Quando Daniel Larsen estava no ensino médio, ele começou a criar palavras cruzadas. Ele teve que colocar o hobby em cima de seus outros interesses: xadrez, programação, piano, violino. Ele se classificou duas vezes para o Scripps National Spelling Bee, perto de Washington, D.C., depois de vencer sua competição regional. “Ele se concentra em alguma coisa e é só bang, bang, bang, até conseguir”, disse a mãe de Larsen, Ayelet Lindenstrauss. Suas primeiras palavras cruzadas foram rejeitadas pelos principais jornais, mas ele persistiu e finalmente conseguiu. detém o recorde para a pessoa mais jovem publicar palavras cruzadas em The New York Times, aos 13 anos. “Ele é muito persistente”, disse Lindenstrauss.
Ainda assim, a obsessão mais recente de Larsen parecia diferente, “mais longa e intensa do que a maioria dos seus outros projetos”, disse ela. Por mais de um ano e meio, Larsen não conseguia parar de pensar em um determinado problema de matemática.
Tinha raízes numa questão mais ampla, que o matemático Carl Friedrich Gauss considerou uma das mais importantes da matemática: como distinguir um número primo (um número que é divisível apenas por 1 e por si mesmo) de um número composto. Durante centenas de anos, os matemáticos procuraram uma maneira eficiente de fazer isso. O problema também se tornou relevante no contexto da criptografia moderna, já que alguns dos sistemas criptográficos mais utilizados atualmente envolvem fazer aritmética com números primos enormes.
Há mais de um século, na busca por um teste de primalidade rápido e poderoso, os matemáticos tropeçaram em um grupo de encrenqueiros – números que enganam os testes fazendo-os pensar que são primos, mesmo que não sejam. Esses pseudoprimos, conhecidos como números de Carmichael, têm sido particularmente difíceis de compreender. Foi apenas em meados da década de 1990, por exemplo, que os matemáticos provaram que existem um número infinito deles. Ser capaz de dizer algo mais sobre como eles estão distribuídos ao longo da reta numérica representou um desafio ainda maior.
Então veio Larsen com uma nova prova sobre exatamente isso, inspirado em trabalhos recentes e marcantes em uma área diferente da teoria dos números. Na época, ele tinha apenas 17 anos.
A faísca
Crescendo em Bloomington, Indiana, Larsen sempre se sentiu atraído pela matemática. Seus pais, ambos matemáticos, apresentaram o assunto a ele e a sua irmã mais velha quando eram jovens. (Ela agora está fazendo doutorado em matemática.) Quando Larsen tinha 3 anos, lembra Lindenstrauss, ele começou a fazer perguntas filosóficas sobre a natureza do infinito. “Eu pensei, esse garoto tem uma mente matemática”, disse Lindenstrauss, professor da Universidade de Indiana.
Então, há alguns anos — na época em que ele estava imerso em seus projetos de ortografia e palavras cruzadas — ele se deparou com um documentário sobre Yitang Zhang, um matemático desconhecido que saiu da obscuridade em 2013 após provando um resultado marcante que colocam um limite superior nas lacunas entre números primos consecutivos. Algo clicou em Larsen. Ele não conseguia parar de pensar na teoria dos números e no problema relacionado que Zhang e outros matemáticos ainda esperavam resolver: a conjectura dos primos gêmeos, que afirma que existem infinitos pares de primos que diferem apenas por 2.
Depois do trabalho de Zhang, que mostrou que existem infinitos pares de primos que diferem em menos de 70 milhões, outros pularam para diminuir ainda mais esse limite. Em poucos meses, os matemáticos James Maynard e Terence tao provou de forma independente uma afirmação ainda mais forte sobre as lacunas entre os números primos. Desde então, essa diferença diminuiu para 246.
Larsen queria compreender um pouco da matemática subjacente ao trabalho de Maynard e Tao, “mas era praticamente impossível para mim”, disse ele. Seus papéis eram muito complicados. Larsen tentou ler trabalhos relacionados, mas também descobriu que eram impenetráveis. Ele continuou, pulando de um resultado para outro, até que finalmente, em fevereiro de 2021, encontrou um artigo que achou bonito e compreensível. Seu assunto: números de Carmichael, aqueles estranhos números compostos que às vezes podem se passar por primos.
Todos menos Prime
Em meados do século XVII, o matemático francês Pierre de Fermat escreveu uma carta ao seu amigo e confidente Frénicle de Bessy, na qual expôs o que mais tarde seria conhecido como o seu “pequeno teorema”. Se N é um número primo, então bN - b é sempre um múltiplo de N, não importa o que b é. Por exemplo, 7 é um número primo e, como resultado, 27 – 2 (que é igual a 126) é um múltiplo de 7. Da mesma forma, 37 – 3 é múltiplo de 7 e assim por diante.
Os matemáticos viram o potencial para um teste perfeito para determinar se um determinado número é primo ou composto. Eles sabiam que se N é primo, bN - b é sempre um múltiplo de N. E se o inverso também fosse verdade? Isto é, se bN - b é um múltiplo de N para todos os valores de b, devo N ser primo?
Infelizmente, descobriu-se que, em casos muito raros, N pode satisfazer esta condição e ainda ser composto. O menor número é 561: para qualquer número inteiro b, b561 - b é sempre um múltiplo de 561, mesmo que 561 não seja primo. Números como esses foram nomeados em homenagem ao matemático Robert Carmichael, a quem muitas vezes é creditado a publicação do primeiro exemplo em 1910 (embora o matemático tcheco Václav Šimerka tenha descoberto exemplos de forma independente em 1885).
Os matemáticos queriam compreender melhor esses números que tão se assemelham aos objetos mais fundamentais da teoria dos números, os primos. Acontece que em 1899 – uma década antes do resultado de Carmichael – outro matemático, Alwin Korselt, apresentou uma definição equivalente. Ele simplesmente não sabia se havia algum número adequado.
De acordo com o critério de Korselt, um número N é um número de Carmichael se e somente se satisfaz três propriedades. Primeiro, deve ter mais de um fator primo. Segundo, nenhum fator primo pode se repetir. E terceiro, para cada primo p que divide N, p – 1 também divide N – 1. Considere novamente o número 561. É igual a 3 × 11 × 17, portanto satisfaz claramente as duas primeiras propriedades da lista de Korselt. Para mostrar a última propriedade, subtraia 1 de cada fator primo para obter 2, 10 e 16. Além disso, subtraia 1 de 561. Todos os três números menores são divisores de 560. O número 561 é, portanto, um número de Carmichael.
Embora os matemáticos suspeitassem que existam infinitos números de Carmichael, existem relativamente poucos em comparação com os primos, o que os torna difíceis de definir. Então em 1994 Red Alford André Granville e Carlos Pomerance publicou um avanço papel no qual eles finalmente provaram que existem de fato um número infinito desses pseudoprimos.
Infelizmente, as técnicas que desenvolveram não lhes permitiram dizer nada sobre a aparência daqueles números de Carmichael. Eles apareceram em grupos ao longo da reta numérica, com grandes lacunas entre eles? Ou você sempre poderia encontrar um número de Carmichael em um curto intervalo? “Você pensaria que se pudesse provar que há um número infinito deles”, disse Granville, “certamente seria capaz de provar que não há grandes lacunas entre eles, que deveriam estar relativamente bem espaçados”.
Em particular, ele e os seus co-autores esperavam provar uma afirmação que reflectisse esta ideia – que dado um número suficientemente grande X, sempre haverá um número de Carmichael entre X e 2X. “É outra forma de expressar o quão onipresentes eles são”, disse Jon Grantham, matemático do Instituto de Análises de Defesa que realizou trabalhos relacionados.
Mas durante décadas, ninguém conseguiu provar isso. As técnicas desenvolvidas por Alford, Granville e Pomerance “nos permitiram mostrar que haveria muitos números de Carmichael”, disse Pomerance, “mas não nos permitiram realmente ter muito controle sobre onde eles estariam. ”
Então, em novembro de 2021, Granville abriu um e-mail de Larsen, então com 17 anos e no último ano do ensino médio. A papel estava anexado – e para surpresa de Granville, parecia correto. “Não foi a leitura mais fácil de todas”, disse ele. “Mas quando li, ficou bem claro que ele não estava brincando. Ele tinha ideias brilhantes.”
Pomerance, que leu uma versão posterior da obra, concordou. “Sua prova é realmente bastante avançada”, disse ele. “Seria um artigo que qualquer matemático ficaria muito orgulhoso de ter escrito. E aqui está um garoto do ensino médio escrevendo.”
A chave para a prova de Larsen foi o trabalho que o levou aos números de Carmichael em primeiro lugar: os resultados de Maynard e Tao sobre os hiatos primos.
Improvável - não impossível
Quando Larsen começou a mostrar que é sempre possível encontrar um número de Carmichael num curto intervalo, “parecia que era tão obviamente verdade, quão difícil pode ser prová-lo?” ele disse. Ele rapidamente percebeu que poderia ser muito difícil. “Este é um problema que testa a tecnologia do nosso tempo”, disse ele.
Em seu artigo de 1994, Alford, Granville e Pomerance mostraram como criar um número infinito de números de Carmichael. Mas eles não conseguiram controlar o tamanho dos números primos que usaram para construí-los. Isso é o que Larsen precisaria fazer para construir números de Carmichael de tamanho relativamente próximo. A dificuldade do problema preocupava seu pai, Michael Larsen. “Não achei que fosse impossível, mas achei improvável que ele tivesse sucesso”, disse ele. “Eu vi quanto tempo ele estava gastando nisso… e senti que seria devastador para ele se dedicar tanto a isso e não conseguir.”
Ainda assim, ele sabia que não deveria tentar dissuadir o filho. “Quando Daniel se compromete com algo que realmente lhe interessa, ele persiste nos bons e maus momentos”, disse ele.
Assim, Larsen voltou aos artigos de Maynard – em particular, para trabalhar mostrando que, se tomarmos certas sequências de números suficientes, algum subconjunto desses números deve ser primo. Larsen modificou as técnicas de Maynard para combiná-las com os métodos utilizados por Alford, Granville e Pomerance. Isso lhe permitiu garantir que os números primos obtidos variariam em tamanho – o suficiente para produzir números de Carmichael que ficariam dentro dos intervalos que ele desejava.
“Ele tem mais controle sobre as coisas do que jamais tivemos”, disse Granville. E ele conseguiu isso através de um uso particularmente inteligente do trabalho de Maynard. “Não é fácil… usar este progresso em intervalos curtos entre números primos”, disse Kaisa Matomäki, um matemático da Universidade de Turku, na Finlândia. “É muito bom que ele consiga combinar isso com esta questão sobre os números de Carmichael.”
Na verdade, o argumento de Larsen não lhe permitiu apenas mostrar que um número de Carmichael deve sempre aparecer entre X e 2X. Sua prova também funciona para intervalos muito menores. Os matemáticos esperam agora que isto também ajude a revelar outros aspectos do comportamento destes números estranhos. “É uma ideia diferente”, disse Thomas Wright, um matemático do Wofford College, na Carolina do Sul, que trabalha com pseudoprimos. “Isso muda muitas coisas sobre como podemos provar coisas sobre os números de Carmichael.”
Grantham concordou. “Agora você pode fazer coisas que nunca imaginou”, disse ele.
Enquanto isso, Larsen acaba de começar seu primeiro ano no Instituto de Tecnologia de Massachusetts. Ele não tem certeza de qual problema poderá resolver a seguir, mas está ansioso para saber o que está por aí. “Estou apenas fazendo cursos… e tentando ter a mente aberta”, disse ele.
“Ele fez tudo isso sem uma graduação”, disse Grantham. “Só posso imaginar o que ele vai inventar na pós-graduação.”
