В начале 1950-х годов группа исследователей из Института перспективных исследований приступила к реализации высокотехнологичного проекта. В приказание Джона фон Неймана и Германа Голдстайна физик Хедвиг Сельберг запрограммировал компьютер IAS с 1,700 лампами для вычисления любопытных математических сумм, происхождение которых восходит к 18 веку.
Суммы были связаны с квадратичными суммами Гаусса, названными в честь знаменитого математика Карла Фридриха Гаусса. Гаусс выбрал бы некоторое простое число p, затем просуммируйте числа вида $latex e^{frac{2iπn^2}{p}}$. С момента своего появления квадратичные суммы Гаусса оказались бесценными для таких задач, как подсчет решений определенных типов уравнений. «Оказывается, суммы Гаусса волшебны, что они просто творят чудеса по бог знает какой причине», — сказал Джеффри Хоффштейн, математик из Университета Брауна.
В середине 19-го века немецкий математик Эрнст Эдуард Куммер играл с близким родственником этих квадратичных сумм Гаусса, где n2 в показателе заменяется на n3. Куммер заметил, что они, как правило, в удивительной степени собирали близкие к конкретным значениям — острое наблюдение, которое привело к столетиям исследований в области теории чисел.
Если кубические суммы Гаусса не преобразовать в более простую формулу, их значения трудно вывести. Не имея такой формулы, Куммер принялся за вычисление кубических сумм Гаусса — и вычислял, и вычислял. «В то время для них было обычным делом выполнять такие героические вычисления вручную», — сказал Мэтью Янг, математик Техасского университета A&M. Перебрав 45 сумм, соответствующих первым 45 нетривиальным простым числам, Куммер наконец сдался.
Изучая свои результаты, Куммер заметил кое-что интересное. Теоретически суммы могут быть любыми между -1 и 1 (после «нормализации» — деления на подходящую константу). Но когда он произвел расчеты, то обнаружил, что они распределены странным образом. Половина результатов была между ½ и 1, и только шестая из них была между -1 и -1/XNUMX. Оказалось, что они сгруппировались около XNUMX.
Куммер изложил свои наблюдения вместе с догадкой: если бы вам каким-то образом удалось нанести на график все бесконечное множество кубических сумм Гаусса, вы бы увидели, что большинство из них находится между ½ и 1; меньше от -½ до ½; и еще меньше между -1 и -½.
Сельберг, фон Нейман и Голдстайн решили проверить это на своем первом компьютере. Сельберг запрограммировал его на вычисление кубических сумм Гаусса для всех нетривиальных простых чисел меньше 10,000 600 — всего около 1 сумм. (Голдстайн и фон Нейман продолжали писать статью; ее вклад в конечном итоге сводился к строке благодарности в конце.) Они обнаружили, что по мере того, как простые числа становятся больше, нормализованные суммы становятся менее склонными группироваться около XNUMX. С убедительные доказательства того, что гипотеза Куммера неверна, математики начали пытаться понять кубические суммы Гаусса более глубоким способом, выходящим за рамки простых вычислений.
Теперь этот процесс завершен. В 1978 году математик Сэмюэл Паттерсон отважился разгадать математическую загадку Куммера, но не смог этого доказать. Затем, прошлой осенью, два математика из Калифорнийского технологического института доказали гипотезу Паттерсона, наконец завершив размышления Куммера 1846 года.
Паттерсон впервые увлекся этой проблемой, будучи аспирантом Кембриджского университета в 1970-х годах. Его гипотеза была мотивирована тем, что происходит, когда числа случайным образом размещаются где-то между -1 и 1. Если вы суммируете N из этих случайных чисел типичный размер суммы будет $latexsqrt{N}$ (он может быть положительным или отрицательным). Точно так же, если бы кубические суммы Гаусса были равномерно разбросаны от −1 до 1, можно было бы ожидать N из них составляют примерно $latexsqrt{N}$.
Имея это в виду, Паттерсон добавил N кубические суммы Гаусса, игнорируя (на данный момент) требование придерживаться простых чисел. Он обнаружил, что сумма была около N5/6 — больше, чем $latexsqrt{N}$ (что можно записать как N1/2), но меньше N. Это значение означало, что суммы ведут себя как случайные числа, но со слабой силой, подталкивающей их к положительным значениям, называемой смещением. В качестве N становились все больше и больше, случайность начинала подавлять предвзятость, и поэтому, если вы каким-то образом взглянули на все бесконечное множество кубических сумм Гаусса одновременно, они оказались бы равномерно распределенными.
Это, казалось бы, объясняло все: расчеты Куммера показывали предвзятость, а расчеты IAS опровергали ее.
Но Паттерсон не мог произвести такие же вычисления для простых чисел, поэтому в 1978 году он официально записал это как догадка: Если вы сложите кубические суммы Гаусса для простых чисел, вы должны получить то же самое. N5/6 поведение.
Вскоре после доклада о своей работе над проблемой Куммера с Паттерсоном связался аспирант по имени Роджер Хит-Браун, который предложил использовать методы из теории простых чисел. Эти двое объединились и вскоре опубликованный прогресс в решении проблемы, но они все еще не могли показать, что предсказанное Паттерсоном N5/6 смещение было точным для простых чисел.
В последующие десятилетия прогресс был незначительным. Наконец, на рубеже тысячелетий Хит-Браун сделал еще один прорыв, в котором важную роль сыграл разработанный им инструмент под названием большое кубическое сито.
Чтобы использовать кубическое большое решето, Хит-Браун использовал серию вычислений, чтобы связать сумму кубических сумм Гаусса с другой суммой. С помощью этого инструмента Хит-Браун смог показать, что если сложить кубические суммы Гаусса для простых чисел, меньших N, результат не может быть намного больше, чем N5/6. Но он думал, что может сделать лучше — что само сито можно улучшить. Если бы это было возможно, это снизило бы границу до N5/6 точно, тем самым доказывая гипотезу Паттерсона. В короткой строке текста он набросал, какой, по его мнению, была бы наилучшая возможная формула для сита.
Даже имея в руках этот новый инструмент, математики не смогли продвинуться дальше. Затем, два десятилетия спустя, произошла удачная встреча постдока Калифорнийского технологического института Александр Данн и его куратор Максим Радзивилл обозначил начало конца. Прежде чем Данн приступил к работе в сентябре 2020 года, Радзивилл предложил им вместе поработать над гипотезой Паттерсона. Но поскольку пандемия Covid-19 все еще бушует, исследования и обучение продолжаются удаленно. Наконец, в январе 2021 года случай — или судьба — вмешались, когда два математика неожиданно столкнулись друг с другом на парковке в Пасадене. «Мы сердечно поболтали и договорились, что нам следует начать встречаться и говорить о математике», — написал Данн в электронном письме. К марту они усердно работали над доказательством гипотезы Паттерсона.
«Работать было интересно, но очень рискованно», — сказал Данн. «Я имею в виду, я помню, как приходил в свой офис примерно в 5 утра каждое утро в течение четырех или пяти месяцев».
Данн и Радзивилл, как и Хит-Браун до них, сочли кубическое большое решето незаменимым для своего доказательства. Но поскольку они использовали формулу, которую Хит-Браун записал в своей статье 2000 года — ту, которую он считал наилучшим возможным ситом, гипотезу, в которую сообщество теории чисел пришло, поверив, — они поняли, что что-то не так. . «Мы смогли доказать, что 1 = 2, проделав очень и очень сложную работу», — сказал Радзивилл.
В этот момент Радзивилл был уверен, что это их ошибка. «Я был отчасти убежден, что в нашем доказательстве есть ошибка». Данн убедил его в обратном. Кубическое крупное сито, вопреки ожиданиям, улучшить не удалось.
Вооружившись правильностью кубического большого решета, Данн и Радзивилл пересмотрели свой подход к гипотезе Паттерсона. На этот раз им это удалось.
«Я думаю, что это было основной причиной, по которой никто этого не сделал, потому что эта гипотеза [Хит-Браун] вводила всех в заблуждение», — сказал Радзивилл. «Думаю, если бы я сказал Хит-Брауну, что его гипотеза неверна, то он, вероятно, понял бы, как это сделать».
Данн и Радзивилл опубликовали свою статью 15 сентября 2021 года. В конце концов, их доказательство основывалось на обобщенной гипотезе Римана, известной недоказанной гипотезе в математике. Но другие математики видят в этом лишь незначительный недостаток. «Мы хотели бы избавиться от гипотезы. Но мы все равно рады получить условный результат», — сказал он. Хит-Браун, ныне почетный профессор Оксфордского университета.
Для Хит-Брауна работа Данна и Радзивилла — больше, чем просто доказательство гипотезы Паттерсона. Благодаря неожиданному пониманию кубического большого сита их статья неожиданно завершила историю, частью которой он был на протяжении десятилетий. «Я рад, что на самом деле не написал в своей статье:« Я уверен, что от этого можно избавиться », — сказал он, имея в виду часть сита, которую обнаружили Данн и Радзивилл. «Я просто сказал: «Было бы неплохо, если бы можно было избавиться от этого. Кажется возможным, что ты должен быть в состоянии. И я ошибся — не в первый раз».
