Математик о творчестве, искусстве, логике и языке | Журнал Кванта

Клэр Вуазен потребовалось много времени, чтобы полюбить математику.

Это не значит, что ей когда-либо не нравилась эта тема. Выросшая во Франции — 10-я из 12 детей — она любила часами решать математические задачи со своим отцом, инженером. К 12 годам она начала самостоятельно читать школьный учебник алгебры, очарованная определениями и доказательствами, изложенными на его страницах. «Там была вся эта структура», — сказала она. «Алгебра на самом деле является теорией структур».

Но она не считала математику призванием всей своей жизни. Только в университетские годы она осознала, насколько глубоким и прекрасным это может быть, и что она способна делать новые открытия. До этого она серьезно занималась несколькими интересами помимо математики: философией, живописью и поэзией. («Когда мне было 20, я думаю, что занималась только математикой и рисованием. Возможно, это было немного чрезмерно», — засмеялась она.) К 20 годам математика поглотила все остальное. Но живопись и поэзия продолжали оказывать на нее влияние. Она рассматривает математику как искусство — и как способ расширить границы языка и поиграть с ними.

Спустя десятилетия, став лидером в области алгебраической геометрии, Вуазен снова нашел время рисовать и делать глиняные скульптуры. Тем не менее, математика продолжает занимать большую часть ее внимания; она предпочитает проводить время, исследуя этот «другой мир», где «как будто ты спишь».

Вуазен — старший научный сотрудник Французского национального центра научных исследований в Париже. Там она изучает алгебраические многообразия, которые можно рассматривать как формы, определяемые наборами полиномиальных уравнений, подобно тому, как круг определяется полиномом. x² + y² = 1. Она — один из ведущих мировых экспертов по теории Ходжа — набору инструментов, который математики используют для изучения ключевых свойств алгебраических многообразий.

За свою работу Вуазен получила множество наград, в том числе премию Клэя за исследования в 2008 году, премию Хайнца Хопфа в 2015 году и премию Шоу по математике в 2017 году. В январе она стала первой женщиной, удостоенной премии Крафорда в XNUMX году. Математика.

Quanta говорил с Вуазеном о творческой природе математики. Интервью было сокращено и отредактировано для ясности.

В детстве вам нравилась математика, но вы не видели себя занимающимся ею. Почему нет?

В этом и есть магия доказательства — эмоция, которую вы испытываете, когда понимаете ее, когда осознаете, насколько она сильна и насколько сильными она делает вас. В детстве я уже мог это видеть. И мне нравилась концентрация, которую требует математика. С возрастом я нахожу это все более важным в математической практике. Остальной мир исчезает. Весь ваш мозг существует для изучения проблемы. Это необыкновенный опыт, который очень важен для меня — заставить себя покинуть мир практических вещей и поселиться в другом мире. Возможно, именно поэтому мой сын так любит играть в видеоигры.

Но что в каком-то смысле сделало меня опоздавшим к математике, так это то, что я совершенно не интересуюсь играми. Это не для меня. А в старшей школе математика казалась игрой. Мне было трудно отнестись к этому серьезно. Сначала я не увидел глубины математики. Даже когда после школы я начал открывать очень интересные доказательства и теоремы, я ни разу не подумал, что смогу что-то изобрести сам, что смогу сделать это своим.

Мне нужно было что-то более глубокое, более серьезное, что-то, что я мог бы сделать своим.

Где вы искали это до того, как нашли это в математике?

Мне нравилась философия и ее настойчивость в понятии понятия. Кроме того, примерно до 22 лет я много времени проводил за рисованием, особенно фигуративных произведений, вдохновленных геометрией. И я очень любил поэзию — творчество Малларме, Бодлера, Рене Шара. Я уже жил в каком-то другом мире. Но я думаю, это нормально, когда ты моложе.

Но математика становилась все более важной. Это действительно требует всего вашего мозга. Когда вы не за столом и не работаете над конкретной проблемой, ваш ум все еще занят. Поэтому чем больше я занимался математикой, тем меньше рисовал. Я только недавно снова начал рисовать, теперь, когда все мои дети разошлись из дома, и у меня появилось гораздо больше времени.

Что в конечном итоге заставило вас решить посвятить большую часть своей творческой энергии математике?

Математика становилась мне все интереснее. Будучи магистром и доктором философии. Будучи студентом, я обнаружил, что математика 20-го века была чем-то очень глубоким и необыкновенным. Это был мир идей и концепций. В алгебраической геометрии произошла знаменитая революция, которую возглавил Александр Гротендик. Еще до Гротендика были невероятные результаты. Так что это недавнее направление, идеи которого прекрасны, но в то же время чрезвычайно мощны. Теория Ходжа, которую я изучаю, была частью этого.

Становилось все яснее и яснее, что там была моя жизнь. Конечно, у меня была семейная жизнь — муж и пятеро детей — и другие обязанности и занятия. Но я понял, что с помощью математики я могу что-то создать. Я мог бы посвятить этому свою жизнь, потому что это было так красиво, так зрелищно, так интересно.

Вы уже писали о том, что математика — это творческое занятие.

Я профессиональный математик, поэтому мой рабочий день официально построен вокруг математики. Я сижу за столом; Я работаю на компьютере. Но большая часть моей математической деятельности происходит не в это время. Вам нужна новая идея, хорошее определение, утверждение, которое, как вы думаете, вы сможете использовать. Только после этого ваша работа может начаться. И этого не происходит, когда я за столом. Мне нужно следовать своему разуму, чтобы заставить себя думать.

Похоже, математика для вас глубоко личная. Узнали ли вы что-нибудь о себе в процессе?

Занимаясь математикой, мне большую часть времени приходится как бы бороться с самим собой, потому что я очень неупорядочен, не очень дисциплинирован, а также склонен к депрессии. Я не считаю это легким. Но я обнаружил, что в некоторые моменты — например, утром за завтраком, или когда я иду по улицам Парижа или делаю что-то бессмысленное, например, уборку — мой мозг начинает работать сам по себе. Я осознаю, что думаю о математике, хотя и не собирался этого делать. Вы как будто мечтаете. Мне 62 года, и у меня нет реального способа хорошо заниматься математикой: я все еще более или менее жду момента, когда у меня появится вдохновение.

Вы работаете с очень абстрактными объектами — с многомерными пространствами, со структурами, удовлетворяющими сложным уравнениям. Как вы относитесь к такому абстрактному миру?

На самом деле это не так уж и сложно. Самое абстрактное определение, как только вы с ним познакомитесь, перестанет быть абстрактным. Это похоже на красивую гору, которую вы видите очень хорошо, потому что воздух очень чистый и свет позволяет увидеть все детали. Для нас математические объекты, которые мы изучаем, выглядят конкретными, потому что мы знаем их гораздо лучше, чем что-либо еще.

Конечно, есть что доказывать, и когда начинаешь что-то изучать, то можешь пострадать из-за абстракции. Но когда вы используете теорию — поскольку вы понимаете теоремы — вы на самом деле чувствуете себя очень близко к рассматриваемым объектам, даже если они абстрактны. Изучая объекты, манипулируя ими и используя их в математических рассуждениях, они в конечном итоге становятся вашими друзьями.

И это тоже требует увидеть их с разных точек зрения?

Изначально я не изучал алгебраическую геометрию. Я работал в области сложной аналитической и дифференциальной геометрии. В аналитической геометрии вы изучаете гораздо более широкий класс функций и форм, локально определяемых этими функциями. В отличие от алгебраической геометрии, у них обычно нет глобального уравнения.

Сначала я не обратил особого внимания на алгебраическую точку зрения. Но чем старше я становлюсь и чем больше работаю в этой области, тем больше я вижу необходимость иметь эти два разных языка.

Есть невероятная теорема под названием ГАГА, которая в некоторой степени шутка; по-французски это означает «старческий», но также означает алгебраическая и аналитическая геометрия. Там говорится, что вы можете переходить с одного языка на другой. Вы можете произвести вычисления в сложной аналитической геометрии, если это проще, а затем вернуться к алгебраической геометрии.

В других случаях алгебраическая геометрия дает вам возможность изучить другую версию проблемы, которая может дать выдающиеся результаты. Я работал над пониманием алгебраической геометрии в целом, а не просто сосредотачивался на ее стороне сложной геометрии.

Интересно, что вы думаете об этом как о разных математических языках.

Язык необходим. До математики существует язык. Большая часть логики уже заложена в языке. В математике есть все эти логические правила: кванторы, отрицания, круглые скобки, указывающие правильный порядок операций. Но важно осознавать, что все эти жизненно важные для математиков правила уже есть в нашем повседневном языке.

Вы можете сравнить математическую теорему со стихотворением. Это написано словами. Это продукт языка. У нас есть математические объекты только потому, что мы используем язык, потому что мы используем повседневные слова и придаем им определенное значение. Итак, вы можете сравнить поэзию и математику в том смысле, что они обе полностью полагаются на язык, но при этом создают что-то новое.

Вас привлекла математика из-за революции Гротендика в алгебраической геометрии. По сути, он создал новый язык для выполнения такого рода математических вычислений.

Правильно.

Есть ли способы, по которым математический язык, который вы сейчас используете, все еще может нуждаться в изменениях?

Математики постоянно совершенствуют свой язык. Жаль, потому что из-за этого старые статьи становится довольно трудно читать. Но мы перерабатываем прошлую математику, потому что понимаем ее лучше. Это дает нам лучший способ писать и доказывать теоремы. Так было с Гротендиком, применившим когомологии пучков к геометрии. Это действительно впечатляюще.

Важно познакомиться с изучаемым предметом настолько, чтобы он для вас был как родной язык. Когда теория начинает формироваться, требуется время, чтобы найти правильные определения и все упростить. А может быть, это еще очень сложно, но мы гораздо лучше знакомимся с определениями и объектами; их использование становится более естественным.

Это непрерывная эволюция. Нам постоянно приходится переписывать и упрощать, теоретизировать о том, что важно, о том, какие инструменты сделать доступными.

Приходилось ли вам вводить в свою работу новые определения?

Иногда. В работа, которую я сделал Янош Коллар, наступил поворотный момент, когда мы наконец смогли найти правильный взгляд на проблему — через определенное определение. Это была очень классическая задача, и мы работали с классическими инструментами, но наше доказательство на самом деле основывалось на том определении, которое мы установили.

В другом случае, Оливье Дебарр, Дэниел Хайбрехтс, Эмануэле Макри и я оказался хорошим результат классификации об объектах, называемых гиперкэлеровыми многообразиями. И отправной точкой этого доказательства стало введение инварианта, который мы очень первоначально назвали «a."[Смеётся.]

Вы можете недооценивать важность определений в математике, но не следует этого делать.

Определения и язык — не единственные руководящие силы в математике. Как и предположения, которые могут быть правдой, а могут и не быть. Например, вы много работали над гипотезой Ходжа, проблемой тысячелетия Клея, решение которой предполагает 1 миллион долларов.

Допустим, у вас есть алгебраическое многообразие, которое вы хотите понять. Итак, вы переходите к сложно-аналитической геометрии и вместо этого рассматриваете ее как так называемое комплексное многообразие. Вы можете думать о сложном многообразии с точки зрения его глобальной формы или топологии. Существует объект, называемый гомологией, который дает вам много топологической информации о многообразии. Но это не так-то просто определить.

Теперь рассмотрим алгебраические подмногообразия внутри исходного многообразия. Каждый из них будет иметь топологический инвариант, связанную с ним определенную топологическую информацию. Какую часть гомологии комплексного многообразия можно получить, рассматривая эти топологические инварианты?

Гипотеза Ходжа дает конкретный ответ. И ответ очень тонкий.

Итак, математики не уверены, окажется ли гипотеза Ходжа верной или ложной?

Вы хотите верить в гипотезу Ходжа, потому что она является своего рода путеводителем по основным теориям алгебраической геометрии.

Вам очень хотелось бы понять основные свойства алгебраического многообразия. И если гипотеза Ходжа верна, это даст вам невероятный контроль над геометрией вашего многообразия. Вы получите очень важную информацию о строении сортов.

Есть несколько веских причин верить в это. Известны частные случаи гипотезы Ходжа. И есть много глубоких утверждений об алгебраических многообразиях, которые намекают на верность гипотезы Ходжа.

Но прогресс в доказательстве этого почти полностью отсутствует. Я также доказал, что невозможно распространить гипотезу Ходжа на другие ситуации, где она могла бы показаться естественной. Так что это был небольшой шок.

После десятилетий работы математиком чувствуете ли вы, что теперь занимаетесь математикой еще глубже?

Теперь, когда я старше, у меня есть гораздо больше времени, чтобы тратить силы на математику, по-настоящему присутствовать в ней. У меня также есть лучшая способность ходить туда и сюда. В прошлом, возможно, из-за того, что у меня было меньше времени, у меня было меньше мобильности — хотя быть слишком мобильным, просто касаться проблем, не зацикливаясь на них, тоже нехорошо. Теперь я более опытен и могу построить свою собственную картину.

У вас есть гораздо лучшее представление о том, чего вы не знаете, об открытых проблемах. Вы имеете детальное представление о своем поле и его границах. Должны быть какие-то хорошие стороны старения. И еще так много предстоит сделать.