Introdução
Em 2009, um par de astrônomos do Observatório de Paris anunciou uma descoberta surpreendente. Depois de construir um modelo computacional detalhado do nosso sistema solar, eles executaram milhares de simulações numéricas, projetando os movimentos dos planetas bilhões de anos no futuro. Na maioria dessas simulações – que variaram o ponto de partida de Mercúrio em um intervalo de pouco menos de 1 metro – tudo ocorreu conforme o esperado. Os planetas continuaram a girar em torno do Sol, traçando órbitas em forma de elipse que pareciam mais ou menos como ao longo da história humana.
Mas cerca de 1% do tempo, as coisas deram errado - literalmente. A forma da órbita de Mercúrio mudou significativamente. Sua trajetória elíptica gradualmente se achatou, até que o planeta mergulhou no sol ou colidiu com Vênus. Às vezes, ao cortar seu novo caminho pelo espaço, seu comportamento também desestabilizava outros planetas: Marte, por exemplo, poderia ser ejetado do sistema solar ou colidir com a Terra. Vênus e a Terra poderiam, em uma lenta dança cósmica, trocar órbitas várias vezes antes de finalmente colidirem.
Talvez o sistema solar não fosse tão estável quanto as pessoas pensavam.
Durante séculos, desde que Isaac Newton formulou suas leis de movimento e gravidade, matemáticos e astrônomos têm se deparado com essa questão. No modelo mais simples do sistema solar, que considera apenas as forças gravitacionais exercidas pelo sol, os planetas seguem suas órbitas elípticas como um relógio por toda a eternidade. “É uma imagem reconfortante”, disse Richard Moeckel, um matemático da Universidade de Minnesota. “Vai durar para sempre, e estaremos muito longe, mas Júpiter ainda estará girando.”
Mas uma vez que você considera a atração gravitacional entre os próprios planetas, tudo fica mais complicado. Você não pode mais calcular explicitamente as posições e velocidades dos planetas por longos períodos de tempo e, em vez disso, deve fazer perguntas qualitativas sobre como eles podem se comportar. Os efeitos da atração mútua dos planetas podem se acumular e quebrar o mecanismo do relógio?
Simulações numéricas detalhadas, como as publicadas pelo Observatório de Paris Jacques Laskar e Mickaël Gastineau em 2009, sugerem que há uma chance pequena, mas real, de as coisas darem errado. Mas essas simulações, embora importantes, não são o mesmo que uma prova matemática. Eles não podem ser completamente precisos e, como mostram as próprias simulações, uma pequena imprecisão pode – ao longo de bilhões de anos simulados – levar a resultados muito diferentes. Além disso, eles não fornecem uma explicação subjacente de por que certos eventos podem acontecer. “Você quer entender quais mecanismos matemáticos geram instabilidades e provar que eles realmente existem”, disse Marcel Guardia, um matemático da Universidade de Barcelona.
Introdução
Agora, em três papéis que juntos exceder 150 páginas, Guardia e dois colaboradores provaram pela primeira vez que a instabilidade inevitavelmente surge em um modelo de planetas orbitando um sol.
“O resultado é realmente muito espetacular”, disse Gabriela Pinzari, um físico matemático da Universidade de Pádua, na Itália. “Os autores provaram um teorema que é um dos mais belos teoremas que se pode provar.” Também poderia ajudar a explicar por que nosso sistema solar tem a aparência que tem.
Quatro páginas e uma nova história
Séculos atrás, já estava claro que as interações entre os planetas poderiam ter efeitos de longo prazo. Considere Mercúrio. Leva aproximadamente três meses para viajar ao redor do sol em um caminho elíptico. Mas esse caminho também gira lentamente – um grau a cada 600 anos, uma rotação completa a cada 200,000. Esse tipo de rotação, conhecido como precessão, é em grande parte resultado de Vênus, Terra e Júpiter puxando Mercúrio.
Mas pesquisas feitas no século 18 por gigantes matemáticos como Pierre-Simon Laplace e Joseph-Louis Lagrange indicaram que, deixando de lado a precessão, o tamanho e a forma da elipse são estáveis. Não foi até o final do século 19 que essa intuição começou a mudar, quando Henri Poincaré descobriu que mesmo em um modelo com apenas três corpos (digamos, uma estrela orbitada por dois planetas), é impossível calcular soluções exatas para as equações de Newton. “A mecânica celeste é uma coisa delicada”, disse Rafael de la Llave, um matemático do Georgia Institute of Technology. Altere as condições iniciais por um fio de cabelo - por exemplo, mudando a posição assumida de um planeta por um mero metro, como Laskar e Gastineau fizeram em suas simulações - e em escalas de tempo longas, o sistema pode parecer muito diferente.
No problema dos três corpos, Poincaré encontrou um emaranhado de possíveis comportamentos tão complicado que a princípio pensou ter cometido um erro. Uma vez que ele aceitou a verdade de seus resultados, não foi mais possível dar como certa a estabilidade do sistema solar. Mas como trabalhar com as equações de Newton é tão difícil, não ficou claro se o comportamento do sistema solar pode ser complicado e caótico apenas em pequena escala – os planetas podem acabar em posições diferentes dentro de uma faixa previsível, por exemplo – ou se , como Guàrdia e seus colaboradores acabariam provando em seu próprio modelo, o tamanho e a forma das órbitas podem mudar tanto que os planetas poderiam colidir uns com os outros ou viajar para o infinito.
Então, em 1964, o matemático Vladimir Arnold escreveu um papel de quatro páginas que estabeleceu a linguagem certa para enquadrar o problema. Ele encontrou uma razão específica pela qual variáveis-chave em um sistema dinâmico podem mudar muito. Primeiro, ele preparou um exemplo artificial, uma estranha mistura de um pêndulo e um rotor que não se parecia nem remotamente com nada que você encontraria na natureza. Nesse modelo de brinquedo, ele provou que, com tempo suficiente, certas quantidades que normalmente permanecem constantes podem mudar em grandes quantidades.
Arnold então conjecturou que a maioria dos sistemas dinâmicos deveria exibir esse tipo de instabilidade. No caso do sistema solar, isso pode significar que as formas orbitais, ou excentricidades, de certos planetas podem mudar ao longo de bilhões de anos.
Mas enquanto matemáticos e físicos eventualmente fizeram muito progresso em provar que a instabilidade surge em geral, eles lutaram para mostrá-la para modelos celestes. Isso ocorre porque o efeito gravitacional do sol é tão forte que muitas características do modelo planetário mecânico persistem mesmo quando você considera as forças adicionais exercidas pelos planetas. (Nesse contexto, a mecânica newtoniana fornece uma aproximação tão boa da realidade que esses modelos não precisam considerar os efeitos da relatividade geral.) Tal estabilidade inerente torna a instabilidade difícil de detectar.
Os parâmetros que permaneceram tão estáveis nos cálculos feitos por Laplace, Lagrange e outros poderiam realmente mudar significativamente? “Você tem que lidar com uma instabilidade que é extremamente fraca”, disse Laurent Niederman da Universidade Paris-Saclay. Os métodos usuais não irão capturá-lo.
Simulações numéricas deram esperança de que a busca por tal prova não foi em vão. E havia provas preliminares. Em 2016, por exemplo, de la Llave e dois colegas instabilidade comprovada em um modelo de mecânica celeste simplificado que consiste em um sol, um planeta e um cometa, onde o cometa foi assumido como sem massa e, portanto, sem efeito gravitacional no planeta. Esta configuração é conhecida como “restrita” n-problema corporal.
Os novos jornais abordam um verdadeiro n-body problem — mostrando que a instabilidade surge em um sistema planetário onde três pequenos corpos giram em torno de um sol muito maior. Mesmo que o tamanho e a forma das órbitas passem muito tempo oscilando em torno de valores fixos, eles acabarão mudando drasticamente.
Isso já era esperado — acreditava-se amplamente que estabilidade e instabilidade coexistem nesse tipo de modelo —, mas os matemáticos foram os primeiros a comprová-lo.
A Instabilidade Final
Junto com Jacques Fejoz da Universidade de Paris Dauphine, Guàrdia tentou pela primeira vez provar a instabilidade no problema dos três corpos (um sol, dois planetas) em 2016. Embora eles tenham conseguido mostrar que dinâmica caótica surgiu no sabor de Poincaré, eles não conseguiram provar que esse comportamento caótico correspondia a mudanças grandes e de longo prazo.
André Clarke, um pós-doutorando que estudava com Guardia, juntou-se a eles em setembro de 2020, e eles decidiram tentar novamente o problema, desta vez adicionando um planeta extra à mistura. Em seu modelo, três planetas giram em torno de um sol a distâncias cada vez maiores entre si. Crucialmente, o planeta mais interno começa a orbitar com uma inclinação significativa em relação ao segundo e terceiro planetas, de modo que seu caminho praticamente forma um ângulo reto com o deles.
Essa inclinação permitiu aos matemáticos encontrar condições iniciais que resultam em instabilidade.
Eles mostraram a existência de trajetórias que levaram a praticamente qualquer excentricidade possível para o segundo planeta: com o tempo, foi possível que sua elipse achatasse até quase parecer uma linha reta. Enquanto isso, as órbitas do segundo e terceiro planetas, que começaram no mesmo plano, também podem acabar perpendiculares entre si. O segundo planeta pode até girar 180 graus, de modo que, embora todos os planetas possam ter se movido no sentido horário ao redor do sol, o segundo acabou se movendo no sentido anti-horário. “Imagine que você espera um milhão de anos e Marte está indo na direção oposta”, disse Ricardo Montgomery da Universidade da Califórnia, Santa Cruz. "Isso seria estranho."
“Você não pode evitar órbitas muito selvagens, mesmo neste cenário simples”, disse Niederman.
Mesmo assim, os tamanhos das órbitas permaneceram estáveis. Isso ocorre porque, neste modelo, os planetas se movem ao redor do sol muito rapidamente em comparação com o tempo que suas órbitas levam para precessar – permitindo que os matemáticos encobrissem as variáveis “rápidas” relacionadas aos movimentos dos planetas. “É tedioso pensar no que está acontecendo todos os anos se o que realmente nos interessa é o que está acontecendo ao longo de mil anos”, disse Moeckel. As oscilações no tamanho de cada elipse (medidas em termos de seu raio longo, ou semieixo maior) são médias.
Isso não era surpreendente. “O conhecimento comum diz que a inclinação e a excentricidade devem ser mais instáveis do que o semieixo maior”, disse Guàrdia. Mas então ele e seus colegas perceberam que, se colocassem o terceiro planeta ainda mais longe do sol, poderiam adicionar mais instabilidade ao modelo.
Esse novo sistema e as equações que o governavam eram mais complicados, e os matemáticos não tinham certeza se conseguiriam obter algum resultado. Mas “era demais para ignorar”, disse Clarke. “Se houvesse uma chance de mostrar que eixos semigrandes poderiam derivar, então quero dizer, você tem que perseguir isso.”
Laskar, que liderou grande parte do trabalho numérico sobre instabilidade no sistema solar, disse que se você sobrepuser esse tipo de sistema solar ao nosso, poderá ver o primeiro planeta aninhado contra o sol, o segundo planeta onde a Terra ser, e o terceiro planeta na Nuvem de Oort, nos limites externos do nosso sistema solar. (Como resultado, ele acrescentou, isso representa uma “situação muito extrema” – uma que ele não espera necessariamente encontrar em nossa própria galáxia.)
Quanto maior a distância de um planeta do sol, mais tempo leva para completar uma órbita. Nesse caso, o terceiro planeta está tão distante que a precessão dos dois planetas internos ocorre em um ritmo mais rápido. Não é mais possível calcular a média do movimento do último planeta - um cenário que Lagrange e Laplace não consideraram em seus relatos sobre a estabilidade do sistema solar. “Isso mudará completamente a estrutura da equação”, disse Alain Chenciner, um matemático também do Observatório de Paris. Agora havia mais variáveis com que se preocupar.
Clarke, Fejoz e Guàrdia provaram que as órbitas podem crescer arbitrariamente. “Eles finalmente conseguem aumentar o tamanho da órbita, em vez de apenas a forma ou algo assim”, disse Moeckel. “Essa é a instabilidade máxima.”
Embora essas mudanças tenham se acumulado muito lentamente, elas ainda ocorreram mais rapidamente do que se poderia esperar – sugerindo que em um sistema planetário realista, as mudanças podem se acumular ao longo de centenas de milhões de anos, em vez de bilhões.
Introdução
Os resultados fornecem uma possível explicação para o motivo pelo qual os planetas do nosso sistema solar têm órbitas quase no mesmo plano. Isso mostra que algo tão simples quanto um grande ângulo de inclinação pode ser uma fonte de muita instabilidade, em vários aspectos. “Se você começar com uma situação em que as inclinações mútuas são muito grandes, destruirá o sistema 'rapidamente'”, disse Chenciner. “Ele teria sido destruído centenas, milhares de séculos atrás.”
Rodovias de alta dimensão
Essas provas exigiam uma combinação inteligente de técnicas de geometria, análise e dinâmica – e um retorno às definições básicas.
Os matemáticos representaram cada configuração de seu sistema planetário (as posições e velocidades dos planetas) como um ponto em um espaço de alta dimensão. Seu objetivo era mostrar a existência de “rodovias” através do espaço que correspondem, digamos, a grandes mudanças na excentricidade do segundo planeta ou no semieixo maior do terceiro planeta.
Para fazer isso, eles primeiro tiveram que expressar cada ponto em termos de coordenadas que eram tão esotéricas e complexas que quase ninguém tinha ouvido falar delas, muito menos tentado usá-las. (As coordenadas foram descobertas no início dos anos 1980 pelo astrônomo belga André Deprit, depois esquecidas e posteriormente descobertas independentemente por Pinzari em 2009, enquanto ela trabalhava em sua tese de doutorado. Elas quase não foram usadas desde então.)
Ao usar as coordenadas de Deprit para descrever seu espaço de alta dimensão de configurações planetárias, os matemáticos obtiveram uma compreensão mais profunda de sua estrutura. “Isso é parte da beleza da prova: conseguir lidar com essa geometria de 18 dimensões”, disse Fejoz.
Fejoz, Clarke e Guardia encontraram rodovias que atravessavam diversas regiões especiais naquele espaço. Eles então usaram sua recém-descoberta compreensão geométrica para provar que as rodovias correspondiam a dinâmicas instáveis no tamanho e na forma das órbitas dos planetas.
“Quando terminei meu Ph.D. 30 anos atrás”, disse Niederman, “estávamos extremamente, extremamente longe desse tipo de resultado”.
“É um sistema tão complicado que você tem a sensação de que qualquer coisa que não seja obviamente proibida deve acontecer”, disse Chenciner. “Mas geralmente é muito difícil provar isso.”
Os matemáticos agora esperam usar as técnicas de Clarke, Fejoz e Guàrdia para provar a instabilidade em modelos que se parecem mais com o nosso próprio sistema solar. Esses tipos de resultados estão se tornando particularmente significativos à medida que os astrônomos descobrem mais e mais exoplanetas orbitando outras estrelas, apresentando uma ampla gama de configurações. “É como um laboratório aberto”, disse Mariana Gideia, um matemático da Universidade Yeshiva. “Entender no papel que tipos de evolução de sistemas planetários podem acontecer e comparar isso com o que você pode observar – é muito emocionante. Ele fornece muitas informações sobre a física do nosso universo e sobre quanto disso nossa matemática é capaz de capturar por meio de modelos relativamente simples.”
Na esperança de fazer essa comparação, Fejoz conversou com alguns astrônomos sobre a identificação de sistemas extrassolares que se assemelham, mesmo que vagamente, ao modelo que ele e seus colegas desenvolveram. Outros pesquisadores, incluindo Gidea, dizem que o trabalho pode ser útil para projetar trajetórias eficientes para satélites artificiais ou para descobrir como mover partículas em alta velocidade por meio de um acelerador de partículas. Como disse Pinzari, “a pesquisa em mecânica celeste ainda está muito viva”.
O objetivo final seria provar a instabilidade em nosso próprio sistema solar. “Acordo no meio da noite pensando nisso”, disse Clarke. “Eu diria que seria o verdadeiro sonho, mas seria um pesadelo, não é? Porque estaríamos ferrados.
Correção: 16 de maio de 2023
Este artigo foi revisado para refletir que Marcel Guardia é professor da Universidade de Barcelona. Ele se mudou da Universidade Politécnica da Catalunha no verão de 2022.
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- Fonte: https://www.quantamagazine.org/new-math-shows-when-solar-systems-become-unstable-20230516/
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