Algoritmos quânticos aprimorados para equações diferenciais lineares e não lineares

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Sumário

Apresentamos algoritmos quânticos substancialmente generalizados e aprimorados em trabalhos anteriores para equações diferenciais ordinárias (ODE) lineares e não lineares não homogêneas. Especificamente, mostramos como a norma da matriz exponencial caracteriza o tempo de execução de algoritmos quânticos para EDOs lineares abrindo a porta para uma aplicação a uma classe mais ampla de EDOs lineares e não lineares. Em Berry et al., (2017), é dado um algoritmo quântico para uma determinada classe de EDOs lineares, onde a matriz envolvida precisa ser diagonalizável. O algoritmo quântico para EDOs lineares aqui apresentado se estende a muitas classes de matrizes não diagonalizáveis. O algoritmo aqui também é exponencialmente mais rápido do que os limites derivados em Berry et al., (2017) para certas classes de matrizes diagonalizáveis. Nosso algoritmo ODE linear é então aplicado a equações diferenciais não lineares usando a linearização de Carleman (uma abordagem adotada recentemente por nós em Liu et al., (2021)). A melhoria em relação a esse resultado é dupla. Primeiro, obtemos uma dependência do erro exponencialmente melhor. Esse tipo de dependência logarítmica do erro também foi alcançado por Xue et al., (2021), mas apenas para equações não lineares homogêneas. Em segundo lugar, o presente algoritmo pode lidar com qualquer matriz esparsa e invertível (que modela a dissipação) se tiver uma norma logarítmica negativa (incluindo matrizes não diagonalizáveis), enquanto Liu et al., (2021) e Xue et al., (2021 ) adicionalmente requerem normalidade.

Resumo popular

As equações diferenciais são uma parte importante de muitos modelos físicos, desde a física de alta energia até a dinâmica de fluidos e a física de plasma. Existem vários algoritmos quânticos que resolvem equações diferenciais produzindo um estado quântico proporcional à solução. Esses algoritmos quânticos, no entanto, são aplicáveis apenas a certos tipos de equações diferenciais. Especificamente, para EDOs lineares, eles impõem condições como normalidade ou diagonalização na matriz $A$ que codifica a EDO linear. Este trabalho desenvolve algoritmos quânticos que podem ser aplicados a uma classe substancialmente maior de equações diferenciais ordinárias lineares e não lineares. Retiramos a condição de diagonalizabilidade e a substituímos por outra já estudada na teoria da estabilidade das equações diferenciais, a saber, a norma da exponencial da matriz $A$. Isso pode então ser usado para fornecer um algoritmo quântico que também se aplica a uma classe maior de equações diferenciais não lineares.

► dados BibTeX

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Citado por

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Fonte: https://quantum-journal.org/papers/q-2023-02-02-913/

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