Башня догадок, опирающаяся на иглу | Журнал Кванта

В математике простая задача часто оказывается не тем, чем кажется. Ранее этим летом, Quanta сообщил об одной такой проблеме: Какую наименьшую площадь можно замести, вращая бесконечно тонкую иглу во всех возможных направлениях? Поверните его вокруг центра, как циферблат, и вы получите круг. Но поверните его поумнее, и вы сможете охватить сколь угодно малую часть пространства. Если вам не требуется, чтобы игла двигалась одним непрерывным движением, а вместо этого просто кладете иглу во всех направлениях, вы можете создать такое расположение игл, которое вообще не покрывает никакой площади.

Математики называют эти схемы множествами Какеи. Хотя они знают, что такие наборы могут быть небольшими по площади (или объему, если вы располагаете иголки в трех или более измерениях), они считают, что наборы всегда должны быть большими, если их размер измеряется метрикой, называемой Хаусдорфом. измерение.

Математикам еще предстоит доказать это утверждение, известное как гипотеза Какеи. Но хотя на первый взгляд это простой вопрос об иглах, «геометрия этих множеств Какеи лежит в основе целого ряда вопросов в уравнениях в частных производных, гармоническом анализе и других областях», — сказал он. Джонатан Хикман из Эдинбургского университета.

Гипотеза Какеи лежит в основе иерархии трех центральных проблем гармонического анализа — раздела математики, изучающего, как функции могут быть представлены в виде сумм периодических функций, таких как регулярно колеблющиеся синусоидальные волны.

Следующим шагом в этой иерархии является гипотеза «ограничения». Если это правда, то верна и гипотеза Какеи. (Это также означает, что если гипотеза Какеи окажется ложной, гипотеза об ограничении не может быть истинной.) Гипотеза об ограничении, в свою очередь, вытекает из так называемой гипотезы Бохнера-Рисса. И на самом верху стоит гипотеза локального сглаживания.

Первые две гипотезы касаются поведения преобразования Фурье — метода гармонического анализа, который, по сути, позволяет вычислить, как выразить практически любую функцию в виде суммы синусоидальных волн. Это один из самых мощных математических инструментов, доступных физикам и инженерам. Преобразование Фурье сыграло фундаментальную роль в решении дифференциальных уравнений, в выражении квантово-механических идей, таких как принцип неопределенности Гейзенберга, а также в анализе и обработке сигналов, что сделало возможными такие вещи, как современные мобильные телефоны.

Поскольку каждое утверждение в иерархии подразумевает то, что находится ниже него, если гипотеза Какеи ложна, ни одна из других гипотез не верна. Вся башня рухнет. «Вы можете создать контрпример супермонстра, который разрушит множество гипотез», — сказал Хикман.

С другой стороны, доказательство истинности гипотезы Какеи не будет автоматически означать истинность остальных гипотез, но это даст математикам важную информацию о том, как действовать дальше.

Итак, «почти половина сообщества гармонического анализа, о котором я знаю, работает над этой и связанными с ней проблемами или работала над ними в какой-то момент», — сказал Шаомин Го из Университета Висконсина, Мэдисон.

Совсем недавно математики, к своему удивлению, обнаружили, что методы, которые они разработали для решения этих проблем, также могут быть использованы для доказательства важных результатов в, казалось бы, несвязанной области теории чисел. «Это гораздо более широкое явление, чем люди думали», — сказал Го.

Layer Cake

История начинается с преобразования Фурье. «Вы хотите разложить [функции] на небольшие части, проанализировать их взаимодействие и снова сложить», — сказал Юмэн Оу Пенсильванского университета. Что касается одномерных функций — кривых, которые можно построить на листе бумаги — математики хорошо понимают, как это сделать, даже если им нужно обратить преобразование Фурье, используя только некоторые части.

Но в двух или более измерениях все может запутаться.

В 1971 Чарли Фефферман, математик из Принстонского университета, придумал, как использовать множества Какейи, чтобы продемонстрировать, что обращение преобразования Фурье может привести к странным и неожиданным результатам во многих измерениях.

Математики нашли решение в виде гипотезы Бохнера-Рисса, которая, по сути, утверждает, что существуют более сложные способы восстановления исходной функции, которые не ломаются, как пример Феффермана. Но это решение зависело от истинности гипотезы Какеи.

Если это правда, «усечение частот приведет лишь к небольшим ошибкам», — сказал он. Бетси Стовалл из Университета Висконсина, Мэдисон. «Это означает, что мелкие ошибки не выходят наружу».

Так началась иерархия. Позже математики обнаружили еще одну важную связь: если гипотеза Бохнера-Рисса верна, то она также подразумевает утверждение, называемое гипотезой ограничения. Эта гипотеза гласит, что если вы начнете с ограниченной версии преобразования Фурье — «ограничивая» рассматриваемые вами значения только теми, которые находятся на определенных поверхностях, — это все равно может дать вам важную информацию об исходной функции. И оказалось, что если гипотеза об ограничении верна, то верна и гипотеза Какеи. (Это поместило гипотезу об ограничении между Какейей и Бохнером-Риссом в башню.)

Проблема коронации в иерархии, называемая гипотезой локального сглаживания, не имеет прямого отношения к преобразованию Фурье, а скорее накладывает ограничения на размер решений уравнений, описывающих поведение волн.

Вы также можете думать об этом с точки зрения геометрии линий в наборе Какеи. Вы можете разбить общее решение волнового уравнения на несколько частей, которые движутся в разных направлениях и по-разному взаимодействуют друг с другом с течением времени. Каждая из этих частей математически напоминает иглу в наборе Какея. Гипотеза Какеи утверждает, что такая конфигурация не может иметь слишком большого перекрытия. В этом физическом контексте перекрытия будут соответствовать сохранению нерегулярного и неожиданного поведения решения. Например, звуковая волна может усиливаться во многих регионах в разное время.

Гипотеза о локальном сглаживании утверждает, что такие неровности должны усредняться. «Это похоже на среднее значение финансового рынка», — сказал Киприан Деметра Университета Индианы в Блумингтоне. «Тут и там могут произойти крахи, но если вы вложите свои деньги и выйдете на пенсию через 40 лет, есть хороший шанс, что вы получите хорошие инвестиции».

Но, как и все гипотезы в иерархии, это зависит от истинности гипотезы Какеи. «Идея состоит в том, что если вы исключите множество пересечений в множествах Какейи, это означает, что вы можете исключить такие ситуации, когда части вашего решения объединяются, создавая своего рода раздутие», — сказал Стовалл.

Эта гипотеза является самой сложной из всех: в то время как двумерные случаи задач Какейи, ограничения и Бохнера-Рисса были решены десятилетия назад, гипотеза двумерного локального сглаживания была доказана лишь несколько лет назад. (В более высоких измерениях все эти проблемы остаются открытыми.)

Но, несмотря на медленный прогресс в доказательстве гипотезы о локальном сглаживании, работа над ней привела к огромному прогрессу в других областях. В 1999 году, пытаясь решить эту гипотезу, математик Томас Вольф предложил метод, известный как развязка. С тех пор этот метод обрел собственную жизнь: с его помощью были сделаны крупные прорывы не только в гармоническом анализе, но и в теории чисел, геометрии и других областях. «Используя результаты разделения, вы теперь имеете мировые рекорды в очень известных и важных задачах», — сказал Кристофер Согге из Университета Джонса Хопкинса, который впервые сформулировал гипотезу локального сглаживания в 1990-х годах. Например, развязка использовалась, чтобы подсчитать, сколькими способами целое число может быть представлено в виде суммы квадратов, кубов или какой-либо другой степени.

По словам Деметры, такие результаты возможны, потому что «мы можем смотреть на числа как на волны». То, что все эти проблемы связаны с наборами игл Kakeya, «удивительно», добавил он. «Вы не думаете, что столько красоты, сложности и важности может быть скрыто в чем-то, что можно сформулировать с помощью отрезков линий».