Matemáticos lançam dados e obtêm pedra-papel-tesoura

Como Bill Gates conta a história, Warren Buffett certa vez o desafiou para um jogo de dados. Cada um selecionaria um dos quatro dados pertencentes a Buffett e, em seguida, rolaria, com o maior número vencendo. Esses não eram dados padrão - eles tinham uma variedade diferente de números do que o normal de 1 a 6. Buffett se ofereceu para deixar Gates escolher primeiro, para que ele pudesse escolher o dado mais forte. Mas depois que Gates examinou os dados, ele apresentou uma contraproposta: Buffett deveria escolher primeiro.

Gates reconheceu que os dados de Buffett exibiam uma propriedade curiosa: nenhum deles era o mais forte. Se Gates tivesse escolhido primeiro, qualquer que fosse o dado que escolhesse, Buffett seria capaz de encontrar outro dado que pudesse vencê-lo (ou seja, um com mais de 50% de chance de ganhar).

Os quatro dados de Buffett (chame-os A, B, C e D) formou um padrão que lembra pedra-papel-tesoura, no qual A batimentos B, B batimentos C, C batimentos D e D batimentos A. Os matemáticos dizem que esse conjunto de dados é “intransitivo”.

“Não é nada intuitivo que [dados intransitivos] existam”, disse Brian Conrey, diretor do Instituto Americano de Matemática (AIM) em San Jose, que escreveu um artigo influente sobre o assunto em 2013.

Os matemáticos inventaram o primeiros exemplos de dados intransitivos há mais de 50 anos, e eventualmente provou que conforme você considera dados com mais e mais lados, é possível criar ciclos intransitivos de qualquer tamanho. O que os matemáticos não sabiam até recentemente era como os dados intransitivos são comuns. Você tem que inventar tais exemplos cuidadosamente, ou você pode escolher dados aleatoriamente e ter uma boa chance de encontrar um conjunto intransitivo?

Olhando para três dados, se você sabe que A batimentos B e B batimentos C, isso parece uma evidência de que A é o mais forte; situações onde C batimentos A deve ser raro. E, de fato, se for permitido que os números nos dados somem totais diferentes, então os matemáticos acreditam que essa intuição é verdadeira.

Mas um papel publicado on-line no final do ano passado mostra que em outro cenário natural, essa intuição falha espetacularmente. Suponha que você exija que seus dados usem apenas os números que aparecem em um dado normal e tenham o mesmo total que um dado normal. Então, o papel mostrou, se A batimentos B e B batimentos C, A e C têm chances essencialmente iguais de prevalecer umas contra as outras.

"Sabendo que A batimentos B e B batimentos C apenas não lhe dá nenhuma informação sobre se A batimentos C," disse Timothy Gowers da Universidade de Cambridge, medalhista de Fields e um dos colaboradores do novo resultado, que foi comprovado por meio de uma colaboração online aberta conhecida como projeto Polymath.

Enquanto isso, outro artigo recente analisa conjuntos de quatro ou mais dados. Essa descoberta é sem dúvida ainda mais paradoxal: se, por exemplo, você pegar quatro dados aleatoriamente e descobrir que A batimentos B, B batimentos C e C batimentos D, então é ligeiramente mais provável para D bater A do que o inverso.

Nem forte nem fraco

A recente onda de resultados começou há cerca de uma década, depois que Conrey participou de uma reunião para professores de matemática com uma sessão que cobria dados intransitivos. “Eu não tinha ideia de que essas coisas poderiam existir”, disse ele. “Fiquei meio que fascinado por eles.”

Ele decidiu (mais tarde acompanhado por seu colega Kent Morrison na AIM) para explorar o assunto com três alunos do ensino médio que ele estava orientando - James Gabbard, Katie Grant e Andrew Liu. Com que frequência, o grupo se perguntou, dados escolhidos aleatoriamente formarão um ciclo intransitivo?

Conjuntos intransitivos de dados são considerados raros se os números das faces dos dados somam totais diferentes, uma vez que o dado com o total mais alto provavelmente vencerá os outros. Assim, a equipe decidiu se concentrar em dados que têm duas propriedades: primeiro, os dados usam os mesmos números de um dado padrão - 1 a n, no caso de um ndados de dois lados. E segundo, os números das faces somam o mesmo total de um dado padrão. Mas ao contrário dos dados padrão, cada dado pode repetir alguns dos números e deixar outros de fora.

No caso de dados de seis lados, existem apenas 32 dados diferentes que possuem essas duas propriedades. Assim, com a ajuda de um computador, a equipe conseguiu identificar todos os triplos em que A batimentos B e B batimentos C. Os pesquisadores descobriram, para sua surpresa, que A batimentos C em 1,756 triplos e C batimentos A em 1,731 triplos — números quase idênticos. Com base neste cálculo e simulações de dados com mais de seis lados, a equipe conjecturou que, à medida que o número de lados do dado se aproxima do infinito, a probabilidade de que A batimentos C se aproxima de 50%.

A conjectura, com sua mistura de acessibilidade e nuances, pareceu a Conrey um bom material para um projeto Polymath, no qual muitos matemáticos se reúnem online para compartilhar ideias. Em meados de 2017, ele propôs a ideia a Gowers, o criador da abordagem Polymath. “Gostei muito da pergunta, por causa de seu valor surpresa”, disse Gowers. Ele escreveu um no blog sobre a conjectura que atraiu uma enxurrada de comentários e, ao longo de seis postagens adicionais, os comentaristas conseguiram comprová-la.

Em seu papel, publicado on-line no final de novembro de 2022, uma parte fundamental da prova envolve mostrar que, na maioria das vezes, não faz sentido falar se um único dado é forte ou fraco. Os dados de Buffett, nenhum dos quais é o mais forte do grupo, não são tão incomuns: se você escolher um dado ao acaso, mostrou o projeto Polymath, é provável que ganhe cerca de metade dos outros dados e perca para a outra metade. “Quase todos os dados são bastante medianos”, disse Gowers.

O projeto divergiu do modelo original da equipe AIM em um aspecto: para simplificar alguns detalhes técnicos, o projeto declarou que a ordem dos números em um dado é importante - então, por exemplo, 122556 e 152562 seriam considerados dois dados diferentes. Mas o resultado do Polymath, combinado com a evidência experimental da equipe AIM, cria uma forte presunção de que a conjectura também é verdadeira no modelo original, disse Gowers.

“Fiquei absolutamente encantado por eles terem apresentado esta prova”, disse Conrey.

Quando se trata de coleções de quatro ou mais dados, a equipe AIM previu um comportamento semelhante ao de três dados: Por exemplo, se A batimentos B, B batimentos C e C batimentos D então deve haver uma probabilidade de aproximadamente 50-50 de que D batimentos A, aproximando-se exatamente de 50-50 conforme o número de lados do dado se aproxima do infinito.

Para testar a conjectura, os pesquisadores simularam torneios frente a frente para conjuntos de quatro dados com 50, 100, 150 e 200 lados. As simulações não obedeceram às suas previsões tão de perto quanto no caso de três dados, mas ainda foram próximas o suficiente para reforçar sua crença na conjectura. Mas, embora os pesquisadores não percebessem, essas pequenas discrepâncias transmitiam uma mensagem diferente: para conjuntos de quatro ou mais dados, sua conjectura é falsa.

“Nós realmente queríamos que [a conjectura] fosse verdadeira, porque seria legal”, disse Conrey.

No caso de quatro dados, Elisabetta Cornacchia do Instituto Federal Suíço de Tecnologia de Lausanne e Jan Hazła do Instituto Africano de Ciências Matemáticas em Kigali, Ruanda, mostrou em um papel postou online no final de 2020 que se A batimentos B, B batimentos C e C batimentos D, Em seguida D tem uma chance ligeiramente melhor que 50% de vencer A - provavelmente algo em torno de 52%, disse Hązła. (Assim como no artigo Polymath, Cornacchia e Hązła usaram um modelo ligeiramente diferente do artigo AIM.)

A descoberta de Cornacchia e Hązła surge do fato de que, embora, como regra, um único dado não seja nem forte nem fraco, um par de dados às vezes pode ter áreas comuns de força. Se você pegar dois dados aleatoriamente, mostraram Cornacchia e Hązła, há uma probabilidade decente de que os dados sejam correlacionados: eles tenderão a ganhar ou perder para os mesmos dados. “Se eu pedir para você criar dois dados próximos um do outro, isso é possível”, disse Hązła. Esses pequenos bolsões de correlação afastam os resultados do torneio da simetria assim que há pelo menos quatro dados na imagem.

Os jornais recentes não são o fim da história. O artigo de Cornacchia e Hązła apenas começa a descobrir precisamente como as correlações entre os dados desequilibram a simetria dos torneios. Nesse ínterim, porém, sabemos agora que existem muitos conjuntos de dados intransitivos por aí - talvez até um que seja sutil o suficiente para enganar Bill Gates e fazê-lo escolher primeiro.