Introdução
Imagine que uma grade de hexágonos, semelhante a um favo de mel, se estende diante de você. Alguns hexágonos estão vazios; outros são preenchidos por uma coluna de concreto sólido de 6 pés de altura. O resultado é uma espécie de labirinto. Durante mais de meio século, os matemáticos colocaram questões sobre esses labirintos gerados aleatoriamente. Qual é o tamanho da maior rede de caminhos abertos? Quais são as chances de haver um caminho de uma borda até o centro da grade e vice-versa? Como essas chances mudam à medida que a grade aumenta de tamanho, adicionando cada vez mais hexágonos às suas bordas?
Essas perguntas são fáceis de responder se houver muito espaço vazio ou muito concreto. Digamos que cada hexágono receba seu estado aleatoriamente, independente de todos os outros hexágonos, com uma probabilidade constante em toda a grade. Poderia haver, digamos, 1% de chance de cada hexágono estar vazio. O concreto aglomera-se na grade, deixando apenas pequenas bolsas de ar entre elas, fazendo com que a chance de encontrar um caminho até a borda seja efetivamente zero. Por outro lado, se há 99% de probabilidade de cada hexágono estar vazio, há apenas uma fina camada de paredes de concreto, pontuando faixas de espaço aberto – não exatamente como um labirinto. Encontrar um caminho do centro até a borda, neste caso, é quase uma certeza.
Para grades grandes, há uma mudança notavelmente repentina quando a probabilidade atinge 1/2. Assim como o gelo derrete em água líquida exatamente a zero graus Celsius, o caráter do labirinto muda drasticamente neste ponto de transição, chamado de probabilidade crítica. Abaixo da probabilidade crítica, a maior parte da grelha ficará debaixo de betão, enquanto os caminhos vazios invariavelmente terminam em becos sem saída. Acima da probabilidade crítica, áreas enormes ficam vazias e são as paredes de concreto que certamente desaparecerão. Se você parar exatamente na probabilidade crítica, o concreto e o vazio se equilibrarão, e nenhum deles será capaz de dominar o labirinto.
“No ponto crítico, o que emerge é um maior grau de simetria”, disse Michael Aizenman, um físico matemático da Universidade de Princeton. “Isso abre a porta para um enorme corpo de matemática.” Também tem aplicações práticas para tudo, desde a concepção de máscaras de gás até análises de como as doenças infecciosas se espalham ou como o petróleo escoa através das rochas.
Em um artigo do artigo publicado no outono passado, quatro pesquisadores finalmente calcularam a chance de encontrar um caminho para labirintos com probabilidade crítica de 1/2.
Uma corrida armamentista
Como estudante de doutorado na França em meados dos anos 2000, Pierre Nolin estudou o cenário de probabilidade crítica em grande detalhe. O labirinto aleatório, pensa ele, é “um modelo realmente lindo, talvez um dos modelos mais simples que você pode inventar”. Perto do final de seus estudos de doutorado, que concluiu em 2008, Nolin ficou cativado por uma questão particularmente desafiadora sobre como se comporta uma grade hexagonal na probabilidade crítica. Digamos que você construa uma grade em torno de um ponto central, de modo que se aproxime de um círculo, e construa aleatoriamente seu labirinto a partir daí. Nolin queria explorar a chance de encontrar um caminho aberto que vai da borda ao centro e volta, sem refazer-se. Os matemáticos chamam isso de caminho monocromático de dois braços, porque tanto os “braços” internos quanto os externos estão em caminhos abertos. (Às vezes, essas grades são equivalentemente consideradas feitas de duas cores diferentes, digamos, azul claro e azul escuro, em vez de células abertas e fechadas.) Se você aumentar o tamanho do labirinto, o comprimento do caminho necessário também aumentará. , e a chance de encontrar esse caminho ficará cada vez menor. Mas com que rapidez as probabilidades diminuem à medida que o labirinto cresce arbitrariamente?
Perguntas relacionadas mais simples foram respondidas décadas atrás. Cálculos de 1979 por Marcel de Nijs estimou a chance de você encontrar um caminho, ou braço, da borda ao centro. (Compare isso com a exigência de Nolin de que haja um braço dentro e outro separado.) O trabalho de Den Nijs previu que a chance de encontrar um braço em uma grade hexagonal é proporcional a $látex 1/n^{5/48}$ , onde n é o número de peças do centro até a borda ou o raio da grade. Em 2002, Gregório Lawler, Oded Schramm e Wendelin Werner finalmente provou que a previsão de um braço estava correta. Para quantificar sucintamente a probabilidade decrescente à medida que o tamanho da grade aumenta, os pesquisadores usam o expoente do denominador, 5/48, que é conhecido como expoente de um braço.
Nolin queria calcular o expoente monocromático de dois braços, mais evasivo. Simulações numéricas em 1999 mostrou que estava muito próximo de 0.3568, mas os matemáticos não conseguiram determinar o seu valor exato.
Foi muito mais fácil calcular o que é conhecido como expoente policromático de dois braços, que caracteriza a chance de, começando no centro, você poder encontrar não apenas um caminho “aberto” para o perímetro, mas também um caminho “fechado” separado. (Pense no caminho fechado como aquele que atravessa o topo das paredes de concreto do labirinto.) Em 2001, Stanislav Smirnov e Werner provou que esse expoente era 1/4. (Como 1/4 é substancialmente maior que 5/48, $latex 1/n^{1/4}$ encolhe mais rapidamente que $latex 1/n^{5/48}$ conforme n cresce. A probabilidade, então, de uma estrutura policromática de dois braços é muito menor do que a probabilidade de um braço, como seria de esperar.)
Esse cálculo baseou-se fortemente no conhecimento sobre a forma dos clusters no gráfico. Imagine que um labirinto de probabilidade crítica seja extremamente grande – composto de milhões e milhões de hexágonos. Agora encontre um aglomerado de hexágonos vazios e trace a borda do aglomerado com um marcador preto grosso. Isso provavelmente não resultará em uma bolha simples e redonda. A quilômetros de altura, você veria uma curva sinuosa que constantemente se dobra para trás, muitas vezes parecendo que está prestes a se cruzar, mas nunca se comprometendo.
Este é um tipo de curva chamada curva SLE, introduzida por Schramm em um papel 2000 que redefiniu o campo. Um matemático que estuda as chances de encontrar um caminho aberto e um caminho fechado sabe que esses caminhos devem estar dentro de aglomerados maiores de locais abertos e fechados, que eventualmente se encontram ao longo de uma curva SLE. As propriedades matemáticas das curvas SLE se traduzem em informações valiosas sobre os caminhos dentro do labirinto. Mas se os matemáticos procuram múltiplos caminhos do mesmo tipo, as curvas SLE perdem grande parte da sua eficácia.
Em 2007, Nolin e seu colaborador Vincent Beffara criaram simulações numéricas mostrando que o expoente monocromático de dois braços era de cerca de 0.35. Isso estava suspeitamente próximo de 17/48 – a soma do expoente de um braço, 5/48, e do expoente policromático de dois braços, 1/4 (ou 12/48). “17/48 é realmente impressionante”, disse Nolin. Ele começou a suspeitar que 17/48 era a resposta verdadeira – o que significa que havia uma ligação simples entre os diferentes tipos de expoentes. Você poderia simplesmente adicioná-los. “Dissemos: OK, é bom demais para ser falso; tem que ser verdade.
Introdução
Por um tempo, nada resultou da conjectura de Nolin e Beffara, embora Nolin a tenha postado em seu site para que outros pudessem trabalhar. Ele se mudou para Hong Kong em 2017 para assumir um cargo de professor na City University of Hong Kong e continuou trabalhando no problema. Em 2018, ele trouxe o expoente à tona em conversa com Wei Qian, que era então pós-doutorado na Universidade de Cambridge, na Inglaterra. Qian estava estudando geometria aleatória no contexto contínuo em vez de discreto, com foco especial nas curvas SLE. Ela estava no meio de um projeto que usava o SLE para calcular expoentes em um tipo diferente de modelo aleatório, e Nolin começou a suspeitar que sua experiência também era relevante para o expoente monocromático de dois braços. A dupla logo encontrou uma equação aparentemente simples cuja solução daria o expoente, mas essa equação dependia de uma quantidade intermediária relacionada ao espaço delimitado por uma curva SLE na borda da grade. Nolin e Qian não conseguiram definir esse número.
“Fiz muitos cálculos, mas ainda não consegui calcular esta propriedade”, disse Qian. “Não tive sucesso, então parei por algum tempo.”
“Nunca mencionamos isso a ninguém porque não tínhamos certeza se seria útil ou não”, acrescentou Nolin.
O expoente da espinha dorsal
O expoente monocromático de dois braços é particularmente interessante porque também descreve a “espinha dorsal” de uma grade: a coleção de hexágonos que estão conectados a dois braços distintos que se estendem a dois braços não sobrepostos: um para a borda do labirinto e outro para seu centro. Quando esses sites são coloridos, eles formam uma teia que atravessa toda a grade e é chamada de espinha dorsal. Quando os investigadores modelam a propagação de doenças ou formações rochosas porosas, a espinha dorsal é uma estrada ao longo da qual os micróbios ou o petróleo podem fluir. O expoente procurado por Nolin e Qian revela o tamanho da espinha dorsal e é referido como o expoente da espinha dorsal.
Nolin e Qian não foram os únicos atrás da espinha dorsal. Xin Sun, então na Universidade da Pensilvânia, também tentava calcular o expoente da espinha dorsal. Nos anos anteriores, Sun e colaboradores, incluindo Nina Holden, da Universidade de Nova York, descobriram uma maneira de estudar curvas SLE usando superfícies fractais aleatórias. Essas superfícies curvas e extensas têm bordas recortadas que se estendem em longas gavinhas. Alguns pontos ficam a poucos passos de seus vizinhos, enquanto outros ficam a uma jornada de meses. Em certos locais, estes efeitos são demasiado extremos para serem visualizados. “Na verdade, não é possível desenhá-lo” com total precisão, disse Holden. “Você teria que esticar bastante a superfície.”
No verão de 2022, Sun convocou Zijie Zhuang, um estudante de graduação do segundo ano, para se juntar ao estudo do labirinto aleatório na probabilidade crítica. Eles consideraram labirintos aleatórios onde os hexágonos ficavam em uma superfície fractal aleatória, em vez de em um plano plano. Como o acaso determina onde e quanto a superfície é esticada e comprimida, a superfície possui propriedades únicas. (Essas propriedades também tornam essas superfícies úteis para físicos que estudam modelos de gravidade quântica em um universo bidimensional, dando-lhes o nome: superfícies de gravidade quântica de Liouville.) Por exemplo, se você colocar uma tesoura em tal superfície, as formas do duas metades não dependem uma da outra. “Esse tipo de independência realmente simplifica tremendamente as coisas”, disse Scott Sheffield do Instituto de Tecnologia de Massachusetts. Quando as coisas são aleatórias, você sabe menos sobre elas, mas isso pode significar menos informações para contabilizar tediosamente.
Sun e Zhuang primeiro tentaram determinar a probabilidade de haver um caminho aberto conectando um pequeno círculo ao redor do centro da grade a um círculo maior ao redor. Depois de responderem a essa pergunta, a Sun sugeriu um aumento na ambição: calcular a probabilidade de haver dois caminhos ligando os círculos aninhados, o que lhes teria dado uma forma de calcular o expoente da espinha dorsal. Logo, porém, eles enfrentaram dificuldades. “Tentamos essa abordagem por vários meses, mas o cálculo parece não ser muito tratável”, escreveu Zhuang por e-mail.
Introdução
Enquanto isso, embora Nolin e Qian não tivessem conseguido encontrar o valor do expoente, eles progrediram de outras maneiras. Qian tirou licença de seu cargo no Centro Nacional Francês de Pesquisa Científica e juntou-se a Nolin como professora na City University of Hong Kong. (Eles também se casaram.) No verão de 2021, ela encontrou alguns artigos de Sun e seus colaboradores que a intrigaram, então, à medida que as restrições de viagens pandêmicas foram suspensas, ela planejou uma visita em dezembro de 2022 ao Instituto de Estudos Avançados em Princeton. , Nova Jersey, onde Sun passou o ano.
Foi uma visita lucrativa. À medida que Qian descrevia a equação que ela e Nolin haviam encontrado, Sun começou a pensar que poderia ser favorável à técnica dele e de Zhuang de sobrepor os labirintos nas superfícies de gravidade quântica de Liouville. “É uma espécie de coincidência”, disse Sun. “Um cara tem uma fechadura, um cara tem uma chave.”
Zhuang estava um pouco cético. “Não temos previsões e nem sabemos se a fórmula terá uma boa solução”, afirmou, descrevendo a situação na altura. Sun e Zhuang passaram os meses seguintes usando suas técnicas de gravidade quântica de Liouville – a chave – para destravar a quantidade indescritível na equação de Nolin e Qian de anos anteriores – a fechadura.
Após quatro meses de trabalho, Sun e Zhuang abriram a fechadura metafórica. Sun enviou um e-mail para Zhuang, Qian e Nolin, proclamando: “Ótimas notícias: fórmula exata para o expoente da espinha dorsal”. A resposta, ele descobriu, era uma expressão moderadamente complicada de raízes quadradas e da função seno trigonométrica. Estava de acordo com as estimativas anteriores, um fluxo interminável de dígitos começando com 0.3566668.
Os quatro transformaram seu trabalho em um artigo escrito, refinando o argumento até que as ideias de Nolin e Qian, de um lado, e Sun e Zhuang, do outro, se combinaram para criar uma prova que Sheffield, que foi orientador de doutorado de Sun, chamou de “uma bela gema." “A estratégia de prova é definitivamente surpreendente e muito original, mas quando você a vê, também é algo que parece natural”, disse Holden.
Nolin lamenta a suspeita de 2011 de que o expoente era exatamente 17/48. “Nós enganamos o campo por algum tempo. Não estou muito orgulhoso disso.” O expoente da espinha dorsal é notavelmente diferente de seus primos policromáticos. Não é apenas irracional, mas também transcendental, o que significa que, como $latex pi$ e e, não pode ser escrito como a solução de uma equação polinomial simples.
“A prova não explica realmente de onde vem essa fórmula”, disse ele. “Temos mostrado isso aos físicos e estamos realmente ansiosos pela descoberta deles.”
A natureza transcendental do expoente da espinha dorsal chamou a atenção de outros profissionais da área. Gregory Huber, do Chan Zuckerberg Biohub, coautor de um artigo de acompanhamento sobre o expoente da espinha dorsal, disse acreditar que o resultado é o “primeiro vislumbre de um novo continente” na mecânica estatística. Embora a combinação das curvas SLE e da gravidade quântica de Liouville seja extremamente técnica, a resposta numérica clara e simples que surgiu, escreveu ele, é “incrivelmente simples e elegante”.
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- Fonte: https://www.quantamagazine.org/maze-proof-establishes-a-backbone-for-statistical-mechanics-20240207/
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