Раскрашивание по номерам раскрывает арифметические закономерности в дробях

Через год после того, как он начал свою докторскую степень. по математике в Университете Макгилла у Мэтта Боуэна возникла проблема. «Я сдал квалификационные экзамены и совершенно ужасно сдал их», — сказал он. Боуэн был уверен, что его оценки не отражают его математических способностей, и решил доказать это. Прошлой осенью он это сделал, когда он и его советник, Марчин Сабок, выложил крупный аванс в области, известной как Теория Рамсея.

Почти столетие теоретики Рэмси собирали доказательства того, что математическая структура сохраняется во враждебных обстоятельствах. Они могут разбивать большие наборы чисел, такие как целые числа или дроби, или нарезать связи между точками в сети. Затем они находят способы доказать, что определенные структуры неизбежны, даже если вы пытаетесь избежать их создания, ломая или разрезая их хитрым способом.

Когда теоретики Рамсея говорят о разделении набора чисел, они часто используют язык раскраски. Выберите несколько цветов: красный, синий и желтый, например. Теперь назначьте цвет каждому числу в коллекции. Даже если вы будете делать это случайным или хаотичным образом, определенные закономерности неизбежно возникнут, если вы используете только конечное число различных цветов, даже если это число очень велико. Теоретики Рэмси пытаются найти эти шаблоны, ища структурированные наборы чисел, которые являются «монохроматическими», то есть всем их элементам присвоен один и тот же цвет.

Первые результаты окрашивания относятся к концу 19 века. К 1916 году Исай Шур доказал, что, как бы вы ни раскрашивали целые положительные числа (также известные как натуральные числа), всегда будет пара чисел. x и y такой, что x, y, а их сумма х + у все одного цвета. На протяжении всего 20 века математики продолжали работать над задачами раскраски. В 1974 г. Нил Хиндман расширенный результат Шура включать бесконечное подмножество целых чисел. Как и теорема Шура, теорема Хиндмана применяется независимо от того, как раскрашены натуральные числа (с конечным числом карандашей). Мало того, что все эти целые числа в наборе Хиндмана имеют один и тот же цвет, но если вы просуммируете любой их набор, результат также будет этого цвета. Такие наборы напоминают четные числа в том, что, как любая сумма четных чисел всегда четна, так и сумма любых чисел в одном из наборов Хиндмана будет содержаться в этом наборе.

«Теорема Хиндмана — удивительная часть математики, — сказал Сабок. «Это история, по которой мы можем снять фильм».

Но Хиндман считал, что возможно большее. Он считал, что можно найти сколь угодно большое (но конечное) одноцветное множество, содержащее не только суммы своих членов, но и произведения. «Я десятилетиями утверждал, что это факт», — сказал он, добавив: «Я не утверждаю, что могу это доказать».

Гипотеза Хиндмана

Если вы отказываетесь от суммы и хотите только, чтобы произведения были одного цвета, можно легко адаптировать теорему Хиндмана, используя возведение в степень для преобразования сумм в произведения (как это делает логарифмическая линейка).

Однако бороться с суммами и произведениями одновременно гораздо сложнее. «Очень трудно заставить этих двоих разговаривать друг с другом», — сказал Джоэл Морейра, математик из Уорикского университета. «Понимание того, как связаны сложение и умножение, — это, в некотором смысле, основа всей теории чисел».

Даже более простая версия, впервые предложенная Хиндманом в 1970-х годах, оказалась сложной. Он предположил, что любая раскраска натуральных чисел должна содержать одноцветное множество вида {x, y, xy, х + у} — два числа x и y, а также их сумма и произведение. «Люди не добились никакого прогресса в решении этой проблемы на протяжении десятилетий, — сказал Боуэн. «А потом внезапно, где-то в 2010 году, люди начали доказывать все больше и больше фактов об этом».

Боуэн узнал о {x, y, xy, х + у} проблема в 2016 году, во втором семестре в колледже, когда один из его профессоров в Университете Карнеги-Меллона описал проблему в классе. Боуэна поразила его простота. «Это одна из тех классных вещей, когда я не очень хорошо разбираюсь в математике, но я могу это понять», — сказал он.

В 2017 году Морейра доказанный который являетесь может всегда найдите однотонный набор, содержащий три из четырех искомых элементов: x, xyи x + y. Тем временем Боуэн начал небрежно возиться с вопросом на последнем курсе. «На самом деле я не мог решить проблему, — сказал он. «Но я возвращался к этому каждые шесть месяцев или около того». После того, как он плохо показал свою докторскую степень. квалификационных экзаменов в 2020 году он удвоил свои усилия. Несколько дней спустя он доказал {x, y, xy, х + у} Гипотеза для случая двух цветов, результат, который Рон Грэм уже доказал еще в 1970-х с помощью компьютера.

Добившись такого успеха, Боуэн работал с Сабоком над расширением результата до любого количества цветов. Но они быстро запутались в технических деталях. «Сложность проблемы становится совершенно неконтролируемой, когда количество цветов велико», — сказал Сабок. В течение 18 месяцев они безуспешно пытались выбраться. «За эти полтора года у нас было около миллиона неправильных доказательств», — сказал Сабок.

В частности, одна трудность удерживала двух математиков от прогресса. Если вы выберете два целых числа наугад, вы, вероятно, не сможете их разделить. Деление работает только в том редком случае, когда первое число кратно второму. Это оказалось чрезвычайно ограничивающим. Осознав это, Боуэн и Сабок приступили к доказательству {x, y, xy, х + у} вместо этого строить предположения о рациональных числах (как математики называют дроби). Там цифры можно делить без раздумий.

Доказательство Боуэна и Сабока становится наиболее элегантным, когда все задействованные цвета часто встречаются в рациональных числах. Цвета могут появляться «часто» несколькими различными способами. Каждая из них может охватывать большие участки числовой прямой. Или это может означать, что вы не сможете продвинуться слишком далеко по числовой прямой, не увидев каждый цвет. Однако обычно цвета не соответствуют таким правилам. В этих случаях вы можете сосредоточиться на небольших областях рациональных чисел, где цвета появляются чаще, объясняет Сабок. «Именно сюда пришла основная часть работы», — сказал он.

В октябре 2022 года Боуэн и Сабок опубликовали доказательство того, что если раскрасить рациональные числа конечным числом цветов, получится множество вида {x, y, xy, х + у} элементы которого имеют одинаковый цвет. «Это невероятно умное доказательство, — сказал Имре Лидер Кембриджского университета. «Он использует известные результаты. Но он объединяет их абсолютно блестящим, очень оригинальным, очень новаторским образом».

Остается много вопросов. Может третий номер z быть добавлены в коллекцию вместе с вытекающими суммами и произведениями? Удовлетворение самым смелым предсказаниям Хиндмана означало бы добавление к последовательности четвертого, пятого и, в конечном счете, произвольного количества новых чисел. Это также потребовало бы перехода от рациональных чисел к натуральным числам и поиска пути решения головоломки деления, которая мешала усилиям Боуэна и Сабока.

Лидер считает, что, поскольку Морейра, Боуэн и Сабок работают над проблемой, доказательство может быть не за горами. «Эти ребята кажутся особенно блестящими в поиске новых способов ведения дел», — сказал он. «Поэтому я немного оптимистично смотрю на то, что они или некоторые из их коллег могут найти его».

Сабок более осторожен в своих прогнозах. Но он ничего не исключает. «Одна из прелестей математики в том, что до того, как вы получите доказательство, все возможно», — сказал он.