Введение
Как и многие люди, которые впоследствии станут математиками, Вэй Хо вырос, участвуя в математических олимпиадах. В восьмом классе она выиграла соревнование штата по математическим вычислениям в Висконсине, а ее команда заняла третье место в национальных соревнованиях.
В отличие от многих будущих математиков, она не была уверена, что когда-нибудь захочет им стать.
«Я хотел делать все, все время», — сказал Хо. «Я очень серьезно относился к балету до начала средней школы. Я редактировал литературный журнал. Я занимался дебатами и судебной экспертизой. Я играл в теннис, в футбол, на фортепиано и на скрипке». Напротив, многие успешные математики, казалось, были одержимы математикой, исключая все остальное. Как могла она, человек с многочисленными страстями, конкурировать с таким уровнем сосредоточенности?
В конце концов, Хо увлеклась строгостью математики. Ей по-прежнему нравится балет, чтение романов и разгадывание загадочных кроссвордов, даже когда она помогает заново изобретать математический механизм, лежащий в основе фундаментальных математических объектов, таких как полиномиальные уравнения, с которыми связаны давние и озадачивающие открытые вопросы.
Хо изучает знакомые геометрические объекты, но переформулирует вопросы, чтобы поместить их в область рациональных чисел — чисел, которые можно записать в виде дробей. «Затем ко всему этому начинает примешиваться теория чисел», — сказала она.
Ее особенно интересуют эллиптические кривые, которые определяются особым типом полиномиального уравнения, имеющего приложения в различных разделах математики. Эллиптические кривые появляются в анализе — в широком смысле, при изучении непрерывных вещей, таких как действительные числа, — и в алгебре, которая занимается поиском и определением точных математических структур. (Хотя их направленность различна, анализ и алгебра разделены скорее чувственностью, чем строгой границей, поскольку между ними много общего.)
Введение
В преодолевающем барьер препринте, выпущенном в 2018 году, Хо и ее соавтор Левент Альпёге Гарвардского университета открыл новую верхнюю границу для числа целочисленных решений многочленов, определяющих эллиптические кривые. Их метод опирается на многолетнюю работу Луи Морделла, американского математика, эмигрировавшего в Великобританию в 1906 году. проблемы.
Хо проводит год (в отпуске с должности преподавателя в Мичиганском университете) в качестве приглашенного профессора в Институте перспективных исследований, где она недавно была назначена первым директором программы IAS «Женщины и математика». Она также является членом Американского математического общества 2023 года и научным сотрудником Принстонского университета.
Она надеется, что руководство программой «Женщины и математика» «по крайней мере больше поможет сообществу, поможет большему количеству людей, вместо того, чтобы просто сидеть в своем офисе и заниматься математическими исследованиями самостоятельно или с коллегами», — сказала она. «Я могу доказывать теоремы, и, может быть, когда-нибудь я смогу доказать теорему, которая через 100 лет будет иметь значение. Может быть, а может и нет. Но я чувствовал, что недостаточно влияю на мир или на людей вокруг меня».
Quanta говорил с Хо в серии видеоконференций. Интервью были сжаты и отредактированы для ясности.
Как бы вы описали то, как вы занимаетесь математикой?
Иногда математики делятся на алгебраиков и аналитиков. Математика, которой я занимаюсь, затрагивает обе стороны, но в глубине души я алгебраист, хотя в своем мышлении я геометричен. Я часто склонен рассматривать алгебру и геометрию как одно и то же.
Это не совсем точно, но в основном со времен Декарта и особенно в прошлом веке эти два предмета стали очень близки. Существует довольно точный словарь, который может в некоторых ситуациях помочь перевести геометрическую картину в алгебраические следствия.
В моем случае геометрическая картинка часто помогает сформулировать утверждения и предположения и дает интуицию, но потом мы переводим их в алгебру при письме. Легче обнаружить ошибки, поскольку алгебра обычно более строгая. Также может быть проще использовать алгебру, когда геометрию становится слишком сложно визуализировать.
На каких идеях вы сосредоточились в своей последней работе?
Немалая часть моей работы связана с эллиптическими кривыми, которые являются очень естественными объектами в теории чисел и арифметической геометрии.
Должно быть трудно иметь целые решения таких уравнений. Мы ожидаем, что практически все кривые не должны иметь целочисленных решений. Но доказать это очень сложно.
Мы с Левентом изучали это распределение числа целых точек. Мы используем классическую конструкцию из книги Морделла 1969 г. Диофантовы уравнения. Мы можем дать верхнюю границу числа целых точек на эллиптической кривой. Другие люди дали верхние границы. Мы нашли другую оценку, которую легко сформулировать.
Какую роль сыграла ранняя работа Морделла в вашем недавнем результате?
Наш вопрос касается целых точек на эллиптических кривых. У Морделла есть способ связать это с чем-то другим, что мы можем изучить.
Это то, что мы делаем все время в математике: мы хотим понять объект, но нам нужно найти прокси, чтобы понять его. Иногда этот прокси очень точен. Иногда теряет информацию. Но на самом деле это то, к чему мы можем получить доступ.
Когда вы решили сосредоточиться на математике?
Не думаю, что для меня был переломный момент. Я доволен своей жизнью и карьерой сейчас, но я чувствую, что если бы все было немного иначе, я мог бы быть счастлив во многих карьерах или других областях. Может быть, это то, что большинство математиков не сказали бы, потому что им нравится говорить о том, насколько они увлечены математикой и что они никогда не могли думать ни о чем другом. Для меня я не думаю, что это правда.
Мне интересно много разных вещей. Возможно, я стал математиком, потому что меня разочаровало отсутствие строгости в других областях. В детстве меня учили думать как математик, потому что именно так мы и поступали дома. Мой папа играл со мной в математические игры, а это означало, что я с юных лет учился логическим рассуждениям. Я хотел, чтобы что-то было доказано.
Но я не был уверен, что стану хорошим математиком.
Почему?
Когда я был моложе, я знал не так уж много математиков, которые во многом были похожи на меня. Мы разбрасываемся этими словами о образцах для подражания. Дело не только в том, что я мало видел женщин или американок азиатского происхождения.
Я имею в виду, что я не видел много людей, увлеченных вещами, кроме математики. Это заставило меня сильно сомневаться в себе. Как я могу добиться успеха в математике, если я не трачу 100% своего времени на размышления о математике? Вот что я видел вокруг себя. У меня сложилось впечатление, что другие люди подходят к математике иначе, чем я, мои сверстники и люди старше меня. Я думал, что трудно продолжать карьеру, где я не собирался быть таким. У меня были бы другие интересы.
Человеческий аспект - это то, о чем я не видел, чтобы другие люди так заботились. Я боялся, что какая-то часть меня помешает мне стать математиком.
Введение
Вас только что назначили директором программы IAS «Женщины и математика». Что эта программа предлагает женщинам-математикам?
Это недельный семинар для женщин на разных этапах карьеры, в том числе для студенток бакалавриата, аспирантов, докторантов, а также некоторых младших и старших преподавателей. Это изучение математики в благоприятной среде.
Студенты, которые, возможно, не знали, что хотят заниматься математикой, встречаются с очень старшими математиками и получают наставничество на всем пути. Они могут видеть много разных людей на разных этапах карьеры и говорить с людьми об их опыте. Я не думаю, что есть много других программ, которые имеют весь этот диапазон и сосредоточены в определенной области.
Программа 2023 года называется «Образцы в целых числах». В ней будет много людей, занимающихся аддитивной комбинаторикой и аналитической теорией чисел. Мы приглашаем людей из разных карьерных путей для их встречи.
Для старших аспирантов, уже работающих в этой области, они встречаются с постдоками, младшими и старшими преподавателями в своей области и получают возможность поработать вместе с ними в течение недели.
Вы также участвуете в Стеки проекта, который является обширным онлайн-ресурсом. Что в нем уникального?
Огромный объем и доступность. Это огромный — более 7,500 страниц, если распечатать — совместный онлайн-проект. Но на самом деле [математик из Колумбийского университета] Айзе Йохан де Йонг пишет почти все. Это строгий, тщательно написанный ресурс для алгебраических геометров. Это удивительная вещь, которую он сделал для общества.
Каждую неделю или две он растет. Это надежный справочник практически для всего. Он охватывает огромное количество алгебраической геометрии, для изучения которой вам потребуется около 20 учебников.
Это жизнь в том смысле, что вещи можно добавлять и редактировать. Если есть ошибки, они будут пойманы.
Еще одна интересная вещь — это система тегов. Несмотря на то, что этот документ постоянно растет, вы все равно можете всегда ссылаться на определенный тег. Существует более 21,000 XNUMX постоянных тегов для конкретных результатов, которые вы, возможно, захотите процитировать. Питер Белманс создал весь бэкэнд, который использовался и в других проектах. Другие люди адаптировали эту технологию.
Проблема в том, и Йохан это знает, что в конце концов он не сможет продолжать писать это. Когда-нибудь, если мы хотим, чтобы это продолжалось, нужно, чтобы другие люди были более вовлечены.
Какую роль играют ваши семинары в проекте Stacks?
Суть в том, чтобы начать вовлекать молодежь. Мы заставляем их писать фрагменты, которые в конечном итоге могут быть включены в него. Здесь есть некоторая напряженность, потому что для того, чтобы веб-сайт оставался корректным и качественным ресурсом, его необходимо тщательно модерировать. Так что Йохану все еще нужно проделать большую работу, чтобы воплотить в жизнь свои идеи. Это не может быть похоже на Википедию, где любой может прикоснуться к ней. Это немного прискорбно, но должно произойти, если вы хотите, чтобы это работало.
Мы пытаемся выяснить, как постепенно привлечь больше людей к проекту Stacks. Мы привлекаем наставников для работы над проектами с аспирантами и докторантами. Они изучают алгебраическую геометрию. Потом что-то пишут.
We только что опубликованный том с кучей пояснительных статей, которые, как мы надеемся, в конечном итоге войдут в проект Stacks.
Проект Stacks может оставаться чрезвычайно эффективным в течение сотен лет, если достаточное количество людей будет вовлечено и продолжит его работу.
