No século III a.C., Arquimedes colocada um enigma sobre pastoreio de gado que, segundo ele, só uma pessoa verdadeiramente sábia poderia resolver. Seu problema acabou se resumindo a uma equação que envolve a diferença entre dois termos ao quadrado, que podem ser escritos como x2 - dy2 = 1. Aqui, d é um número inteiro - um número de contagem positivo ou negativo - e Arquimedes estava procurando soluções em que ambos x e y também são inteiros.
Essa classe de equações, chamada de equações de Pell, tem fascinado os matemáticos ao longo dos milênios desde então.
Alguns séculos depois de Arquimedes, o matemático indiano Brahmagupta, e mais tarde o matemático Bhāskara II, forneceram algoritmos para encontrar soluções inteiras para essas equações. Em meados de 1600, o matemático francês Pierre de Fermat (que desconhecia esse trabalho) redescobriu que em alguns casos, mesmo quando d foi atribuído um valor relativamente pequeno, as menores soluções inteiras possíveis para x e y poderia ser maciço. Quando ele enviou uma série de problemas desafiadores para matemáticos rivais, eles incluíram a equação x2 - 61y2 = 1, cujas menores soluções têm nove ou 10 dígitos. (Quanto a Arquimedes, seu enigma essencialmente pedia soluções inteiras para a equação x2 - 4,729,494y2 = 1. “Para imprimir a menor solução, são necessárias 50 páginas”, disse Peter Koymans, um matemático da Universidade de Michigan. “Em certo sentido, é um troll gigantesco de Arquimedes.”)
Mas as soluções para as equações de Pell podem fazer muito mais. Por exemplo, digamos que você queira aproximar $latex sqrt{2}$, um número irracional, como uma proporção de inteiros. Acontece que resolvendo a equação de Pell x2 - 2y2 = 1 pode ajudá-lo a fazer isso: $latex sqrt{2}$ (ou, mais geralmente, $latex sqrt{d}$) pode ser bem aproximado reescrevendo a solução como uma fração da forma x/y.
Talvez ainda mais intrigante, essas soluções também dizem algo sobre sistemas numéricos específicos, que os matemáticos chamam de anéis. Em tal sistema numérico, os matemáticos podem juntar $latex sqrt{2}$ aos inteiros. Os anéis têm certas propriedades, e os matemáticos querem entender essas propriedades. A equação de Pell, ao que parece, pode ajudá-los a fazer isso.
E assim “muitos matemáticos muito famosos – quase todos os matemáticos em algum período de tempo – realmente estudaram essa equação por causa de quão simples ela é”, disse Mark Shusterman, um matemático da Universidade de Harvard. Esses matemáticos incluíam Fermat, Euler, Lagrange e Dirichlet. (John Pell, nem tanto; a equação foi erroneamente nomeada em sua homenagem.)
Agora Koymans e Carlos Pagano, um matemático da Concordia University em Montreal, provou uma conjectura de décadas relacionado à equação de Pell, que quantifica quantas vezes uma certa forma da equação tem soluções inteiras. Para fazer isso, eles importaram ideias de outro campo – a teoria dos grupos – ao mesmo tempo em que obtiveram uma melhor compreensão de um objeto de estudo importante, mas misterioso, nesse campo. “Eles usaram ideias realmente profundas e bonitas”, disse André Granville, um matemático da Universidade de Montreal. “Eles realmente acertaram em cheio.”
Aritmética quebrada
Nos primeiros 1990s, Peter Stevenhagen, matemático da Universidade de Leiden, na Holanda, inspirou-se em algumas das conexões que viu entre as equações de Pell e a teoria dos grupos para fazer uma conjectura sobre a frequência com que essas equações têm soluções inteiras. Mas “eu não esperava que isso fosse provado tão cedo”, disse ele – ou mesmo em sua vida. As técnicas disponíveis não pareciam fortes o suficiente para atacar o problema.
Sua conjectura depende de uma característica particular dos anéis. No anel de números onde, por exemplo, $latex sqrt{-5}$ foi adicionado aos números inteiros (os matemáticos geralmente trabalham com números “imaginários” como $latex sqrt{-5}$), existem duas maneiras distintas de dividir um número em seus fatores primos. O número 6, por exemplo, pode ser escrito não apenas como 2 × 3, mas também como (1 + $latex sqrt{-5}$) × (1 – $latex sqrt{-5}$). Como resultado, neste anel, a fatoração primária única – um princípio central da aritmética, um praticamente dado como certo nos inteiros normais – se desfaz. A extensão em que isso ocorre é codificada em um objeto associado a esse anel, chamado de grupo de classes.
Uma maneira pela qual os matemáticos tentam obter insights mais profundos sobre um sistema numérico no qual estão interessados - digamos, $latex sqrt{2}$ adjunto aos inteiros - é calcular e estudar seu grupo de classes. No entanto, é quase proibitivamente difícil definir regras gerais de como os grupos de classe se comportam em todos esses diferentes sistemas numéricos.
Na década de 1980, os matemáticos Henrique Cohen e Hendrik Lenstra apresentar um amplo conjunto de conjecturas sobre como essas regras deveriam ser. Essas “heurísticas de Cohen-Lenstra” podem dizer muito sobre grupos de classes, que por sua vez devem revelar propriedades de seus sistemas numéricos subjacentes.
Havia apenas um problema. Embora muitos cálculos pareçam apoiar a heurística de Cohen-Lenstra, eles ainda são conjecturas, não provas. “No que diz respeito aos teoremas, até muito recentemente não sabíamos quase nada”, disse Alex Bartel, um matemático da Universidade de Glasgow.
Curiosamente, o comportamento típico de um grupo de classe está inextricavelmente entrelaçado com o comportamento das equações de Pell. Compreender um problema ajuda a entender o outro – tanto que a conjectura de Stevenhagen “também tem sido um problema de teste para qualquer progresso que tenha sido feito na heurística de Cohen-Lenstra”, disse Pagano.
O novo trabalho envolve a equação negativa de Pell, onde x2 - dy2 é igual a -1 em vez de 1. Em contraste com a equação de Pell original, que sempre tem um número infinito de soluções inteiras para qualquer d, nem todos os valores de d na equação negativa de Pell produz uma equação que pode ser resolvida. Leva x2 - 3y2 = −1: Não importa o quão longe você olhe ao longo da linha numérica, você nunca encontrará uma solução, mesmo que x2 - 3y2 = 1 tem infinitas soluções.
Na verdade, existem muitos valores de d para a qual a equação negativa de Pell não pode ser resolvida: com base em regras conhecidas sobre como certos números se relacionam entre si, d não pode ser um múltiplo de 3, 7, 11, 15 e assim por diante.
Mas mesmo quando você evita esses valores de d e considerar apenas as equações de Pell negativas restantes, nem sempre é possível encontrar soluções. Nesse conjunto menor de valores possíveis de d, que proporção realmente funciona?
Em 1993, Stevenhagen propôs uma fórmula que dava uma resposta precisa a essa pergunta. Dos valores para d que poderia funcionar (ou seja, valores que não são múltiplos de 3, 7, etc.), ele previu que aproximadamente 58% dariam origem a equações de Pell negativas com soluções inteiras.
A suposição de Stevenhagen foi motivada em particular pela ligação entre a equação negativa de Pell e a heurística de Cohen-Lenstra em grupos de classe - uma ligação que Koymans e Pagano exploraram quando, 30 anos depois, finalmente provaram que ele estava certo.
Um canhão melhor
Em 2010, Koymans e Pagano ainda eram estudantes de graduação – ainda não familiarizados com a conjectura de Stevenhagen – quando saiu um artigo que fez alguns dos primeiros progressos sobre o problema em anos.
Nesse trabalho, que foi publicado no Anais de Matemática, os matemáticos Etienne Fouvry e Jürgen Kluners mostrou que a proporção de valores de d que funcionaria para a equação negativa de Pell estava dentro de um certo intervalo. Para fazer isso, eles entenderam o comportamento de alguns elementos dos grupos de classe relevantes. Mas eles precisariam de uma compreensão de muitos outros elementos para chegar à estimativa muito mais precisa de Stevenhagen de 58%. Infelizmente, esses elementos permaneceram inescrutáveis: novos métodos ainda eram necessários para dar sentido à sua estrutura. Mais progressos pareciam impossíveis.
Então, em 2017, quando Koymans e Pagano estavam na pós-graduação juntos na Universidade de Leiden, apareceu um papel isso mudou tudo. “Quando vi isso, reconheci imediatamente que era um resultado muito, muito impressionante”, disse Koymans. “Era como, OK, agora eu tenho um canhão que posso atirar neste problema e espero que eu possa progredir.” (Na época, Stevenhagen e Lenstra também eram professores em Leiden, o que ajudou a despertar o interesse de Koymans e Pagano pelo problema.)
O artigo era de um estudante de pós-graduação em Harvard, Alexander Smith (que agora é um colega Clay em Stanford). Koymans e Pagano não foram os únicos a saudar o trabalho como um avanço. “As ideias foram incríveis”, disse Granville. "Revolucionário."
Smith estava tentando entender propriedades de soluções para equações chamadas curvas elípticas. Ao fazer isso, ele elaborou uma parte específica da heurística Cohen-Lenstra. Não só foi o primeiro grande passo para consolidar essas conjecturas mais amplas como fatos matemáticos, mas envolveu precisamente a parte do grupo de classe que Koymans e Pagano precisavam entender em seu trabalho sobre a conjectura de Stevenhagen. (Esta peça incluiu os elementos que Fouvry e Klüners estudaram em seu resultado parcial, mas também foi muito além deles.)
No entanto, Koymans e Pagano não podiam simplesmente usar os métodos de Smith imediatamente. (Se isso fosse possível, o próprio Smith provavelmente o teria feito.) A prova de Smith foi sobre grupos de classes associados aos anéis numéricos corretos (aqueles em que $latex sqrt{d}$ é anexado aos inteiros) — mas ele considerou todos valores inteiros de d. Koymans e Pagano, por outro lado, estavam pensando apenas em um pequeno subconjunto desses valores de d. Como resultado, eles precisavam avaliar o comportamento médio entre uma fração muito menor de grupos de classe.
Esses grupos de classe constituíam essencialmente 0% dos grupos de classe de Smith - o que significa que Smith poderia jogá-los fora quando estivesse escrevendo sua prova. Eles não contribuíram para o comportamento médio que ele estava estudando.
E quando Koymans e Pagano tentaram aplicar suas técnicas apenas aos grupos de classe que lhes interessavam, os métodos falharam imediatamente. O par precisaria fazer mudanças significativas para fazê-los funcionar. Além disso, eles não estavam apenas caracterizando um grupo de classe, mas sim a discrepância que poderia existir entre dois grupos de classe diferentes (fazer isso seria uma parte importante da prova da conjectura de Stevenhagen) - o que também exigiria algumas ferramentas diferentes.
Então Koymans e Pagano começaram a vasculhar com mais cuidado o artigo de Smith na esperança de identificar exatamente onde as coisas começaram a sair dos trilhos. Foi um trabalho difícil e meticuloso, não apenas porque o material era tão complicado, mas porque Smith ainda estava refinando sua pré-impressão na época, fazendo as correções e esclarecimentos necessários. (Ele postou o nova versão de seu jornal on-line no mês passado.)
Durante um ano inteiro, Koymans e Pagano aprenderam a prova juntos, linha por linha. Eles se encontravam todos os dias, discutindo uma determinada seção durante o almoço antes de passar algumas horas em um quadro-negro, ajudando uns aos outros a trabalhar com as ideias relevantes. Se um deles fizesse progresso por conta própria, ele mandava uma mensagem para o outro para atualizá-lo. Shusterman se lembra de vê-los trabalhando até tarde da noite. Apesar (ou talvez por causa) dos desafios que isso implicava, “foi muito divertido fazer isso juntos”, disse Koymans.
Eles finalmente identificaram onde eles precisariam tentar uma nova abordagem. No início, eles só foram capazes de fazer melhorias modestas. Junto com os matemáticos Stéphanie Chan e Djordjo Milovic, eles descobriram como lidar com alguns elementos adicionais no grupo de classe, o que lhes permitiu obter melhores limites do que Fouvry e Klüners tinham. Mas partes significativas da estrutura do grupo de classe ainda lhes escapavam.
Um grande problema que eles tiveram que enfrentar – algo para o qual o método de Smith não funcionava mais nesse novo contexto – foi garantir que eles estivessem realmente analisando o comportamento “médio” para grupos de classe como os valores de d ficou cada vez maior. Para estabelecer o grau adequado de aleatoriedade, Koymans e Pagano provaram um conjunto complicado de regras, chamadas leis de reciprocidade. No final, isso permitiu que eles ganhassem o controle de que precisavam sobre a diferença entre os dois grupos de classe.
Esse avanço, juntamente com outros, permitiu que eles finalmente concluíssem a prova da conjectura de Stevenhagen no início deste ano. “É incrível que eles tenham conseguido resolvê-lo completamente”, disse Chan. “Antes, tínhamos todos esses problemas.”
O que eles fizeram “me surpreendeu”, disse Smith. “Koymans e Pagano meio que mantiveram minha antiga linguagem e apenas a usaram para avançar cada vez mais em uma direção que eu mal entendo mais.”
A ferramenta mais afiada
Desde o momento em que ele a apresentou, cinco anos atrás, a prova de Smith de uma parte da heurística de Cohen-Lenstra foi vista como uma maneira de abrir portas para uma série de outros problemas, incluindo questões sobre curvas elípticas e outras estruturas de interesse. (Em seu artigo, Koymans e Pagano listam cerca de uma dúzia de conjecturas nas quais esperam usar seus métodos. Muitas não têm nada a ver com a equação negativa de Pell ou mesmo com os grupos de classe.)
“Muitos objetos têm estruturas que não são muito diferentes desses tipos de grupos algébricos”, disse Granville. Mas muitos dos mesmos obstáculos que Koymans e Pagano tiveram que enfrentar também estão presentes nesses outros contextos. O novo trabalho sobre a equação negativa de Pell ajudou a desmantelar esses obstáculos. “Alexander Smith nos disse como construir essas serras e martelos, mas agora temos que torná-los o mais afiados e contundentes possível e o mais adaptáveis possível a diferentes situações”, disse Bartel. “Uma das coisas que este jornal faz é ir muito nessa direção.”
Todo esse trabalho, entretanto, refinou a compreensão dos matemáticos de apenas uma faceta dos grupos de classe. O resto das conjecturas de Cohen-Lenstra permanecem fora de alcance, pelo menos por enquanto. Mas o artigo de Koymans e Pagano “é uma indicação de que as técnicas que temos para atacar problemas em Cohen-Lenstra estão crescendo”, disse Smith.
O próprio Lenstra estava igualmente otimista. É “absolutamente espetacular”, escreveu ele em um e-mail. “Isso realmente abre um novo capítulo em um ramo da teoria dos números que é tão antigo quanto a própria teoria dos números.”
