninguém sabia como encontrar a área sob nenhum deles.
Felizmente, as áreas sob as curvas com potências de números inteiros eram diretas. Pegue a curva $latex y_4=1-2x^2+x^4$. Uma regra bem conhecida na época para tais funções permitia que Newton (e qualquer outra pessoa) encontrasse a área rapidamente: Para qualquer potência de número inteiro $latex nge 0$, a área sob a curva $latex y=x^n$ sobre o intervalo de $látex 0$ para $látex x$ é dado por $latex frac{x^{n+1}}{n+1}$. (Wallis havia adivinhado essa regra com seu método indutivo, e Pierre de Fermat provou isso de forma conclusiva.) Armado com essa regra, Newton sabia que a área sob a curva $latex y_4$ era $latex x-frac{2x^3}{3 } + frac{x^5}{5}$.
A mesma regra permitiu que ele encontrasse a área sob as outras curvas com potências de números inteiros na lista acima. Vamos escrever $latex A_n$ para a área sob a curva $latex y_n = (1-x^2)^frac{n}{2}$, onde $latex n= 0, 1, 2, …$ . Aplicando a regra rende
$látex A_0=x$
$látex A_1 = hspace{.295em}?$
$látex A_2 = x -frac{1}{3}x^3$
$látex A_3 = hspace{.295em}?$
$látex A_4 = x -frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$
$latex A_5 =hespaço{.295em}? $
$látex A_6 = x -frac{3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 – frac{1}{7}x^7$
e assim por diante. A astuta ideia de Newton era preencher as lacunas, esperando adivinhar $latexA_1$ (a série para a área desconhecida do segmento circular) com base no que ele podia ver nas outras séries. Uma coisa ficou imediatamente clara: cada $latexA_n$ começava simplesmente com $latex x$ . Isso sugeriu alterar as fórmulas assim:
$látex A_0=x$
$látex A_1 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$
$látex A_2 = x -frac{1}{3}x^3$
$látex A_3 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$
$látex A_4 = x -frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$
$latex A_5 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$
$látex A_6 = x -frac{3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 – frac{1}{7}x^7$.
Então, para substituir o próximo lote de pontos de interrogação, Newton olhou para os termos $latex x^3$. Com um pouco de licença, podemos ver que até $latexA_0$ tinha um desses termos cúbicos, já que podemos reescrevê-lo como $latex A_0 = x-frac{0}{3}x^3$. Como Newton explicou a Leibniz, ele observou “que os segundos termos $latex frac{0}{3}x^3, frac{1}{3}x^3, frac{2}{3}x^3, frac{ 3}{3}x^3$ etc., estavam em progressão aritmética” (ele estava se referindo ao 0, 1, 2, 3 nos numeradores). Suspeitando que essa progressão aritmética poderia se estender também para as lacunas, Newton adivinhou que toda a sequência de numeradores, conhecidos e desconhecidos, deveria ser números separados por $latex frac{1}{2} (0, frac{1}{2 }, 1, frac{3}{2}, 2, frac{5}{2}, 3 …)$ “e, portanto, os dois primeiros termos da série” em que ele estava interessado — o ainda desconhecido $latex A_1$ , $latex A_3$ e $latex A_5$ — “deve ser $latex x- frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3), x-frac{1}{3} (frac {3}{2}x^3), x-frac{1}{3}(frac{5}{2}x^3)$, etc.”
Assim, nesta fase os padrões sugeriram a Newton que $latex A_1$ deveria começar como
$látex A_1 = x-frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3) +…$.
Este foi um bom começo, mas ele precisava de mais. Enquanto procurava outros padrões, Newton notou que os denominadores nas equações sempre continham números ímpares em ordem crescente. Por exemplo, veja $latex A_6$, que tem 1, 3, 5 e 7 em seus denominadores. Esse mesmo padrão funcionou para $latex A_4$ e $latex A_2$. Simples o suficiente. Esse padrão aparentemente persistiu em todos os denominadores de todas as equações.
O que restava era encontrar um padrão nos numeradores. Newton examinou $latex A_2$, $latex A_4$ e $latex A_6$ novamente e localizou algo. Em $latex A_2 = x-frac{1}{3}x^3$ ele viu um 1 multiplicando o $latex x$ e outro 1 no termo $latexfrac {1}{3}x^3$ (ele ignorou seu sinal negativo por enquanto). Em $latex A_4 = x-frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$, ele viu numeradores de 1, 2, 1. E em $latex A_6=x-frac{ 3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 -frac{1}{7}x^7$ , ele viu os numeradores 1, 3, 3, 1. Esses números devem ser familiares para qualquer pessoa quem já estudou o triângulo de Pascal, um arranjo triangular de números que, na sua forma mais simples, é criado pela soma dos números acima dele, começando com 1 no topo.
Em vez de invocar Pascal, Newton se referiu a esses numeradores como “potências do número 11”. Por exemplo, 112 = 121, que é a segunda linha do triângulo, e 113 = 1331, que é o terceiro. Hoje em dia esses números também são chamados de coeficientes binomiais. Eles surgem quando você expande as potências de um binômio como ($latex a +b$), como em $latex (a+b)^3 = 1a^3 + 3a^2b+3ab^2 +1b^3$. Com esse padrão em mãos, Newton agora tinha uma maneira fácil de escrever $latex A_2, A_4, A_6$ e todos os outros números pares. A'S.
Em seguida, para extrapolar seus resultados para meias potências e subscritos ímpares (e finalmente chegar à série que ele queria, $latex A_1$), Newton precisava estender o triângulo de Pascal para um novo regime fantástico: a meio caminho entre as linhas. Para realizar a extrapolação, ele derivou uma fórmula geral para os coeficientes binomiais em qualquer linha do triângulo de Pascal — linha $latex m$ — e então audaciosamente inseriu $latex m= frac{1}{2}$. E, surpreendentemente, funcionou. Isso lhe deu os numeradores na série que ele estava procurando para um círculo unitário, $latexA_1$.
Aqui, nas próprias palavras de Newton, está seu resumo para Leibniz dos padrões que ele notou indutivamente até este estágio do argumento:
Comecei a refletir que os denominadores 1, 3, 5, 7, etc. estavam em progressão aritmética, de modo que apenas os coeficientes numéricos dos numeradores ainda precisavam de investigação. Mas nas áreas dadas alternadamente, essas eram as figuras das potências do número 11... ou seja, primeiro '1'; então '1, 1'; em terceiro lugar, '1, 2, 1'; quarto '1, 3, 3, 1'; em quinto lugar, '1, 4, 6, 4, 1' etc. figura, o resto seria produzido pela multiplicação contínua dos termos desta série,
$latex frac{m-0}{1} vezes frac{m-1}{2} vezes frac {m-2}{3} vezes frac{m-3}{4} vezes frac {m-4}{5 }$, etc.
… Assim, apliquei esta regra para interpor séries entre séries, e como, para o círculo, o segundo termo era $latex frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3)$, coloquei $latex m=frac{1}{2}$, e os termos decorrentes foram
$latex frac {1}{2} vezes frac{frac{1}{2}-1}{2}$ ou $latex -frac{1}{8}$,
$latex -frac{1}{8} vezes frac{frac{1}{2}-2}{3}$ ou $latex + frac{1}{16}$,
$latex frac{1}{16} vezes frac{frac{1}{2}-3}{4}$ ou $latex – frac {5}{128}$,assim ao infinito. De onde vim a entender que a área do segmento circular que eu queria era
$latex x-frac{frac{1}{2}x^3}{3}-frac{frac{1}{8}x^5}{5}-frac{frac{1}{16}x^7}{7}-frac{frac{5}{128}x^9}{9}$ etc.
Finalmente, inserindo $latex x=1$, Newton poderia obter uma soma infinita para $latexfrac{π}{4}$. Foi uma descoberta importante, mas acontece que existem maneiras melhores de aproximar pi por meio de uma soma infinita, como o próprio Newton logo descobriu após essa incursão inicial nesses tipos de somas infinitas, agora chamadas de séries de potências. Eventualmente, ele calculou os primeiros 15 dígitos de pi.
Voltando ao problema do segmento circular, Newton percebeu que a equação do próprio círculo (não apenas a área abaixo dele) também poderia ser representada por uma série de potências. Tudo o que ele precisava fazer era omitir os denominadores e reduzir as potências de $latex x$ em 1 na série de potências mostrada acima. Assim, ele foi levado a adivinhar que
Para testar se esse resultado fazia sentido, Newton o multiplicou por si mesmo: “Tornou-se $latex 1-x^2$, os termos restantes desaparecendo pela continuação da série até o infinito”.
Recuando um pouco dos detalhes, vemos várias lições aqui sobre resolução de problemas. Se um problema for muito difícil, mude-o. Se parecer muito específico, generalize-o. Newton fez as duas coisas e obteve resultados mais importantes e mais poderosos do que o que ele buscava originalmente.
Newton não se fixava teimosamente em um quarto de círculo. Ele olhou para uma forma muito mais geral, qualquer segmento circular de largura $latex x$. Em vez de se ater a $latex x=1$, ele permitiu que $latex x$ corresse livremente de 0 a 1. Isso revelou o caráter binomial dos coeficientes em sua série - o aparecimento inesperado de números no triângulo de Pascal e suas generalizações - que deixe Newton ver padrões que Wallis e outros haviam perdido. Ver esses padrões deu a Newton os insights necessários para desenvolver a teoria das séries de potências de maneira muito mais ampla e geral.
Em seu trabalho posterior, a série de potências de Newton lhe deu um canivete suíço para cálculo. Com eles, ele poderia fazer integrais, encontrar raízes de equações algébricas e calcular os valores de senos, cossenos e logaritmos. Como ele disse: “Com a ajuda deles, a análise chega, quase posso dizer, a todos os problemas”.
A moral: mudar um problema não é trapacear. É criativo. E pode ser a chave para algo maior.
