Algoritmo quântico de Goemans-Williamson com o teste de Hadamard e restrições de amplitude aproximadas

Algoritmo quântico de Goemans-Williamson com o teste de Hadamard e restrições de amplitude aproximadas

Carimbo de data / hora: 12 de julho de 2023, 8h

Taylor L. Patti1,2, Jean Kossaifi2, Anima Anandkumar3,2e Susanne F. Yelin1

1Departamento de Física, Universidade de Harvard, Cambridge, Massachusetts 02138, EUA
2NVIDIA, Santa Clara, Califórnia 95051, EUA
3Departamento de Computação + Ciências Matemáticas (CMS), Instituto de Tecnologia da Califórnia (Caltech), Pasadena, CA 91125 EUA

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Sumário

Programas semidefinidos são métodos de otimização com uma ampla gama de aplicações, como a aproximação de problemas combinatórios difíceis. Um desses programas semidefinidos é o algoritmo de Goemans-Williamson, uma técnica popular de relaxamento inteiro. Introduzimos um algoritmo quântico variacional para o algoritmo Goemans-Williamson que usa apenas $n{+}1$ qubits, um número constante de preparações de circuito e $text{poly}(n)$ valores esperados para resolver aproximadamente programas semidefinidos com até $N=2^n$ variáveis ​​e restrições $M sim O(N)$. A otimização eficiente é alcançada codificando a matriz objetiva como um unitário devidamente parametrizado condicionado em um qubit auxiliar, uma técnica conhecida como Teste de Hadamard. O Teste de Hadamard nos permite otimizar a função objetivo estimando apenas um único valor esperado do ancilla qubit, em vez de estimar separadamente muitos valores esperados exponencialmente. Da mesma forma, ilustramos que as restrições de programação semidefinidas podem ser efetivamente aplicadas implementando um segundo teste de Hadamard, bem como impondo um número polinomial de restrições de amplitude de cordas de Pauli. Demonstramos a eficácia do nosso protocolo ao conceber uma implementação quântica eficiente do algoritmo Goemans-Williamson para vários problemas NP-difíceis, incluindo MaxCut. Nosso método excede o desempenho de métodos clássicos análogos em um subconjunto diversificado de problemas MaxCut bem estudados da biblioteca GSet.

Algoritmo Quantum Goemans-Williamson com o Teste Hadamard e Restrições de Amplitude Aproximada PlatoBlockchain Data Intelligence. Pesquisa vertical. Ai.

Imagem em destaque: Diagrama de HTAAC-QSDP para o algoritmo Goemans-Williamson com $n=3$ qubits não auxiliares. a) Um problema clássico de variáveis ​​$N$ (aqui um problema MaxCut $N$-vértice onde $N=8$). A matriz de peso $W$ é usada para gerar o $U_W$ unitário. b) O Teste de Hadamard é usado para avaliar eficientemente a função objetivo e as restrições de balanceamento populacional. O estado $n$-qubit $|psirangle = U_V|mathbf{0}rangle$ é preparado com um circuito quântico variacional $U_V$. O qubit $n+1$th (auxiliar) é inicializado como $(|0rangle -i |1rangle)/sqrt{2}$. Posteriormente, o Teste de Hadamard é realizado: $U_W$ é implementado como um unitário controlado condicionado no qubit auxiliar, que é então medido para calcular $langle sigma_{n+1} rangle_{W,t} = text{Im} [langle psi|U_W|psi Rangle]$ ou $langle sigma_{n+1} Rangle_{P,t} = text{Im}[Langle psi|U_P|psi Rangle]$. c) As restrições de amplitude SDP $M=2^n$ são aplicadas aproximadamente com apenas restrições $m sim text{poly}(n)$ Pauli string. Eles são calculados coletando medições de $n$-qubit Pauli-$z$ e usando estatísticas marginais para estimar os valores esperados de $m$.

Resumo popular

Programas semidefinidos nos permitem aproximar uma ampla gama de problemas difíceis, incluindo problemas NP-difíceis. Um desses programas semidefinidos é o algoritmo Goemans-Williamson, que pode resolver problemas difíceis, como o MaxCut. Introduzimos um algoritmo quântico variacional para o algoritmo Goemans-Williamson que usa apenas $n{+}1$ qubits, um número constante de preparações de circuito e um número polinomial de valores esperados para resolver aproximadamente programas semidefinidos com um número exponencial de variáveis ​​e restrições. Codificamos o problema em um circuito quântico (ou unitário) e o lemos em um único qubit auxiliar, uma técnica conhecida como Teste de Hadamard. Da mesma forma, ilustramos que as restrições do problema podem ser impostas por 1) um segundo teste de Hadamard e 2) um número polinomial de restrições de sequência de Pauli. Demonstramos a eficácia do nosso protocolo ao conceber uma implementação quântica eficiente do algoritmo Goemans-Williamson para vários problemas NP-difíceis, incluindo MaxCut. Nosso método excede o desempenho de métodos clássicos análogos em um subconjunto diversificado de problemas MaxCut bem estudados.

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